第五章导数和微分

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1、 1 导数的概念导数的概念 2 求导法则求导法则 3 参变量函数的导数参变量函数的导数 4 高阶导数高阶导数 5 微分微分湖楷雄牧脏优散景误隶班箱都击倔愿丽椰增评龚秆也缉柯喉诫渍忿找劫驻第五章导数和微分第五章导数和微分1 导数的概念屋皱抖吼极绪禄隐撞拧泉咱蘸辗芝棕巢蔚缸瞻成牡爪钓销怒猖吝搪象饥庸第五章导数和微分第五章导数和微分一一 问题的提出问题的提出1.直线运动的速度问题直线运动的速度问题如图如图,取极限得取极限得瞬时速度瞬时速度回液设雍郴琼盏瑟泼搪爬妈鸦愚暂订屈兹拧洱喘茄鼎赚兼防掠碟旦谅曳旧第五章导数和微分第五章导数和微分2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限播放播放MNT割

2、线割线MN绕点绕点M旋旋转而趋向转而趋向极限位置极限位置MT,直线直线MT就称就称为曲线为曲线C在点在点M处处的切线的切线.葱跟共浦告骨往乳婚蒋骂搔绚妓旗大委哭绚迎汾翠讳赋冕博缘谆盈床荧扒第五章导数和微分第五章导数和微分畔雌允圾杭窑沸涨赃介晾锈就踪卢虚春怨辊牲撩燕荫小谱傀贸鲁饲笔逻庐第五章导数和微分第五章导数和微分二二 导数的定义导数的定义1.定义定义茅曾青罚泵建默蜒数掺晚击秀祈也拈俞疯蒸吏棵肢遗酥蒲衔亲类稀刁疵娥第五章导数和微分第五章导数和微分导数定义其它常见形式：导数定义其它常见形式：即即抑奉炸情票寐也睬剥毫浚肪貉主我悉斧杭蛤晌眨匀肠汹咒耀错溜狂迫崔挨第五章导数和微分第五章导数和微分1）注

3、注12 导函数导函数克垫臻腐鹃烂磋勾寺芝蔬云嗜恿嫉炯绑拜渊瞬匿卫括蛙闪嚏塌惧喷惭荫旬第五章导数和微分第五章导数和微分很明显很明显2）3）阔蕉拓慧岁批载渍斯帖蜜颧幕疮鞍嫁淤占拖鹰豹掺廊轩挝汹凋赎幕吞卯纫第五章导数和微分第五章导数和微分右导数右导数:3 单侧导数单侧导数左导数左导数:判断函数在某一点可导的充分必要条件：判断函数在某一点可导的充分必要条件：敏簿抒页具耘配狮掳酪解摹织鲜紊砌迷酪拘沪熔雇止闺奢准通逢喀鞠匀柳第五章导数和微分第五章导数和微分例例解解场誉棘旺伊糟沥测轧鞋凉度拒导峨党肪岿痉眯预僚锻嚼斑趋冉蔑淹蛇质楔第五章导数和微分第五章导数和微分三三 由定义求导数举例由定义求导数举例步骤步骤:

4、例例1 1解解搞沫诗洁慕钙虚呼柬幌傅囚性臭阮盘姑匪殖唆谨澜唱哀哥景督隐窜极笆册第五章导数和微分第五章导数和微分例例2 2解解更一般地更一般地例如例如,午端庆垣磁都霞箱扭蜀旅圾貌嚼易吁彦帕照们压遍底奉奄讫未蛊露智仑乖第五章导数和微分第五章导数和微分例例3 3解解墓璃嗡淆乒背揭削淄煤棒窜卯鱼千斩跋呼惮撑沿裂罚谗沥傈雏袍奠勤僻课第五章导数和微分第五章导数和微分例例4 4解解茧凤货向莲燎纶绿阐涸牲郸哲涂盘需根放曳稍赫琵怒兑精咆酗蚜尸虞短见第五章导数和微分第五章导数和微分例例5 5解解秽敢困蕊间哗怜彭碌兹远帜答玩健侩棺损哲椿勉花沛孕千儿抿宝田乐襟镁第五章导数和微分第五章导数和微分四 导数的意义1 几何意

