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1、三、任意抛三、任意抛掷掷一一颗颗骰子，骰子，观观察出察出现现的点数，的点数，设设事件事件A表示表示“出出现现偶数点偶数点”，事件，事件B表示表示“出出现现的点数能被的点数能被3整除整除”。（1）写出）写出试验试验的的样样本点及本点及样样本空本空间间；（2）把事件）把事件A和和B分分别别表示表示为样为样本点的集合；本点的集合；（3）事件）事件 分分别别表示什么事件？并把它表示什么事件？并把它们们表示表示为样为样本点的集合。本点的集合。概率论与数理统计作业概率论与数理统计作业1（1.11.4）设样本点表示抛掷一颗骰子，出现设样本点表示抛掷一颗骰子，出现i点数，点数，i1,2,3,4,5,6. 则样
2、本空间则样本空间解解1（4） 生产产品直到有生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；件正品为止，记录生产产品的总件数；四、写出下面随机试验的样本空间：四、写出下面随机试验的样本空间：（1）袋中有）袋中有5只球，其中只球，其中3只白球只白球2只黑球，从袋中只黑球，从袋中 任意取一球，观察其颜色；任意取一球，观察其颜色；（2） 从（从（1）的袋中不放回任意取两次球（每次取出一个）观察其颜色；）的袋中不放回任意取两次球（每次取出一个）观察其颜色；（3） 从（从（1）的袋中不放回任意取）的袋中不放回任意取3只球，记录取到的黑球个数；只球，记录取到的黑球个数；（）设表示（）设表示“取出白球取
3、出白球”，样本空间为样本空间为表示表示“取出黑球，取出黑球，解解2（）设表示（）设表示“取出两个白球取出两个白球”，样本空间为样本空间为表示表示“第一次取出白球，第二次取出黑两球，第一次取出白球，第二次取出黑两球，表示表示“取出两个黑球取出两个黑球表示表示“第一次取出黑球，第二次取出白两球，第一次取出黑球，第二次取出白两球，（）（）（）（）3五、电话号码由五、电话号码由7个数字组成，每个数字可以是个数字组成，每个数字可以是0、1、2、9中的任一个中的任一个（但第一个数字不能为（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。六、把
4、十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。六、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。七、将七、将C、C、E、E、I、N、S等等7个字母随机的排成一行，求恰好排成个字母随机的排成一行，求恰好排成英文单词英文单词SCIENCE的概率。的概率。解解:解解:解解:4八、为减少比赛场次，把八、为减少比赛场次，把20个球队任意分成两组（每组个球队任意分成两组（每组10队）进行比赛，求队）进行比赛，求最强的两队被分在不同组内的概率。最强的两队被分在不同组内的概率。解解:设事件设事件 A 表示表示“最强的两队被分在不同的组内最强的两队被分在不同的组内”，则，则 基本事件总
5、数为：基本事件总数为：事件事件 A 含基本事件数为：含基本事件数为：或或5九、掷九、掷3枚硬币枚硬币, 求出现求出现3个正面的概率个正面的概率.解解:十、十、10把钥匙中有把钥匙中有3把能打开门把能打开门, 今任取两把今任取两把, 求能打开门的概率求能打开门的概率.解解:6十一、两封信随机地投入四个邮筒十一、两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率邮筒内只有一封信的概率.解解:设事件设事件 A 表示表示“前两个邮筒内没有信前两个邮筒内没有信”，设事件设事件 B 表示表示“及第一个邮筒及第一个邮筒内只有一封信内只有
6、一封信”，则则 74设设A、B为随机事件，并且为随机事件，并且 则则 概率论与数理统计作业概率论与数理统计作业2（1.51.7）一、填空题一、填空题2某市有某市有50住户订日报，住户订日报，65住户订晚报，住户订晚报，85住户至少订这两种报纸中住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的住户所占的百分比是的一种，则同时订这两种报纸的住户所占的百分比是 30 。3设设A、B、C是三个随机事件，是三个随机事件， 则则：（1）A、B、C中至少有一个发生的概率为中至少有一个发生的概率为 0.625 ；（2）A、B、C中都发生的概率为中都发生的概率为 0 ；（3）A、B、C都不发生的概率为都不发生
7、的概率为 0.375 。 5. 设设 且且 则则 8二、二、 设设P (A) 0， P (B) 0 ，将，将下列四个数：下列四个数： P (A) 、P (AB) 、P (AB) 、P (A) + P (B) 用用“”连接它们，并指出在什么情况下等号成立连接它们，并指出在什么情况下等号成立.解解9三、为防止意外三、为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统在矿内同时设有两种报警系统A与与B, 每种系统单独使用时每种系统单独使用时, 其有其有效的概率系统效的概率系统A为为0.92，系统，系统B为为0.93, 在在A失灵的条件下失灵的条件下, B有效的概率为有效的概率为0.85, 求求（1）发生意外时
8、）发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率；这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2） B失灵的条件下失灵的条件下, A有效的概率有效的概率.解法解法1设事件设事件A表示表示“报警系统报警系统A有效有效”，事件事件B表示表示“报警系统报警系统B有效有效”，由已知由已知则则故故从而所求概率为从而所求概率为解法解法2 由由 得得10三、为防止意外三、为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统在矿内同时设有两种报警系统A与与B, 每种系统单独使用时每种系统单独使用时, 其有其有效的概率系统效的概率系统A为为0.92，系统，系统B为为0.93, 在在A失灵的条件下失灵的条件下, B有效的概率为有
