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1、l 单个向量组成的向量组单个向量组成的向量组 :(1)若若 = 0, 则线性相关则线性相关; (2)若若 0, 则则线性线性无关无关.l 两个向量组成的向量组两个向量组成的向量组 , :(1)若对应分量成比例若对应分量成比例, ,则线性相关则线性相关;(2)若对应分量不成比例若对应分量不成比例, ,则线性无关则线性无关.复习线性相关性的判定理论复习线性相关性的判定理论1l设有设有n维向量组成的向量组维向量组成的向量组: 1, 2, m(1)包含包含0向量向量线性相关线性相关.(2)包含成比例的向量包含成比例的向量线性相关线性相关.(3)线性相关线性相关存在一个向量可由其余的存在一个向量可由其余
2、的 向量线性表示向量线性表示.(4)线性无关线性无关任何向量都不能由其余的任何向量都不能由其余的 向量线性表示向量线性表示.(m 2)增加增加( (减少减少) )个数不改变相个数不改变相( (无无) )关性关性. .(5)(6)增加增加( (减少减少) )维数不改变无维数不改变无( (相相) )关性关性. .2(7) 向量组向量组 1, 2, m线性相关性线性相关性 x1 1+x2 2+xm m=0有非零解有非零解 齐次线性方程组齐次线性方程组AX=0有非零解有非零解 其中其中A=( 1 2 m), X=(x1,x2,xm)T(8)设有设有n个个n维向量维向量 1, 2, n:u 1, 2,
3、n线性相关线性相关| 1 2 n|=0; u 1, 2, n线性无关线性无关| 1 2 n| 0.(9) Rn中中 n+1个向量一定线性相关个向量一定线性相关.(10)矩阵判别法矩阵判别法.34.3 向量组的秩向量组的秩1.极大线性无关组与秩极大线性无关组与秩;2. 向量组的等价向量组的等价;3.向量组的秩与矩阵的秩的关系向量组的秩与矩阵的秩的关系.本节本节 主要内容主要内容44.3.1 向量组的极大无关组与秩向量组的极大无关组与秩定义定义1 1设设S S是是n维向量构成的向量组维向量构成的向量组, ,在在S S中中选取选取r个向量个向量 , ,如果满足如果满足(1) (1) 线性无关线性无关
4、(2)(2)任取任取 S S,总有总有 线性相关线性相关. .则称向量组则称向量组 为向量组为向量组S S的一个的一个极大线性无关组极大线性无关组( (简称简称极大无关组极大无关组).).数数 r 称为该向量组的称为该向量组的秩秩,记记为为r( 1, 2, , s)= r 或或秩秩( ( 1, 2, , s)= r5 设有向量组设有向量组 1 = (1, 1, 1)T, 2 =(2,1, 0)T, 3 =(3,2,1)T, 求向量组求向量组的的秩秩和和极大无关组极大无关组. .因因 1 , 2 线性无关线性无关 ,且且例例1 1所以所以 1 , 2为为极大无关组极大无关组, 可知可知 1 ,
5、3和和 2 , 3也都是也都是极大无关组极大无关组. .故故 秩秩( 1, 2 , 3 ) =2. 3 = 1+ 2解解6定理定理4.2 设设n维向量维向量 1, 2, m线性无线性无关关, 而而 1, 2, m , 线性相关线性相关, 则则 可由可由 1, 2, m 线性表示线性表示, 且且表法唯表法唯一一. 证证 由由 1, 2, m, 线性相关线性相关 存在不全为零的数存在不全为零的数k1,k2,km,l使得使得下面证明只有下面证明只有l 0, 反证法反证法. .线性表示唯一性定理线性表示唯一性定理7如果如果 l =0, 则有则有k1, k2,km不全为零不全为零, ,使使于是于是 1,
6、 2, , m 线性相关线性相关, ,与已知矛盾与已知矛盾. .从而从而 l 0. 故有故有即即 可由可由 1, 2, , m线性表示线性表示. 下面来证明表示的唯一性下面来证明表示的唯一性.8假若假若 有两种表示法有两种表示法, ,设设两式相减两式相减, ,得得由由 1, 2, m 线性无关线性无关, ,得得 可由可由 1, 2, m 唯一线性表示唯一线性表示.故故9设有两个设有两个 n 维向量组维向量组u若若(I)中每个向量都可由中每个向量都可由(II)线性表示线性表示, 则称则称 向量组向量组(I)可由向量组可由向量组(II)线性表示线性表示. u若向量组若向量组(I)和和(II)可以互