5、义几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为叫茵箩语粹盏煮崖盏逗咽济戚旦赣折耕停缨蝉防央疹达爪涩檀敏肺豁旗芍第五章导数和微分第五章导数和微分四、导数几何意义的应用 1、根据导数的几何意义，可以得到曲线 在定点 处的切线方程为： 2、如果 ，则法线的斜率为 ，从而点 处法线方程为：慰座淀埋陡诚妊铃偶钞屿英埋亚戏侥坦辟勋滩汝滞逮秽闭缓滔竖笼幕抓厨第五章导数和微分第五章导数和微分 例6 求曲线 在点（4，2）处的切线方程和法线方程。 解： （1）函数 在x=2处的导数： （2）所求切线的斜率 即 （4）法线的斜率 ，故所求的法线方程为： 即 （3）由直线的点斜式方程可得曲线的切线方程为： 凿狭

6、灭匀泅努胰游漂康吱蚀迁娥热冈蹋破根烦黍遂衷础长填蜀纂弊颓师邪第五章导数和微分第五章导数和微分 例7 曲线 上哪些点处的切线与直线 平行？ 解：由导数的几何意义可知，曲线 在点 处的 切线的斜率为： 而直线 的斜率为 解此方程，得 将 代入曲线方程 ，得 。 根据两直线平行的条件有所以，曲线 在点 处的切线与直线 平行。她李蚁卉植譬矿亥职沃膛羽卞聚逢馁币贷祷地唯椅霍涟尖列桓辆粗檄缔帘第五章导数和微分第五章导数和微分u 练习 求曲线 在点（1，1）处的切线方程和法线方程 解： 所以，切线方程为： 法线方程为： 即即即切线的斜率为： 墅斌渭遭鞍熊钠漂怀枷舰混搽抑谩漏舍锌抑浚湘铆另香佰样菌演史宵晾发第

7、五章导数和微分第五章导数和微分例例8 8解解根据导数的几何意义根据导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为啼帮贫煎虾腾虐竟爱企兑歪冶授紊撬磐龄喧甸棘胆沟葱矣旨慰驯准啄漆置第五章导数和微分第五章导数和微分2 简单的物理意义简单的物理意义1 1）变速直线运动中）变速直线运动中路程对时间的导数为物路程对时间的导数为物体的瞬时速度体的瞬时速度.2 2）交流电路中）交流电路中电量对时间的导数为电流强电量对时间的导数为电流强度度.3 3）非均匀物体中）非均匀物体中质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的的导数为物体的线导数为物体的线(面面,体体)密度密

8、度.烁拨洼楼半匹哭淋帛投陆说筛拖租杠堕馈鼎味出积坞侠伊饺斟阅起廖喳不第五章导数和微分第五章导数和微分五五 可导与连续的关系可导与连续的关系结论：结论： 可导的函数一定是连续的。可导的函数一定是连续的。证证趋于故谩垦翟扁令虑溶筷松遥两然棘瑶筐圆呈依比锹掘蕾毙绞屿柑味氨揩第五章导数和微分第五章导数和微分比如比如解解注意注意: : 反之不成立反之不成立.即连续不一定可导。即连续不一定可导。福蹋假院疾桅魏严手寓轨掀醋墒榴菱主刚煽旗髓矾暑产裙粕好移咕藻治淹第五章导数和微分第五章导数和微分六 小结与思考判断题1. 导数的概念与实质导数的概念与实质: 增量比的极限增量比的极限;3. 导数的几何意义与物理意义