9、效的概率为0.85, 求求（1）发生意外时）发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率；这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2） B失灵的条件下失灵的条件下, A有效的概率有效的概率.解解设事件设事件A表示表示“报警系统报警系统A有效有效”，事件事件B表示表示“报警系统报警系统B有效有效”，由已知由已知则则故故(2)所求概率为所求概率为11四、两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为四、两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现，第二台出现废品的概率为废品的概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加，已知第一台加工的零件比第二台加工的
10、零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求任意取出的零件是合格品的概率。工出来的零件放在一起，求任意取出的零件是合格品的概率。解解:设设 A 表示表示任意取出的零件是合格品任意取出的零件是合格品, Bi 表示表示“取得零件是第取得零件是第i台车床加工的台车床加工的， i =1，2。事件事件 ABi 表示表示“取出的零件是第取出的零件是第i台车床加工的合格品台车床加工的合格品”，i =1，2。12解解:设设 Bi 表示事件表示事件“第一次取出了第一次取出了 i 个新球个新球”, i =0,1,2,3.则则设设 A 表示事件表示事件“第二次取到的都是新球第二次取到的都是新球”,五、袋中有五、袋中有12
11、个乒乓球，其中有个乒乓球，其中有9个是新的。第一次比赛从中任取个是新的。第一次比赛从中任取3个来用，个来用，比赛后仍放回盒中，第二次比赛再从盒中任取比赛后仍放回盒中，第二次比赛再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是个，求第二次取出的球都是新球的概率。新球的概率。13六、袋中有六、袋中有a个白球与个白球与b个黑球，每次从袋中任取一个球，取出后不再放回。个黑球，每次从袋中任取一个球，取出后不再放回。求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率。求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率。解解:设设 Ai 表示表示“第第 i 次取得白球次取得白球”， i =1，2； Bi 表示表示“第第 i
12、次取得黑球次取得黑球”， i =1，2。设设 C 表示表示“第二次取出的球与第一次相同第二次取出的球与第一次相同”，则，则 14（1）当收报台收到信号）当收报台收到信号“”时，发报台确实发出信号时，发报台确实发出信号“”的概率；的概率；七七 、 发报台分别以概率发报台分别以概率 0.6 及及 0.4 发出信号发出信号“”及及“-”，由于，由于通信通信系统受到干扰，当发出信号系统受到干扰，当发出信号“”时，收报台以概率时，收报台以概率 0.8 及及 0.2 收收到到信号信号“”及及“-”；又当发出信号；又当发出信号“-”时，收报台以概率时，收报台以概率 0.9 及及 0.1 收收到信号到信号“-
13、”及及 “” ，求，求（2）当收报台收到信号）当收报台收到信号“-”时，发报台确实发出信号时，发报台确实发出信号“-”的概率。的概率。解解设设 表示发报台发出信号表示发报台发出信号“”，设设 表示发报台发出信号表示发报台发出信号“-”。-(0.2)(0.8) -(0.9)(0.1) 15B 表示收报台收到信号表示收报台收到信号“”， C 表示收报台收到信号表示收报台收到信号“-”，则则（1）解解设设 表示发报台发出信号表示发报台发出信号“”，设设 表示发报台发出信号表示发报台发出信号“-”。-(0.2)(0.8) -(0.9)(0.1) （2）16八、有两个口袋八、有两个口袋, 甲袋中盛有两个
14、白球甲袋中盛有两个白球, 一个黑球一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个乙袋中盛有一个白球两个黑球黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的求取到白球的概率概率.解解甲乙?17九、上题中若发现从乙袋中取出的是白球九、上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球问从甲袋中取出放入乙袋的球,黑白哪种颜色可能性大黑白哪种颜色可能性大?解解181一个工人看管台同一类型的机器，在一段时间内每台机器需要工人维修一个工人看管台同一类型的机器，在一段时间内每台机器需要工人维修的概率为的概率为p(0p1)则：则：（1）n
15、台机器都不需要维修的概率是台机器都不需要维修的概率是 ；（2）恰有一台机器需要维修的概率是）恰有一台机器需要维修的概率是 ； (3）至少有一台机器需要维修的概率是）至少有一台机器需要维修的概率是 。概率论与数理统计作业概率论与数理统计作业3（1.81.10）一、填空题一、填空题 2.三个人独立地猜一谜语，他们能够猜破的概率都是三个人独立地猜一谜语，他们能够猜破的概率都是0.25，则此谜语，则此谜语被猜破的概率是被猜破的概率是 0.578 。二、单项选择题二、单项选择题 19证明证明即即三、三、，则事件，则事件A,B相互相互独立独立. .证明：如果证明：如果故事件故事件A,B相互相互独立独立.
