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1、3 3. .2 2导数与函数的小综合导数与函数的小综合知识梳理考点自测1.函数的单调性与导数的关系(1)已知函数f(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内;如果f(x)0 f(x)0 f(x)0 3知识梳理考点自测3.函数的最值(1)图象在区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则为函数的最小值,_为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值.(3)设函数f(x)在(a,b)内可导,图象在a,b上连续,求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下:求f(x)在(a
2、,b)内的;将f(x)的各极值与进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.f(a) f(b) f(a) f(b) 极值 f(a),f(b) 4知识梳理考点自测1.若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在a,b上一定有最值.2.若函数f(x)在a,b上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.5知识梳理考点自测234151.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)如果函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f(x)0.()(2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.
3、()(3)导数为零的点不一定是极值点.()(4)函数的极大值不一定比极小值大.()(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.()6 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)6知识梳理考点自测234156 答案 答案关闭C2.如图是函数y=f(x)的导函数f(x)的图象,则下面判断正确的是()A.在区间(-2,1)内,f(x)是增函数B.在区间(1,3)内,f(x)是减函数C.在区间(4,5)内,f(x)是增函数D.在区间(2,3)内,f(x)不是单调函数7知识梳理考点自测234153.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a= ()A.-4B.-2C.4D.
4、26 答案解析解析关闭f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f(x)=0,得x=-2或x=2,易得f(x)在(-2,2)内单调递减,在(-,-2),(2,+)内单调递增,故f(x)极小值为f(2),由已知得a=2,故选D. 答案解析关闭D8知识梳理考点自测234156 答案解析解析关闭 答案解析关闭9知识梳理考点自测234155.已知函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,则实数a的取值范围为.6 答案解析解析关闭函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,f(x)=3x2+2ax+30在R上恒成立,=4a2-360,解得-3a3. 答案解析关闭-3,310知识
5、梳理考点自测234156.已知函数 在x=1处取得极值0,则a+b=.6 答案解析解析关闭 答案解析关闭11考点1考点2考点3考点4考点5(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)讨论函数f(x)的单调性.12考点1考点2考点3考点4考点5(2)f(x)=ex+xex-a(x+1)=(x+1)(ex-a),当a0时,ex-a0,由f(x)0得x-1,即在(-1,+)上,函数f(x)单调递增,由f(x)0得x0时,令f(x)=0得x=-1,或x=ln a.当ln a=-1,即a=e-1时,无论x-1或x0,又f(-1)=0,即在R上,f(x)0,从而函数f(x)在R上单调递增;当ln a-1
6、,即0a0x-1或xln a时,函数f(x)单调递增;由f(x)=(x+1)(ex-a)0ln ax-1,即ae-1时,由f(x)=(x+1)(ex-a)0xln a或x-1时,函数f(x)单调递增;由f(x)=(x+1)(ex-a)0-1x0(或f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间;当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.2.导数法求函数单调区间的一般流程:求定义域求导数f(x)求f(x)=0在定义域内的根用求得的根划分定义区间确定f(x)在各个开区间内的符号得相应开区间上的单调性.14考点1考点2考点3考点4考点5对点训练对点训练1已知函数f(x)= x2-
7、2aln x+(a-2)x,当a0时,讨论函数f(x)的单调性. 答案 答案关闭15考点1考点2考点3考点4考点5考向1利用函数单调性比较大小例2设函数f(x)是定义在(0,2)上的函数f(x)的导函数,f(x)=f(2-x),当0x时,若f(x)sin x-f(x)cos x0, 则()A.abcB.bcaC.cbaD.ca0,bR)的一个极值点,则ln a与b-1的大小关系是()A.ln ab-1B.ln ab-1C.ln a=b-1D.以上都不对 答案解析解析关闭 答案解析关闭30考点1考点2考点3考点4考点5例6若函数f(x)=ax3+(a-1)x2-x+2(0x1)在x=1处取得最小
8、值,则实数a的取值范围是() 答案解析解析关闭 答案解析关闭31考点1考点2考点3考点4考点5思考已知极值或最值如何求参数的范围?解题心得解题心得已知极值求参数:若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f(x0)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号相反.32考点1考点2考点3考点4考点5对点训练对点训练5设函数 (e是自然对数的底数),若f(2)是函数f(x)的最小值,则a的取值范围是()A.-1,6B.1,4C.2,4D.2,6 答案解析解析关闭 答案解析关闭33考点1考点2考点3考点4考点51.函数y=f(x)在(a,b)内可导,f(x)在(a,b)内的任意子区间内都不恒等于零,则f
9、(x)0f(x)在(a,b)内为增函数;f(x)0f(x)在(a,b)内为减函数.2.求可导函数极值的步骤:(1)求定义域及f(x);(2)求f(x)=0的根;(3)判定定义域内的根两侧导数的符号;(4)下结论.3.求函数f(x)在区间a,b上的最大值与最小值,首先求出各极值及区间端点处的函数值,然后比较其大小,得结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值).34考点1考点2考点3考点4考点51.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行.2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论.3.一个函数在其定义域内的最值是唯一的,最值可以在区
10、间的端点处取得.4.解题时,要注意区分求单调性和已知单调性求参数的问题,处理好当f(x)=0时的情况,正确区分极值点和导数为0的点.35高频小考点导数法求参数的取值范围典例1若函数f(x)=x- sin 2x+asin x在(-,+)单调递增,则a的取值范围是()答案:C363738典例2设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是()答案:D3940A.(-,-6)(6,+) B.(-,-4)(4,+)C.(-,-2)(2,+) D.(-,-1)(1,+)答案:C4142典例4若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)单调递增,则k的取值范围是()A.(-,-2B.(-,-1C.2,+)D.1,+)答案:D43反思提升反思提升解题的关键在于寻找能满足限制条件的含参不等式,寻找的方法就是等价转换.若限制条件为函数有唯一的正(负)零点,或存在唯一的x0使得f(x0)0,可根据函数的单调性,利用函数极值的正负满足限制条件,得到关于参数的不等式求解;若限制条件为存在一个x满足等式或不等式,解题思路往往是首先分离参数或含参数的表达式,得到一个等式或不等式,然后通过求最值把限制条件进一步转换成以参数为变量的不等式,解出参数的范围.44答案: (1)D(2)B 454647
