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1、八年级下册6.3 三角形的中位线学习目标2知道三角形中位线的概念,明确三角形中位线与中线的不同;理解三角形中位线定理,并能运用它进行有关的论证和计算.1.中位线:连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线2.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并等于它的一半几何语言:点D、E分别是ABC边AB、AC的中点, DEBC,DE= BC预习思考1.一个三角形的周长是36cm,则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是( )A6cm B12cm C18cm D36cm2如图,在ABC中,AB8,点D,E分别是BC,CA的中点,连接DE,则DE( ) A2 B4 C6 D8预习检测CB3如图,
2、等边ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点,则DEC的度数为( ) A30 B60 C120 D150 4如图,在ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点若DBE的周长是6,则ABC的周长是( ) A8 B10 C12 D14预习检测CC活动探究探究点一问题1:怎样将一张三角形纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?操作:(1)剪一个三角形,记为ABC (2)分别取AB,AC中点D,E,连接DE (3) 沿DE将ABC剪成两部分,并将ABC绕点E旋转180,得到四边形BCFD. 四边形BCFD是平行四边形活动探究探究点一问题1:怎样将一张三角形纸片剪成两部分,使分成的两部分能
3、拼成一个平行四边形?演示问题2:什么是三角形的中位线? 它与三角形的中线的区别?三角形的中位线有什么特征?请你说明理由.三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段.三角形的中线:连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半几何语言:点D、E分别是AB、AC的中点 DEBC,DE= BC活动探究已知:如图(1),DE是ABC的中位线.求证:DEBC,DE= BC证明方法1:如图 (2),延长DE到F,使EF=DE,连接CF.在ADE和CFE中AE=CE,1=2,DE=FEADECFEA=ECF,AD=CF,CFABBD=AD,B
4、D=CF四边形DBCF是平行四边形DFBC,DF=BCDEBC,DE= BC活动探究证明方法2:延长DE至点F,使EF=DE连接CF,DC,AFEF=DE, AE=EC四边形ADCF是平行四边形 ADCF, AD=CFAD=DB FCBD FC=BD 四边形BCFD是平行四边形DFBC,DF=BCDEBC,DE= BC活动探究证明方法3:过点E作MNAB 过点A作AMBC 四边形ABNM是平行四边形 AMBC M=MNC 在AEM和CEN中M=ENC,AEM=CEN ,AE=EC.AEMCENME=NE易证四边形ADEM和BDEN是平行四边形DE=AM=NC=BNDEBC,DE= BC 活动探
5、究活动探究三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并等于它的一半.几何语言:点D、E分别是ABC边AB、AC的中点, DEBC,DE= BC活动探究探究点二问题1:如图,顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形有什么特点?请你说明理由解:四边形EFQH是平行四边形.活动探究已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点求证:四边形EFGH是平行四边形 解: EFGH是平行四边形理由:如图,连接AC.EF是ABC的中位线,EF= AC且EFAC.同理,GH= AC且GHAC.EFGH且EF= GH.四边形EFGH为平行四边形活动探究问题2:如图所示,在AB
6、C中,ABAC,E为AB的中点,在AB的延长线上取一点D,使BDAB,求证:CD2CE. 证明:取AC的中点F,连接BF.BDAB,BF为ADC的中位线,DC2BF.E为AB的中点,ABAC,BECF,ABCACB.BCCB,EBCFCB.CEBF,CD2CE.活动探究在三角形中,若已知一边的中点,常取其余两边的中点,以便利用三角形的中位线定理来解题.活动探究 探究点三:问题1: 在梯形ABCD中,ADBC,ADBC,F,E分别是对角线AC,BD的中点求证:EF= (BC-AD) 证明1:如图所示,连接AE并延长,交BC于点G ADBC,ADE=GBE,EAD=EGB,又E为BD中点,AEDG
7、EBBG=AD,AE=EG在AGC中,F,E分别是对角线AC,BD的中点F、E是AGC的为中位线,EFBC,EF= GC= (BC-BG)= (BC-AD),即EF= (BC-AD)活动探究证2:如图所示,设CE、DA延长线相交于G E为BD中点,ADBC,易得GEDCEBGD=CB,GE=CE在CAG中,E,F分别为CG,CA中点,EF= GA= (GD-AD)= (BC-AD),即EF= (BC-AD)活动探究问题2:如图,ABC的周长为26,点D,E都在边BC上,ABC的平分线垂直于AE,垂足为Q,ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC=10,求PQ的长解:BQ平分ABC,BQAE,
8、BAE是等腰三角形.同理CAD是等腰三角形.点Q是AE中点,点P是AD中点(三线合一).PQ是ADE的中位线.BE+CD=AB+AC=26BC=2610=16,DE=BE+CDBC=6.PQ= DE=3.能力提升1.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,PEF=18,求PFE的度数. 解:PF是DBC的中位线,PE是BAD的中位线,PF=BC,PE=AD.AD=BC,PF=PE,PFE=PEF=18.能力提升2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N,则BME=
9、CNE(不需证明).小明的思路是:在图中,连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,根据三角形中位线定理和平行线性质,可证得BME=CNE.问题:如图,在ABC中,ACAB,D点在AC上,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若EFC=60,连接GD,判断AGD的形状并证明. 能力提升解:AGD是直角三角形.证明如下:如图,连接BD,取BD的中点H,连接HF,HE. F是AD的中点,HFAB,HF=AB,1=3.同理HECD,HE=CD,2=EFC.AB=CD,HF=HE,1=2.EFC=60,3=EFC=AFG=60,AGF为等边三角形.AF=FD
10、,GF=FD,FGD=FDG=30,AGD=90,即AGD是直角三角形.随堂检测1.如图,在A BC中,D、E分别为AC、BC的中点,AF平分CAB,交DE于点F.若DF3,则AC的长为( ) A. B3 C6 D9 2.如图,C、D分别为EA、EB的中点,E30,1110,则2的度数为( ) A 80 B90 C100 D110CA随堂检测3如图,点D,E,F分别为ABC各边中点,下列说法正确的是( ) ADEDF BEF12AB CSABD SACD DAD平分BAC4如图,D,E分别为ABC的AC,BC边的中点,将此三角形沿DE折叠,使点C落在AB边上的点P处若CDE48,则APD等于(
11、 ) A42 B48 C52 D58 C B 5如图,在ABC中,ABC90,AB8,BC6,若DE是ABC的中位线,F在DE延长线上,ECEF,则线段DF的长为( ) A7 B8 C9 D10随堂检测 B 随堂检测6.如图所示,在四边形ABCD中,ACBD,E、F分别为AB、CD的中点,AC与BD交于点O,EF分别交AC、BD于M、N.求证:ONMOMN. 证明:取AD的中点P,连接EP、FP,则EP为ABD的中位线EPBD,EP BD,PEFONM,同理可知PF为ADC的中位线,FPAC,FP AC,PFEOMN,ACBD,PEPF,PEFPFE,ONMOMN.课堂小结1.中位线:连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线2.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并等于它的一半几何语言:点D、E分别是ABC边AB、AC的中点, DEBC,DE= BC再见再见