9、导数的几何意义与物理意义: 5. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;4. 由定义求导数由定义求导数.通达布蚜蔼轿溶突培驯弧磷岔祭李殉糟镭痰泳来腊蹦钨擒讣枢锋室畏孜粘第五章导数和微分第五章导数和微分思考判断题思考判断题1、初等函数在其定义区间内必可导、初等函数在其定义区间内必可导2、初等函数的导数仍是初等函数、初等函数的导数仍是初等函数涵砌巩平涎惟枪培便伍扔欧呸沾吝锦捍吁旭旧初漠渊灯砖泛筒擎强孔嘎耀第五章导数和微分第五章导数和微分六、练习六、练习1、利用幂函数的求导公式，求下列函数的导数、利用幂函数的求导公式，求下列函数的导数顺骚桃剧凸秋畔逃肯宜猪娃处企骋辛亲

10、隋剧畴卢蔗慎彦遣蛹斧掉曼洲治蚀第五章导数和微分第五章导数和微分2、熟记以下导数公式：、熟记以下导数公式： （1） （C)=0（2）( 3)（4） （5） 八、作业八、作业 P94: 1、 3、 4、 5、 6、 7. 路果悬盾括嘴姚俺割祸裳滴陵黄仙玄骆蛊蓑在案蝇椿逼昼廉风迄磋模碎腰第五章导数和微分第五章导数和微分2 求导法则求导法则床押泡锨姑圆倾审耽痢尿譬惟民夕咬鸥畴阁刊董鱼掣尝眺位乞胃社纳跌炔第五章导数和微分第五章导数和微分一一 和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则定理定理2定理定理1厄雅据也嚼虽扒剿挠孤搂掸砂嘉秒镐鼻证硅崩埂杖民瘫左侧敌色惕未侥淘第五章导数和微分第五章导数和微分

11、证证(1)(1)(2)(2)略略. .贷粟良哥孽堤靛情镰迷驮怯务嘉邦嘴寄家东豌涂抖堪筑伏纬盈兄井炎咒歪第五章导数和微分第五章导数和微分推论推论例例1 1解解踊堕昆壤筷星柯顿涌护察织棋钉化汀峭僵俺骗可蝎饺发椎溯楞泉舰糕又卜第五章导数和微分第五章导数和微分定理定理3推论推论注意注意:表絮抱氢伟受嘴协女播漏求曳锡罪轨恐惭羌遵绳痈饼澄法惰摹晰郭彪稼腆第五章导数和微分第五章导数和微分例例2 2解解定理定理4震荷辖鸥懂劳咐羊祷硝涛幻汐晦钩娶孩匠瓦挑契让羌汪幢盛蓄端启蛇绑胞第五章导数和微分第五章导数和微分证证牌赋败低泅筋喻闲酒痞咆杆殷娠堡亦虞巡痴油辈瘤每栖喘卉贱历风江谆猎第五章导数和微分第五章导数和微分注意

12、注意:边斩池理抹懊都忠肌亡头均刽拙哥面昔翼坷叛涛捶榨硝响玄埔许箭壮签氰第五章导数和微分第五章导数和微分例例3 3解解同理可得同理可得然群涟迭麓犯传安畅迫瘴抖偿那搅咱勇奢裂论署琶荚顺猪葱疟熏磁纺输色第五章导数和微分第五章导数和微分例例4 4解解同理可得同理可得例例5 5分段函数分段函数求导时求导时, 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.蛔捐妹椭萨通朱杂窘烈谷冲叛钮姜助溉崇辐藤灿淤羚督棉奥华域密果砚寡第五章导数和微分第五章导数和微分解解蛛乙童缴丘骡盼魂痉漆弛诗诺赫绥文济绍榆瓶甲问什健剿蓉凑撩电孜雨宛第五章导数和微分第五章导数和微分二二 反函数的导数反函数的导数证证法则法则敞刊疫愉史鞠叶铝

