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1、微分中值定理与导数的应用 第 3 章第一节第一节 中值定理中值定理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理1.函数极值的定义函数极值的定义定义定义:函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.注：注： （1）极值的概念是局部性的）极值的概念是局部性的 （2）有的极大值可能比极小值还小）有的极大值可能比极小值还小 （3）取得极值处，曲线的切线是水平的，即极值点处）取得极值处，曲线的切线是水平的，即极值点处 导数为零。
2、导数为零。 但是注意导数为零处，即有水平切线处，不一定取得但是注意导数为零处，即有水平切线处，不一定取得 极值，例如图中的极值，例如图中的 点处点处2. 2. 费马费马(fermat)(fermat)引理引理且 存在证证: 设则证毕存在3. 驻点驻点：导数等于零的点。：导数等于零的点。注注： （1）极值点要么是驻点，要么是不可导点）极值点要么是驻点，要么是不可导点 （2）驻点不一定是极值点）驻点不一定是极值点费马引理的几何意义：费马引理的几何意义：一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理几何解释几何解释: :例如例如,证证注意注意: 定理条件不全具备定理条件不全具备, 结论不一定成立结论不一定成
3、立. 例如例如,例例证证 (1)(2)验证验证定理的假设条件满足定理的假设条件满足验证验证结论正确结论正确验证罗尔定理的正确性验证罗尔定理的正确性.罗尔定理肯定了罗尔定理肯定了 的存在性的存在性, 一般没必要知道一般没必要知道究竟等于什么数究竟等于什么数, 只要知道只要知道 存在即可存在即可.13例例试证方程试证方程分析分析注意到注意到:14证证 设设且且 罗尔定理罗尔定理即即试证方程试证方程例例证证:由由介值定理介值定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾矛盾,二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理几何解释几何解释:证证分析分析:弦弦AB方程为方程为作辅
4、助函数作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量 与函数在这区间内某点处的导数之间的关系与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推论推论证证: 在 I 上任取两点氏中值公式 , 得由 的任意性知, 在 I 上为常数 .例例证证自证:经验经验: 欲证时只需证在 I 上例例. 证明不等式证证: 设中值定理条件,即因为故因此应有或三、柯西三、柯西(C
5、auchy)中值定理中值定理几何解释几何解释:分析分析:要证要证证证: 作辅助函数作辅助函数且且使使即即由罗尔定理知由罗尔定理知, 至少存在一点至少存在一点思考思考: 柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗 ?两个两个 不不一定相同一定相同错错! !上面两式相比即得结论上面两式相比即得结论. 柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:注意注意:弦的斜率弦的斜率切线斜率切线斜率拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例：拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例：例：例：证：证：分析分析: 结论可变形为结论可变形为罗尔罗尔定理定理拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理柯西柯西中值定理中值定理 罗尔罗尔(Roll
6、e)定理、拉格朗日定理、拉格朗日(Lagrange)中值中值定理、柯西定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系中值定理之间的关系:推广推广推广推广 这三个定理的条件这三个定理的条件都是充分条件都是充分条件,换句话说换句话说, 满足条件满足条件,不满足条件不满足条件, 定理可能成立定理可能成立, 不是必要条件不是必要条件.而而成立成立;不成立不成立.定理定理也可能也可能应用三个中值定理常解决下列问题应用三个中值定理常解决下列问题(1) 验证定理的正确性验证定理的正确性;(2) 证明方程根的存在性证明方程根的存在性;(3) 引入辅助函数证明等式引入辅助函数证明等式;(4) 证明不等式证明不等式
7、;(5) 综合运用中值定理综合运用中值定理(几次运用几次运用). 关键关键 逆向思维逆向思维,找辅助找辅助函数（原函数）函数（原函数）例例分析分析 将结论交叉相乘得将结论交叉相乘得辅助函数辅助函数F(x)试证明试证明:或将结论交叉相乘得或将结论交叉相乘得换成辅助函数辅助函数F(x)证证 设辅助函数设辅助函数因此因此F(x)满足满足Rolle定理的条件定理的条件.即即得得证毕证毕. 分析分析即证即证要证要证证明证明:对任意的实数对任意的实数k,设设f (x)在在a, b上连续上连续, 在在(a, b)内可导内可导, 且且证证即即证明证明:对任意的实数对任意的实数k,设设f (x)在在a, b上连
8、续上连续, 在在(a, b)内可导内可导, 且且由由Rolle定理定理试证必存在试证必存在设函数设函数 f (x)在在0, 3上连续上连续,在在(0, 3)内可导内可导,证证因为因为 f (x)在在0, 3上连续上连续,且在且在0, 2上必有最大值上必有最大值M和最小值和最小值m,于是于是故故由介值定理知由介值定理知,至少存在一点至少存在一点使使所以所以f (x)在在0, 2上连续上连续,因为因为且且 f (x)在在c, 3上连续上连续,在在(c, 3)内可导内可导, 所以由所以由Rolle定理知定理知, 必存在必存在以下以下4题目较难题目较难试证试证: 存在存在设函数设函数 f (x), g
9、(x)在在a, b上连续上连续, 在在(a, b)内内证证设设f (x), g(x)在在(a, b)内最大值内最大值M分别在分别在取得取得.由零点定理由零点定理, 至少介于至少介于使得使得具有二阶导数且存在相等的最大值具有二阶导数且存在相等的最大值,令令则则因此由罗尔定理因此由罗尔定理, 存在存在使得使得再由罗尔定理再由罗尔定理, 存在存在使得使得即即(1) 证明拉格朗日中值定理证明拉格朗日中值定理: 若函数若函数 f (x)在在a, b上连续上连续, 在在(a, b)内可导内可导, 则存在则存在(2) 证明证明: 证证 (1) 取取由题意知由题意知F(x)在在a, b上连续上连续,在在(a,
10、 b)内可导内可导, 且且由由Rolle定理定理,即即(2) 证明证明: 证证 (2) 对于任意的对于任意的函数函数 f (x)在在0, t上上由右导数定义及拉格朗日中由右导数定义及拉格朗日中上连续上连续, 在在(0, t)内可导内可导, 值定理值定理所以所以例例. 试证至少存在一点试证至少存在一点使使证证: 法法1 用柯西中值定理用柯西中值定理 .则则 f (x) , g(x) 在在 1 , e 上满足柯西中值定理条件上满足柯西中值定理条件, 令令因此因此 即即分析分析:例例. 试证至少存在一点使法法2 令则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件,使因此存在内容小结内容小结1. 微分中值定理的条件、结论及关系微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理2. 微分中值定理的应用微分中值定理的应用(1) 证明恒等式证明恒等式(2) 证明不等式证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论关键关键: 利用逆向思维利用逆向思维（找原函数）（找原函数）设设辅助函数辅助函数费马引理费马引理思考题思考题反例反例
