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1、第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入3.1 3.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念3.1.1 3.1.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念问题提出问题提出 1. 1.数的概念产生和发展的历史进程：数的概念产生和发展的历史进程： 正分数正分数正无理数正无理数零和负数零和负数N NQ QR RR R数系每次扩充的基本原则：数系每次扩充的基本原则： 第一，增加新元素；第一，增加新元素； 第二，原有的运算性质仍然成立；第二，原有的运算性质仍然成立； 第三，新数系能解决旧数系中的矛盾第三，新数系能解决旧数系中的矛盾. . 2. 2.若若 ，则，则 对此你有
2、什么困惑？对此你有什么困惑？ 3. 3.唯物辨证法认为，唯物辨证法认为，事物是发展变事物是发展变化的，事物内部的矛盾运动是推动事物化的，事物内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力向前发展的根本动力. .由于实数的局限性，由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾的结果，数导致某些数学问题出现矛盾的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类新学家们预测，在实数范围外还有一类新数存在，还有比实数集更大的数系数存在，还有比实数集更大的数系. .探究（一）：探究（一）：虚数单位的引入虚数单位的引入 思考思考1 1：由由 得得 ，这与这与 矛盾的原因是什么？矛盾的原因是什么？ 方程方程x x2 2x
3、x1 10 0无实根无实根 思考思考2 2：方程方程x x2 2x x1 10 0无实根的根本无实根的根本原因是什么？原因是什么？1 1不能开平方不能开平方 思考思考3 3：我们设想引入一个新数，用字我们设想引入一个新数，用字母母i i表示，使这个数是表示，使这个数是1 1的平方根，即的平方根，即 i i2 21 1，那么方程，那么方程x x2 2x x1 10 0的根是的根是什么？什么？思考思考4 4：若若x x4 41 1，利用，利用i i2 21,1,则则x x等于等于什么？什么？1 1，1 1，i i，i. i. 思考思考5 5：满足满足i i2 21 1的新数的新数i i显然不是实显
4、然不是实数，称为数，称为虚数单位虚数单位，根据数系的扩充原，根据数系的扩充原则，应规定虚数单位则，应规定虚数单位i i和实数之间的运算和实数之间的运算满足哪些运算律？满足哪些运算律？乘法和加法都满足交换律、结合律，乘乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律法对加法满足分配律. .思考思考6 6：设设aRR，下列运算正确吗？，下列运算正确吗？探究（二）：探究（二）：复数的有关概念复数的有关概念 思考思考1 1：虚数单位虚数单位i i与实数进行四则运算，与实数进行四则运算，可以形成哪种一般形式的数？可以形成哪种一般形式的数？ abi i（a，bRR）思考思考2 2：把形如把形如abi
5、i（a，bRR）的数叫）的数叫做做复数复数，全体复数所成的集合叫做，全体复数所成的集合叫做复数复数集集，记作，记作C C，那么复数集如何用描述法表，那么复数集如何用描述法表示？示？ C C abi|i|a，bRR思考思考3 3：复数通常用字母复数通常用字母z z表示，即表示，即 z zabi i（a，bRR），这一表示形式叫），这一表示形式叫做复数的做复数的代数形式代数形式，其中，其中a与与b分别叫做分别叫做复数复数z z的的实部实部与与虚部虚部，那么复数，那么复数 z z 3i3i的实部和虚部分别是什么？的实部和虚部分别是什么？实部为实部为 , ,虚部为虚部为3.3.思考思考4 4：两个实数
6、可以相等，两个复数也可两个实数可以相等，两个复数也可以相等，并且规定：以相等，并且规定：abi icdi i（a，b，c，dRR）的充要条件是）的充要条件是ac且且bd，那么那么abi i0 0的充要条件是什么？的充要条件是什么？ ab0 0思考思考5 5：对于复数对于复数z zabi i（a，bRR）当当b b0 0时，时，z z为什么数？由此说明实数集为什么数？由此说明实数集与复数集的关系如何？与复数集的关系如何？当当b0 0时时z z为实数为实数. . 实数集实数集R R是复数集是复数集C C的真子集的真子集. . 思考思考6 6：对于复数对于复数z zabi i（a，bRR）当当b00
7、时，时，z z叫做叫做虚数虚数，当，当a0 0且且b00时，时，z z叫做叫做纯虚数纯虚数，那么虚数集与纯虚数集之，那么虚数集与纯虚数集之间如何？间如何？ 纯虚数集是虚数集的真子集纯虚数集是虚数集的真子集. . 思考思考7 7：复数集、实数集、虚数集、纯虚复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？数集之间的关系用韦恩图怎样表示？ 复数复数实数实数虚数虚数纯虚数纯虚数思考思考8 8：两个实数可以比较大小，一个实数两个实数可以比较大小，一个实数与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗？与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗？ 虚数不能比较大小虚数不能比较大小. .理论迁移理论迁移 例例1
8、1 实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数z zm1 1( (m1)i1)i分别是实数，虚数和纯虚数？分别是实数，虚数和纯虚数？ 当当m1 1时，时，z z是实数；是实数；当当m11时，时，z z是虚数；是虚数；当当m1 1时，时，z z是纯虚数是纯虚数. . 例例2 2 设复数设复数z z1 1(x(xy)y)(x(x3)i3)i，z z2 2(3x(3x2y)2y)yiyi，若，若z z1 1z z2 2，求实数，求实数x x，y y的值的值. . x x9 9，y y6. 6. 小结作业小结作业 1. 1.将实数系扩充到复数系是源于解方将实数系扩充到复数系是源于解方程的需要，到十九世
9、纪中叶已建立了一程的需要，到十九世纪中叶已建立了一套完整的复数理论，形成一个独立的数套完整的复数理论，形成一个独立的数学分支学分支. . 2. 2.虚数单位虚数单位i i的引入解决了负数不能的引入解决了负数不能开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复数集，它使得任何一个复数都可以写成数集，它使得任何一个复数都可以写成 abi（a，bR）的形式的形式. . 3.3.复数包括了实数和虚数，实数的某复数包括了实数和虚数，实数的某些性质在复数集中不成立，如些性质在复数集中不成立，如x x2 200； 若若x xy y0 0，则，则x xy y等，今后在数学解题中，等，今后在数学解题中，如果没有特殊说明，一般都在实数集内如果没有特殊说明，一般都在实数集内解决问题解决问题.
