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1、3.1.3导数的导数的 几何意义几何意义1高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用11.导数的定义导数的定义其中：其中： 其几何意义是其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。其几何意义是？其几何意义是？一、温故知新一、温故知新2二、探索新知二、探索新知3PPnoxyy=f(x)割割线线切线切线T 我们发现我们发现,当点当点Pn沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PPn一个确定位置一个确定位置PT.则我则我们把直线们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的切线处的切线.二、探索新
2、知二、探索新知问问1：此处切线定义与以前的定义有何不同？以前切线（如圆的切线）的定：此处切线定义与以前的定义有何不同？以前切线（如圆的切线）的定义是什么？义是什么？4 圆的切线定义并不适用于一般的曲线。圆的切线定义并不适用于一般的曲线。 通过逼近的方法，将割线趋于的确定位通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。了切线的直观本质。 二、探索新知二、探索新知5xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)Mxy问问2：通过逼近的方法
3、，将割线通过逼近的方法，将割线PQ趋于的确定位置的直线定义为切线趋于的确定位置的直线定义为切线PT，那么可否用，那么可否用逼近的方法用逼近的方法用割线的斜率求切线的斜率？割线的斜率求切线的斜率？ 即：当即：当x0时，割线时，割线PQ的斜率的极限，的斜率的极限，就是曲线在点就是曲线在点P处的切线的斜率，处的切线的斜率，6导数的几何意义导数的几何意义 1、几何意义：函数、几何意义：函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲线处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.即即:即即: 2、这个概念、这个概念: 切线斜率的本质切线斜
4、率的本质切点横坐标切点横坐标x0处的导数处的导数f(x0) ; 提供了求曲提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法：线上某点切线的斜率的一种方法： 求求曲线曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:7xoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T继续观察图像的运动过程，还有什么发现？继续观察图像的运动过程，还有什么发现？二、探索新知二、探索新知8二、探索新知二、探索新知9例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy = x2+1xy-111OjMDyDx因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.（
5、1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线在点得到曲线在点(x0,f(x0)的的切线的斜率切线的斜率切线的斜率切线的斜率。（2）根据直线方程的）根据直线方程的点斜式写出切线方程点斜式写出切线方程点斜式写出切线方程点斜式写出切线方程，即即【总结总结】求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：三、典例精析三、典例精析10即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.1112131415（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0
6、,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即二、求切线方程的步骤：二、求切线方程的步骤：小结: 无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导无法理解导 数概念。数概念。 五、归纳总结五、归纳总结一、导数的几何意义：一、导数的几何意义： 1、几何意义：函数、几何意义：函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲线处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x
7、0)处的切线的斜率处的切线的斜率.即即:16 六、作业布置六、作业布置一、交：一、交：一、不交：一、不交：书本书本P80，A4、5，B2、317 作业答案作业答案18第二课时一、复习19 1、求出函数在点、求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。 2、根据直线方程的点斜式写出切线方程，即、根据直线方程的点斜式写出切线方程，即（二）、求切线方程的步骤：（二）、求切线方程的步骤：小结: 无限逼近的极限思想是建立无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求导数概念、用导数定义求 函数的函数的导数的基本思想，丢掉极限思想导数的
8、基本思想，丢掉极限思想就无法理解导就无法理解导 数概念。数概念。（一）、导数的几何意义：（一）、导数的几何意义： 1、几何意义：函数、几何意义：函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲线处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.即即:第二课时第二课时一、复习20二、函数的导数：二、函数的导数：21函数在点函数在点 处的导数处的导数 、导函数、导函数 、导数、导数 之间的区别与联系。之间的区别与联系。1）函数在一点 处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是
9、指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求函数在点 处的导数的方法之一。2224xyoPQM为什么与抛物线对称轴平行的直线不是抛物线的切线？为什么与抛物线对称轴平行的直线不是抛物线的切线？ 思考：思考：Q25PPnoxyy=f(x)割割线线切线切线T当点当点Pn沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PPn趋近于确定趋近于确定的位置，这个确定位置的直线的位置，这个确定位置的直线PT称为点称为点P处的切线处的切线.2627例例2:如图如图,已知曲线已知曲线 ,求求: (1)点点P处的切线的斜率处的切线
10、的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程. yx-2-112-2-11234OP即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.28练：设练：设f(x)为可导函数为可导函数,且满足条件且满足条件 , 求曲线求曲线y=f(x)在点在点(1,f(1)处的切线的斜率处的切线的斜率.故所求的斜率为故所求的斜率为-2.题型三：导数的几何意义的应用题型三：导数的几何意义的应用2930xoyy=f(x) 设曲线设曲线C是函数是函数y=f(x)的图象，的图象，在曲线在曲线C上取一点上取一点P(x0,y0)及邻近一及邻近一点点Q(x0+x,y0+y),过过P,Q两点作割两点作割线，线， 当点当点Q沿着曲线无限接近于点沿着曲线无限接近于点P点点P处的切线。处的切线。即即x0时时, 如果割线如果割线PQ有一个极有一个极限位置限位置PT, 那么直线那么直线PT叫做曲线在叫做曲线在曲线在某一点处的切线的定义曲线在某一点处的切线的定义xyPQT问问1：此处切线定义与以前的定义有何不同？以前切线（如圆的切线）的定：此处切线定义与以前的定义有何不同？以前切线（如圆的切线）的定义是什么？义是什么？二、探索新知二、探索新知31