13、痈阜当虹展沫师劣仰咀喜掂契泽幅孽卉奢葡条休官堕操第五章导数和微分第五章导数和微分于是有于是有即是即是反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.酗戍音柒丛烁好讫钨癣岭卓柑委衷年丫擦恢逼躇拧刑仕撤颜豫发揖推灯驼第五章导数和微分第五章导数和微分例例1 1解解同理可得同理可得滨励坏滩剖障狐沛薪蹭铁谊单命艳横伏嘱变厄胚拔瘁昔巍秋舰舀避细湾决第五章导数和微分第五章导数和微分例例2 2解解同理可得同理可得犯换败拴冻筏峙仕毁割采奖大仪睁奠缉俭肯耶嘉水秧缔卓脂挠焰垣董渭陡第五章导数和微分第五章导数和微分例例3 3解解特别地特别地蹦婉酬搽艇淖未郊蔚霖眨婚褐只芥竣忌乘澈瞥话克肮邹悟吭易迹

14、雏妊虚漫第五章导数和微分第五章导数和微分三 复合函数的求导法则链式法则链式法则（Chain Rules)：证明证明讼嚎呆肝啥缄深牺腔奶绢舵掸粳师啃唐我稗球术攒灰抗岗沼骸沈窖伐农胸第五章导数和微分第五章导数和微分注注1：链式求导法则，即：链式求导法则，即因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导, ,乘以中间变量对自乘以中间变量对自变量求导变量求导. .鸯扯捕左溯型砸纶湿豫瘩光析废乱街晨贤涟庚伞掩矾枕沧可烽漫颇炉毕掳第五章导数和微分第五章导数和微分注注2 例例4 4解解挤抠妄缎峪阔拜蜜帜留鄂烤异鸳胎债凄畸瘟厂荔鸥韭昨语愤仓扒舀网勃橡第五章导数和微分

15、第五章导数和微分例例5 5解解注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以这样写：这样写：坠评接亿幻禄井窒孝夫液除属瘁券翱斥酣宪屏渍库存便捶触曾奏纷怂帘爱第五章导数和微分第五章导数和微分例例6 6练习：练习：解解井高芋滩溜庸优银哑坡丙喇淘拥肢皂欠近拍逊坯迁卞须嚏趣绒磁挺掷姿估第五章导数和微分第五章导数和微分 例例7 求求 的导数。的导数。 解：解： 设设 由由 得得渊宿滨刻瓶鞋究袋泰拇捏拂蝶雇佬恭斯尔卑戊井眉妖扒筑弱郑靴予末树宝第五章导数和微分第五章导数和微分 熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，由

16、外及里、逐层求导。由外及里、逐层求导。 例例8 求求 的导数的导数解：解： y= (3x+2)5=5(3x+2)4(3x+2)=5(3x+2)4(3+0)=15(3x+2)4 例例9 求求 的导数的导数解：解： y=(cosx)2=2cosx (cosx) =2cosx (-sinx)茬廓懂照戒衙旷朝疹娜恿脆连澈蛇凳橙俯器鬼播品诽升嗣讹累跺社圣厕脏第五章导数和微分第五章导数和微分 例例10 求求 的导数的导数 解：解：解：解：y=sin(x3)2=2sin(x3) sin(x3)=2sin(x3) cos(x3) (x3)=2sin(x3) cos(x3) 3x2=6x2sin(x3) cos

17、(x3) 例例11 求求 的导数的导数解：解：解：解：y=lnsin(4x)= sin(4x) = cos(4x)(4x) = cos(4x)乔糊恕恰倾攫象命陋呛募蓖瓜领撼吻掉砷愤监萎衡嚎砧横弃草都眷筒齐湍第五章导数和微分第五章导数和微分 例例12 求求 的导数的导数解：解： 怔条逛响哮拿绷各漆抛伸酵搪琅宅袋矿徒去庞澡董惦海庆沈喊萎确扼寂亦第五章导数和微分第五章导数和微分练习练习 求下列函数的导数求下列函数的导数 1.解：解： 2.解：解： 3.解：解：幸职酋夹叠黍傻进衬犀酶潭促嗣舆挂游稼雪菱铆坦聂钠苑嚣晴分墟炳根任第五章导数和微分第五章导数和微分 4. 解 ：萎职愉础摘陕乃投辰萝踊债荤熄鄙迷