16、.20四、计算题四、计算题1.电路由电池电路由电池a与两个并联的电池与两个并联的电池b及及c串联而成。设电池串联而成。设电池a、b、c损坏的概率分别损坏的概率分别 是是0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率。，求电路发生间断的概率。abc解解设事件设事件A、B、C分别分别表示电池表示电池a，b，c“损坏，损坏，D表示电路发生间断表示电路发生间断.则则则则故故212 2射击运动中，一次射击最多能得射击运动中，一次射击最多能得1010环。设某运动员在一次射击中得环。设某运动员在一次射击中得1010环环的概率为的概率为0.40.4，得，得9 9环的概率为环的概率为0.30.3，得，得8 8环的
17、概率为环的概率为0.20.2，求该运动员在五次，求该运动员在五次独立射击中得到不少于独立射击中得到不少于4848环的概率环的概率 。 解解设事件设事件A表示在五次独立射击中不少于表示在五次独立射击中不少于4848环，环，A1 1= =“5 5次均击中次均击中1010环环”A2 2= =“有有4 4次击中次击中1010环，环，1 1次击中次击中8 8环环”A3 3= =“有有4 4次击中次击中1010环，环，1 1次击中次击中9 9环环”互不相容，则互不相容，则显然显然A4 4= =“有有3 3次击中次击中1010环，环，2 2次击中次击中9 9环环”223. 电灯泡使用寿命在电灯泡使用寿命在1
18、000小时以上的概率为小时以上的概率为0.2, 求求3个灯泡在使用个灯泡在使用1000小时后小时后,最多只有一个坏了的概率最多只有一个坏了的概率.解解 设事件设事件A为为3个灯泡在使用个灯泡在使用1000小时后小时后,最多只有一个坏了；最多只有一个坏了；B=“3个灯泡在使用个灯泡在使用1000小时后小时后,只有一个坏了只有一个坏了”；C=“3个灯泡在使用个灯泡在使用1000小时后小时后,一个未坏一个未坏”；互不相容，则互不相容，则显然显然23解解二、二、1.设随机变量设随机变量服从二项分布服从二项分布B（3，0.4），）， （2） （1）求下列随机变量函数的概率分布：求下列随机变量函数的概率分
19、布： （1） （2）概率论与数理统计作业概率论与数理统计作业6（2.82.11）24二、二、2.设随机变量设随机变量 的概率密度为的概率密度为 求随机变量函数求随机变量函数 的概率密度。的概率密度。 解解或或 其反函数为其反函数为 25二、二、3.设随机变量设随机变量 X 服从服从00，22上的均匀分布，求上的均匀分布，求 在在(0,4)(0,4)内的概率密度函数。内的概率密度函数。 解解26上式两边对上式两边对 y 求导数，即得求导数，即得Y 的概率密度的概率密度27二、二、4 一批产品中有一批产品中有a件合格品与件合格品与b件次品，每次从这批产品中任件次品，每次从这批产品中任取一件，取两次
20、，方式为：（取一件，取两次，方式为：（1）放回抽样；（）放回抽样；（2）不放回抽样。）不放回抽样。设随机变量设随机变量及及写出上述两种情况下二维随机变量写出上述两种情况下二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布的概率分布及边缘分布 分别表示第一次及第二次取出的次品数，分别表示第一次及第二次取出的次品数， 并说明并说明X与与Y是否独立。是否独立。（1）放回抽样）放回抽样 解解（2）不放回抽样）不放回抽样 X与与Y相互独立相互独立. X与与Y不独立不独立. 28二、二、5.5.把三个球随机地投入三个盒子中，每个球投入盒子的可能性把三个球随机地投入三个盒子中，每个球投入盒子的可能性 是相同的。设随
21、机变量是相同的。设随机变量X及及Y分别表示投入第一个及第二个盒子分别表示投入第一个及第二个盒子球的个数，求球的个数，求( (X,Y ) )的的概率分布及边缘分布概率分布及边缘分布解解由此得由此得(X,Y)的二维概率分布如下：的二维概率分布如下：29二、二、6.6.随机地掷一颗骰子两次，设随机变量随机地掷一颗骰子两次，设随机变量 X 表示第一次出现表示第一次出现的点数的点数, ,Y 表示两次出现的点数的最大值，求表示两次出现的点数的最大值，求( (X, ,Y) )的概率分的概率分布及布及Y 的边缘分布。的边缘分布。解解即即X，Y 的所有可能的取值为的所有可能的取值为1，2，6.（i i ）当）当