7、相线性表示可以互相线性表示, 则称向量组则称向量组(I)与与(II)等价等价.定义定义24.3.2 向量组的等价向量组的等价等价的性质等价的性质自反性、对称性、传递性自反性、对称性、传递性10 n维向量组维向量组存在数存在数 , ,使得使得即即定义定义存在存在rs矩阵矩阵K, ,使得使得 Bns =Anr 向量组向量组(II)可由向量组可由向量组(I)(I)线性表示线性表示11极大无关组与原向量组的关系极大无关组与原向量组的关系? ?极大无关组之间的关系极大无关组之间的关系? ?这都要用到两个向量组之间的关系这都要用到两个向量组之间的关系. . 向量组极大无关组的几个问题向量组极大无关组的几个
8、问题: :向量组与它的极大无关组等价向量组与它的极大无关组等价. .证证设设(I)极大无关组极大无关组. 不妨设不妨设(II)性质性质1 1的秩为的秩为r,是是(I)的一个的一个12即即(II) 可由可由(I) 线性表示线性表示. i ( i = 1,2,r) (II), 由由(1) 由由定义定义1知知, , 1, 2 , m中任意中任意r+1个个(2)故故 (I)与与(II) 等价等价. j (I)(I) 向量都线性相关向量都线性相关. . 如果如果j=1,r, j 显然可由显然可由 1, 2 , r 线性表示线性表示; ;如如果果 j=r+1,m, 向量组向量组 1, 2 , r , j
9、一一定定线性相关线性相关, ,所以所以 j ( j=r+1,m)可以由可以由 1, 2 , r 线性表示线性表示(I)可由可由(II)线性表示线性表示.13证证 设设 (I), (II)是向量组是向量组S 的两个极大的两个极大 无关组无关组, ,由由性质性质1知知, ,(I)与与S等价等价, (II)与与S等价等价 ,由传递性由传递性(I)与与(II)等等价价. 向量组的任意两个极大无关组向量组的任意两个极大无关组等价等价.性质性质2 2设有设有n 维向量组维向量组: :若若(I)线性无关线性无关, ,且且(I)可由可由(II)线性表示线性表示, ,则则 r s .定理定理4.34.314证证
10、 因为向量组因为向量组(I)可由可由(II) 线性表示线性表示, 故有故有线性无关线性无关, 由由矩阵判别法知矩阵判别法知故故 r s.( (I) )(II)15推论推论2 2 若若(I)、(II)都线性无关都线性无关, ,且且(I)与与(II)等价等价, ,则则 r = s .向量组的向量组的 两个极大无关组所含向量个数相等两个极大无关组所含向量个数相等推论推论3 3 若若(I)可由可由(II)线性表示线性表示, ,则则秩秩(I)秩秩(II) .如果向量组如果向量组(I)可由可由(II)线性表示线性表示, 且且r s, 则则(I) 线性相关线性相关. 等价的无关向量组必然等秩等价的无关向量组
11、必然等秩推论推论1 116证证 设设r(I)=r , r(II)=s , ( (I) ),( (II) )分别是分别是(I), (II) 的极大无关组的极大无关组, ,显然显然( (I) ), ( (II) )含向量的含向量的 个数分别是个数分别是r 与 s . 因为因为( (I) )可由可由(I) 线性表示线性表示, (I)可由可由(II) 线性表示线性表示, ,而而(II)可由可由( (II) )线性表示线性表示, ,所以所以 ( (I) )可由可由( (II) )线性表示线性表示. .由定理由定理4.3有有r s.等价的向量组等秩等价的向量组等秩17设设若向量组若向量组 1, 2, 3线
12、性无关线性无关, ,证明证明向量组向量组 1, 2, 3也线性无关也线性无关.证证1 1 由已知可以解得用由已知可以解得用 1 1, 2 2, , 3 来表示来表示 1, 2, 3的表达式的表达式: 故两向量组故两向量组等价等价, ,等秩等秩, r( 1 2 3)=3r( 1 2 3 ) =3 1, 2, 3 线性无线性无关关. 例例2 218证证2 2 故两向量组故两向量组等价等价, ,等秩等秩, 则则 1, 2, 3 线性无关线性无关.194.3.3 向量组的秩与矩阵的秩的关系向量组的秩与矩阵的秩的关系定理定理4.4r(Anm)=A的列向量组的列向量组 的秩的秩.分析分析记记r(A)=r,