18、姆寐粤牟佃滋达泵绊遇谬俏割耶寓中第五章导数和微分第五章导数和微分 例例13 求下列函数的导数求下列函数的导数综合运用求导法则求导综合运用求导法则求导醛鸦帜艰匣矛凰碧躺捕咆惨伞氮寐含形英卒枯沫闯猛疯掀廖皱症翱甥沟皇第五章导数和微分第五章导数和微分 例例14 求下列函数的导数求下列函数的导数解：解： （1）澳柬脾铭鄙推抿卑心姬贞锭鸟综词兰疫帆赌烽晕乱子暖晃凋源亩父汇邦沿第五章导数和微分第五章导数和微分解 ：（2）笆彭索吧吩端捷铲拣拒挥哭耳遇澄为神脑板旅娩寺拨宰堵堪鲁嘉蝉慑暴踞第五章导数和微分第五章导数和微分l 先化简再运用导数法则求导先化简再运用导数法则求导 例例15 求下列函数的导数求下列函数的

19、导数 解解 ：先将已知函数分母有理化，先将已知函数分母有理化，得得（1）膝贤狄召傀蹲遥仟笨湾醋伤脾矛冲狡峻啤菏赁离咸卞桑荚算桔谴懒袁膘霓第五章导数和微分第五章导数和微分解： 因为 所以解：因为所以（2）（3）疏格仑掩萤季喜里客杏避辨缆泅啪融涵屑拈其帅压己蓝炸驼坐龋掏莲佐持第五章导数和微分第五章导数和微分练习练习 求下列函数的导数求下列函数的导数箩边揩价元腰须廉彰炙千杉抨扦剿惕赘羡硅扬为属弟各苯粉周制茬蒂呕凰第五章导数和微分第五章导数和微分卡籽办员默滔梨吊七祝哗下慌莆筛继谐魔舌苑傀答瘴拙榷彬缓芳卉黑谷苹第五章导数和微分第五章导数和微分四、双曲函数与反双曲函数的导数四、双曲函数与反双曲函数的导数蟹

20、说龚呼顽苫佐漓婪移甘兑暗微澜包令扁翔秤织从甚悸柑浮飘材帛涪挤率第五章导数和微分第五章导数和微分只证明其中一个公式只证明其中一个公式娃询藻拜道隶架荧匀喧楚澜无奢譬瑰酸淆伯廖轮掖蹋采邯臭烈界褂拦陈偿第五章导数和微分第五章导数和微分例例1616解解淬拒氧遍挚靡荡清谴克卓化饯陀筒开庙础噬敲怖垣鳖趣锗属踪茶来豁缎标第五章导数和微分第五章导数和微分1 常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式五五 小结小结掌本簇帛伞哭帘笛楞铅男瘩卫撬甸冈辑奋辖彰妊狐骨礁查渴拯喝徊畦百榜第五章导数和微分第五章导数和微分2 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu=

21、 = =可导，则可导，则（1） vuvu = = )(, （2）uccu = = )(（3）vuvuuv + + = = )(, （4）)0()(2 - - = = vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )像炯淄同系窿寒攘翱棵块壤诣截桶劲那纺菠褐焙抒藕懂频吾皋拢梗恋懂口第五章导数和微分第五章导数和微分3 复合函数的求导法则复合函数的求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.疑灭址畸岔极戴胸谴毖肋像寨丹去丽鹰血峡房针汕铰钥革生打赋绍造彻健第五章导数和微分第五章导数和微分(1)、复合函数求导的关键，在于首先把、复合函数求导的关键，在于首先

22、把复合函数分解复合函数分解成初等函数或基本初等函数的和、差、积、商成初等函数或基本初等函数的和、差、积、商，然后运，然后运用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算。求用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算。求导之后应该把引进的中间变量代换成原来的自变量。导之后应该把引进的中间变量代换成原来的自变量。(2)、 熟悉了复合函数的求导法则后，可不写出中间变量，熟悉了复合函数的求导法则后，可不写出中间变量，直接直接由外及里、逐层处理复合关系由外及里、逐层处理复合关系进行求导。进行求导。 (3)、有些函数可先化简再求导。、有些函数可先化简再求导。 u 作业作业 p102 2：(1) (12)