22、时，时，（i）当）当时，时，X2 表示第二次出现的点数表示第二次出现的点数,30YX1234561234561/360000000000000001/361/361/361/361/362/361/361/361/361/361/361/363/361/361/364/361/361/365/366/36Y 的边缘分布为：的边缘分布为：31二、二、7. 设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）在矩形域在矩形域 上服从均匀分布，求（上服从均匀分布，求（X,Y）的概率密度及边缘概率密度。的概率密度及边缘概率密度。X与与Y是是 否独立？否独立？ 解解（X,Y）的概率密度的概率密度 X边缘概率密度边缘
23、概率密度 Y边缘概率密度边缘概率密度 故故X与与Y是是 相互独立。相互独立。 32二、二、8.8. 设二维随机变量设二维随机变量（X,Y）在联合分布列为在联合分布列为21321试问试问 为何值时，为何值时，X,Y才能独立？才能独立？解解解得解得要使要使X,Y独立需满足独立需满足33二、二、9：设：设 (X,Y）的分布函数为：的分布函数为：（1）确定常数）确定常数A, B, C； （2）求）求(X,Y）的概率密度；的概率密度；（3）求边缘分布函数及边缘概率密度。）求边缘分布函数及边缘概率密度。X、Y是否独立？是否独立？解解 对任意的对任意的x与与y，有有（1）34（2）X与与Y 的的边缘密度函数
24、为：边缘密度函数为：X的的边缘分布：边缘分布：（3）Y的的边缘分布函数为：边缘分布函数为：X与与Y是相互独立的。是相互独立的。35二、二、10.设设 (X,Y）的密度函数为的密度函数为：求：（求：（1）常数）常数A；（4）求）求(X,Y)落在区域落在区域R： （2）分布函数）分布函数F(x, y)；解解 （1） （2） 内的概率。内的概率。（3）边缘密度函数；）边缘密度函数； 显然，显然，F(x,y)=0 36（3 ） 同理：同理：37（4） 所求的概率为：所求的概率为： yx3238概率论与数理统计作业概率论与数理统计作业7 7（2.122.12）1.一个商店每星期四进货一个商店每星期四进货
25、, 以备星期五、六、日以备星期五、六、日3天销售天销售, 根据根据2.多周统计多周统计, 这这3天销售件数天销售件数 彼此独立彼此独立, 且有如下表所示且有如下表所示3.分布分布:0.10.70.2P1211100.10.60.3P1514130.10.80.1P191817问三天销售总量问三天销售总量 这个随机变量可以取那些值？如果这个随机变量可以取那些值？如果进货进货45件，不够卖的概率是多少？如果进货件，不够卖的概率是多少？如果进货40件，够卖的概件，够卖的概率是多少？率是多少？ 39解：解：Y可以取可以取40,41,42,43,44,45,46.进货进货45件，不够卖的概率为件，不够卖
26、的概率为进货进货40件，够卖的概率是件，够卖的概率是2.2.袋中装有标上号码袋中装有标上号码1 1，2 2，2 2的的3 3个球，从中任取一个并且不再个球，从中任取一个并且不再放回，然后再从袋中任取一球，以放回，然后再从袋中任取一球，以X,Y分别记为第一次，二次分别记为第一次，二次取到球上的号码数，求取到球上的号码数，求X+Y的概率分布律。的概率分布律。解：解：403.(X ,Y)只取下列数只取下列数组组中的中的值值 且相且相应应的概率依次的概率依次为为 列出列出(X ,Y)的概率分布表，并求出的概率分布表，并求出X-Y的分布律的分布律。解：解：0020-100010YX410020-1000