13、往证往证 的秩为的秩为r, 即即只要证只要证 的极大无关组含的极大无关组含r个向量个向量. .证证r(A)= rA存在存在r阶子式阶子式 Dr 0记记 Dr 对应的对应的r 列为列为是是r 维维线性无关向量的接长线性无关向量的接长, ,仍线性无关仍线性无关. .是线性相关的是线性相关的, ,下证下证20 j 不不在在 i1 , i2 , ,ir 中中, , j 在在 i1 , i2 , ,ir 中中; ; 线性相关线性相关. .r+1r+1列对应的子矩阵记为列对应的子矩阵记为A1 ,r(A1) r(A)= r r +1而而因为因为 线性相关线性相关, ,所以所以是一个极大无关组是一个极大无关组
14、. .故故r(A)= A的行秩的行秩= A的列秩的列秩由由 , ,又有又有 A 的行秩的行秩. . 21 设设AB=0. l若若A的列向量组线性无关的列向量组线性无关, ,则则B = 0.l若若B的行向量组线性无关的行向量组线性无关, ,则则A = 0.l若若B 0, 则则A的列向量组线性相关的列向量组线性相关. .l若若A 0, 则则B的行向量组线性相关的行向量组线性相关. .分析分析 设设B=(B1,B2,Bm), AB=0ABi=0. A的列向量组线性无关的列向量组线性无关AX=0只有零解只有零解Bi=0, i=1,mB=0. 其余情况可以类似得到其余情况可以类似得到.例例3 322将将
15、A=B行行秩秩等等; ;极大无关组的位置对应相同极大无关组的位置对应相同; ;表示系数对应相同表示系数对应相同当当 时时, ,n维列向量组维列向量组S:则向量组则向量组 与与u 初等变换法初等变换法极大无关组和秩的求法极大无关组和秩的求法行初等变换不改变行初等变换不改变A的秩的秩,不改变不改变列向量组列向量组之间的之间的线性关系线性关系.23求矩阵求矩阵A列列向量组的一个极大无关向量组的一个极大无关组和秩组和秩, , 并把其余列向量用所求出并把其余列向量用所求出的极大无关组线性表示的极大无关组线性表示. .解解 通过初等通过初等行行变换把变换把A化为行最简形化为行最简形例例4 424为一个极大
16、无关组为一个极大无关组25设有向量组设有向量组1 10 01 10 0=，=1 11 10 00 0=2 21 11 10 0=0 00 01 11 1， 求向量组的求向量组的(1)(1)秩秩;(;(2)2)极大无关组极大无关组; ;(3)(3)表示系数表示系数. .解法解法1 1设设1 1 2 01 1 2 00 1 1 00 1 1 01 0 1 11 0 1 10 0 0 10 0 0 1A=是该向量组的一个极大无关组是该向量组的一个极大无关组. . 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 10 0 1D=1010由由而而|A|=0知秩知秩=3, ,例例5 526解法解法
17、2 2设设A=1 1 2 01 1 2 00 1 1 00 1 1 01 0 1 11 0 1 10 0 0 10 0 0 1=1 1 2 01 1 2 00 1 1 00 1 1 00 0 0 10 0 0 10 0 0 00 0 0 0行行A1 0 1 01 0 1 00 1 1 00 1 1 00 0 0 10 0 0 10 0 0 00 0 0 0行行=B=(2) 是该向量组的一个极大无关组是该向量组的一个极大无关组, ,( ( 和和 也是也是) ). .(3)(1) 秩秩 = 3; ;27总结总结: :向量组的有关结论向量组的有关结论一、一、理解理解A=BC二、二、 S的的极大无关组
18、极大无关组 (1)(1)定义定义(2) (2) S,则则 可被极大无关组线表可被极大无关组线表, ,且表法唯一且表法唯一(3) (3) S与与极大无关组极大无关组; ; 极大无关组极大无关组极大无关组极大无关组(4) (4) S的各的各极大无关组含向量个数相等极大无关组含向量个数相等 -秩秩三、三、重要结论重要结论Th4.2Th4.3组组(I)可被可被(II)线表示线表示(I)无关无关r s组组(I)与与(II)等等价价(I), ,(II)无关无关r = s推推2推推3组组(I)可被可被(II)线表线表秩秩(I)秩秩(II)组组(I)与与(II)等价等价秩秩(I) = 秩秩(II)四、四、秩、