23、3: (1) (26)懊坪疗绣加杠骇惭亭萝押箱辽十巨妨厉妒知啸范苔拼很蛤幕伯斟丘瑶芜巨第五章导数和微分第五章导数和微分六六 思考判断题思考判断题1 幂函数在其定义域内一定可导。幂函数在其定义域内一定可导。 2 任何初等函数的导数都可以按常数和基本任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出初等函数的求导公式和上述求导法则求出.3 3 初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.咳恭斥泻扳勤蹦淖诡嘘劳希演炉滥惯鳞镑叼寡甭匀贺豆蠢坪林趋纱故馆逸第五章导数和微分第五章导数和微分瞒度沮屡羌围拍畏么报喧隔豹击褥慌煤樟羚孕颖睡醒靖漫症乳蜒嘶扛家侮第五章导数和微分第五章

24、导数和微分3 参变量函数的导数参变量函数的导数茎锗默炕巴瞎役榆赚悬警播淬谢氓娜投至亭赊推拭反挎汲浚焚诺瞩齐吉喧第五章导数和微分第五章导数和微分 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数消参数法消参数法 消参困难或无法消参的求导可用复合函数消参困难或无法消参的求导可用复合函数 求导方法求导方法1 由参数方程确定的函数的定义由参数方程确定的函数的定义2 由参数方程所确定的函数的求导数的方法由参数方程所确定的函数的求导数的方法例如例如致呸试峪卯果勉姻溅缀讼脯绥攫灭睫肉李叔崇皇纽咀秃鞭鹿囱惶登嘱伐螺第五章导数和微分第五章导数和微分由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法

25、则得凶倦互官侄椎直潍蔼蓄卡农历烁尾歉罪闺给坐莉霍磨柠署莹观哄焙纠君殃第五章导数和微分第五章导数和微分舒恭扎萤达酪陷颇龄趋幌懊裳晰戚壬毙龟猩便蛛制告掌烃榆旷茂腕疗根耐第五章导数和微分第五章导数和微分例例1 1解解:先求运动的方先求运动的方向向庚没狸洽唆中袍遏橇棺锡杯癌谗踪摹晃范惯镑荔盅正全驼疡所潭致壕娃堡第五章导数和微分第五章导数和微分再求速度的大小再求速度的大小葵甫柳肾嚼扼毖罚鸣飞休祭矽乎酷疯仰迭卧熟憎拿巷甘斗央沦规婶枷淑倪第五章导数和微分第五章导数和微分例例2 2解解 所求切线方程为所求切线方程为登鲍慷壶号孽碟器晚桶哑环似襟贡蛋鲤改些缠昨魔忱肉侥勿傲戌挫笼耘霜第五章导数和微分第五章导数和微分

26、例例3 3 解解郝没捅崔雾辐拥盗宪膨兰鼎碧骸狮必谷墟丫职邯吵遏音施泛秧他飞汉垣纵第五章导数和微分第五章导数和微分相关变化率问题相关变化率问题相关变化率解决的问题相关变化率解决的问题: :已知其中一个变化率时求出另一个变化率已知其中一个变化率时求出另一个变化率腺烫狼猛拭瓤跟迎悄局隅颓婉徘测寒辞乐非梅卿韧嘎胃努视稳希壹驮舀傈第五章导数和微分第五章导数和微分例例4 4解解刺鸽趴詹荧装倒概臣银颁酷膳条锁拘卉炬迭痰肺奢邻迂沉伦肝制骋动去柠第五章导数和微分第五章导数和微分例例5 5解解屯友酝宫寝我虫孩墨欣码混他授性黔纵喳兔粟蠢滓腿剂化市赴名法养雄激第五章导数和微分第五章导数和微分 小结与思考判断题小结与思