27、10YX具有可能值：具有可能值：显然，显然，23510311342，,- - - - -P 2 0 -2X-Y424. 设随机变量设随机变量X与与Y独立，且独立，且X在区间在区间0,1内服从均匀分布：内服从均匀分布： Y在区间在区间 内服从辛普生分布：内服从辛普生分布： 求随机求随机变变量量 的概率密度的概率密度. 解解43(1)当当 z 3 时时,45的概率密度为的概率密度为46L11L13L21L12L22L235. 电子仪器由六个相互独立的部件电子仪器由六个相互独立的部件如图，设各个部件的使用寿命如图，设各个部件的使用寿命服从相同的指数分布服从相同的指数分布求仪器使用寿命的概率密度。求仪
28、器使用寿命的概率密度。组成，组成，解解 各部件的使用寿命各部件的使用寿命 的分布函数的分布函数 先求三个并联组的寿命先求三个并联组的寿命 的分布函数的分布函数 的分布函数的分布函数47再求仪器使用寿命再求仪器使用寿命Z 的分布函数的分布函数, Z的分布函数的分布函数 进而进而 48解解二、二、 概率统计作业概率统计作业11（ch4-3-5）49三、三、 解解已知一本已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从页的书中每页印刷错误的个数服从P(0.2)，求，求 这本书的印刷错误总数不多于这本书的印刷错误总数不多于70的概率的概率.由列维定理知由列维定理知, 所求的概率所求的概率 50(1)解解E
29、(Y)=np =80，(1) 任一时刻有任一时刻有70至至86台机床在工作的概率；台机床在工作的概率；四四： 已知已知100台机床彼此独立地工作者，每台机床的实际工作时台机床彼此独立地工作者，每台机床的实际工作时间占全部工作时间的间占全部工作时间的80%，求：，求：(2) 任一时刻有任一时刻有80台以上机床在工作的概率；台以上机床在工作的概率；(2)设设 Y 表示任一时刻正在工作的机床数，则表示任一时刻正在工作的机床数，则 51解解样本均值样本均值样本方差样本方差样本二阶中心矩样本二阶中心矩计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩的观测值。计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩的观测值。 5.1
30、 设抽样得到样本观测值如下：设抽样得到样本观测值如下：15.8，24.2，14.5，17.4，13.2，20.8，17.9，19.1，21.0，18.5, 16.4, 22.6。概率论与数理统计作业概率论与数理统计作业12（5.15.4）523.设总设总体体X服从服从“0-1”分布分布: 求求样样本平均本平均值值数学期望及方差。数学期望及方差。抽取样本抽取样本的概率分布、的概率分布、解解53证证5.45.4证明：证明： 545.6 设总体设总体（1）抽取容量为）抽取容量为36的样本，求样本均值的样本，求样本均值 在在38与与43之间的概率；之间的概率；（2）抽取容量为）抽取容量为64的样本，求
31、的样本，求（3）抽取容量）抽取容量n多大时，才能使概率多大时，才能使概率达到达到0.95。解解(1) 由于由于 n =36,则则所求事件的概率为：所求事件的概率为：(2) 由于由于 n = 64,555.6 设总体设总体（1）抽取容量为）抽取容量为36的样本，求样本均值的样本，求样本均值 在在38与与43之间的概率；之间的概率；（2）抽取容量为）抽取容量为64的样本，求的样本，求（3）抽取容量）抽取容量n多大时，才能使概率多大时，才能使概率达到达到0.95。解解(3)56解解5 .7 设总体设总体从总体中抽取容量为从总体中抽取容量为n=16的样本，的样本，样本方差样本方差（1）若已知）若已知=2，求求（2）若）若未知，未知，（1）求求（2）57解解(2)5.8（1） 设总体设总体 抽取容量为抽取容量为10的样本，的样本，（2）(1)585.9设设 是来自正态总体是来自正态总体X 的简单随机样本，的简单随机样本， 证明统计量证明统计量Z服从服从t(2)分布。分布。5960求函数求函数 的分布的分布. .5.10 设设而而其中其中 615.11求常数求常数C，使使CY解：解：62