19、极大无关组、表示系数的求法秩、极大无关组、表示系数的求法Th4.428例题选讲例题选讲29 判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确？(1) 若向量组线性相关若向量组线性相关, 则其中每一向量都则其中每一向量都 是其余向量的线性组合是其余向量的线性组合.解解 不正确不正确. 如如e1,e2,2e2线性相关线性相关, e1不能用不能用 e2, 2e2线性表示线性表示. (ei是第是第i个单位向量个单位向量)(2) 若一个向量组线性无关若一个向量组线性无关, 则其中每一向则其中每一向 量都不是其余向量的线性组合量都不是其余向量的线性组合. . 解解 正确正确. 用反证法用反证法:若存在一向量是其余
20、若存在一向量是其余 向量的线性组合向量的线性组合, 则线性相关则线性相关.例例1 130(3) 若若 1, 2线性相关线性相关, 1, 2线性相关线性相关, 则则 1+ 1, 2+ 2也线性相关也线性相关.解解 不正确不正确.如如(1,0), (2,0)线性相关线性相关, (0,1),(0,3) 线性相关线性相关, 但但(1,1), (2,3) 线性无关线性无关;(4) 若若 1, 2, 3线性相关线性相关, 则则 1+ 2, 2+ 3, 3+ 1也线性相关也线性相关.解解 正确正确. 不妨设不妨设 1可由可由 2, 3线性表示线性表示, 则则 1+ 2, 2+ 3, 3+ 1可由可由 2,
21、3线性表示线性表示.31(5) 1, 2, m线性无关线性无关 1, 2, m 中任何两个都线性无关中任何两个都线性无关.所以所以 线性相关线性相关. 中任何两个都线性无关中任何两个都线性无关, 但但 反例反例解解 不正确不正确.只是必要条件只是必要条件, ,非充分非充分. .32设向量组设向量组 , , 线性无关线性无关, , , 线性线性相关相关, 以下命题正确的是以下命题正确的是( ). (A) 可以由可以由 , , 线性表示线性表示; (B) 不可由不可由 , , 线性表示线性表示. (C) 可以由可以由 , , 线性表示线性表示; (D) 不可由不可由 , , 线性表示线性表示.例例
22、2 2 33例例3 3设向量组设向量组 与与 1, 2, m, 1, 2, m的秩相等的秩相等,证明两向量组等价证明两向量组等价.证证 ( (I):): ( (II):): 1, 2, m, 1, 2, m ,R( (I)= )= R( (II)=)=r 不妨设不妨设 1, 2, r是是( (I) )的极大无关的极大无关组组, ,由由( (I) )与与( (II) )等秩知等秩知, 1, 2, r 也也是是( (II) )的极大无关组的极大无关组, ,所以所以 能由能由 1, 2, r线性表示线性表示, ,即即 也能由也能由( (I) )线性表示线性表示. .所以所以( (I) )与与( (I
23、I) )等价等价. 显然显然( (I) )能由能由( (II) )线性表示线性表示, ,只须证只须证 能由能由( (I) )线性表示即可线性表示即可. .34例例4 4 设向量组设向量组 1, 2, m 与与 1, 2, s 的秩的秩相等相等,且且 1, 2, m可由可由 1, 2, s线性线性表示表示,证明两向量组等价证明两向量组等价.证证: 设设( (I):): ( (II):): 1, 2, s 1, 2, m ,R( (I)=)=R( (II)=)=r 因为因为( (I) )能由能由( (II) )线性表示线性表示, ,所以所以( (I) ) 能由能由( (II) )线性表示线性表示, ,( (I):): 1, 2, r为为( (I) )的极大无的极大无关组关组; ;( (II):): 1, 2, r为为( (II) )的极大无的极大无关组关组. .35即即可得可得K 可逆可逆.所以所以即即( (II) )能由能由( (I) )线性表示线性表示, ,故故( (I) )与与( (II) )等价等价 ( (I) )与与( (II) )等等价价. 36