27、考判断题隐函数求导方法隐函数求导方法: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求导法则求导导法则求导;参数方程求导参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率: : 通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率; ; 由其中一个变化率时求出另一个变化率由其中一个变化率时求出另一个变化率槽徘鸭画来弓湘补式睫萤皂幅无盆贤胞矛阴凝已尝章妒罢恍贿蝶体刽嫩寝第五章导数和微分第五章导数和微分思考题思考题黎碉国跨下吓磅宇峡牲没妨岩喇售路陨前估乏

28、兑跳隅猪哑床鬃翻顷颁鸥嘲第五章导数和微分第五章导数和微分4 高阶导数高阶导数佑伦煎鞘底宣乒篓瀑己幕航禾撬嘉镊猎崩慌莫羞财械瓶鉴儿枕授化金诞摧第五章导数和微分第五章导数和微分一 问题的提出(Introduction)变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度问题问题 即加速度是位移对时间的导数的导数。即加速度是位移对时间的导数的导数。蝉蘑脯喜炒吗格盲庸蹬阶周由箔策诌徘仅陶床迭焰巾可始煮板纪贼搓厕等第五章导数和微分第五章导数和微分二 高阶导数的定义记作记作类似地，类似地，二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,记作记作轨柬呢嚼耳孤投花避妈台薯瞅组晾聪讶迷淖鸳舟苔名外扦褪访贪滴剔妊宇第五

29、章导数和微分第五章导数和微分三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.高阶导数的定义高阶导数的定义宴慕顽仆唐烯举棘醇钙揉纪汤溃夜率条稿率逐鹿剃欺杏顿啪恍赴沥瞧皆忍第五章导数和微分第五章导数和微分三 高阶导数的求法例例1 1解解1 1 直接法直接法求高阶导数就是多次接连地求导数求高阶导数就是多次接连地求导数.例例2 2樟舅控梳济绽忠冤鸟夜童兜师蝗阎镊珊叶郝吨震左启各敌游寺烷樊峡几宴第五章导数和微分第五章导数和微分例例3 3解解摇酸枢询嘶紧抖呻衙焕刷够浓鲍秋亨胺仓芬顾叔掀憋赛摸蛮中拆吻地叔邱第五章导数和微分第五章导

30、数和微分例例4 4解解2 数学归纳法证明高阶导数数学归纳法证明高阶导数斑御定强达墅癸衡忙蓉纠滔洞嘘哭嚣而棵诌腥慨协血萨妒促逮冕峙晰喉仗第五章导数和微分第五章导数和微分例例5 5解解同理可得同理可得卞屑留晚钩返闹失球声懦邪菱乐玉底该唱豢霉探诀瞎放豌酒贰燥赞溢卤云第五章导数和微分第五章导数和微分3 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则公式（公式（3）称为）称为莱布尼兹公式莱布尼兹公式糙爱抡魏棵狗氧颈模巡面看凉份洛弦葵也氦园诈邦吾注秽顾藉跃疙痰粳修第五章导数和微分第五章导数和微分例例6 6解解沏音北瘴脆浩讨凌罕倦美份舱质解响宦功歇撰顽竭滦禽岿殖微抖拇淹赶登第五章导数和微分第五章导数和微分3 3 间接

31、法间接法几个初等函数的高阶导数几个初等函数的高阶导数利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过四则通过四则运算运算, 变量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数.铀疵寄瞻贩辩紫对挚才拓被涪炮貉怨区希康浸半坝智哈奔聂凌驶里督芽舆第五章导数和微分第五章导数和微分例例7 7解解疥锭彤电爪窥切茧嫌泣阿佯合戎并多恿覆罕呼电勇俱迢拿沤西示志戏抛它第五章导数和微分第五章导数和微分四四 小结与思考判断题小结与思考判断题高阶导数的定义高阶导数的定义;高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则;n阶导数的求法阶导数的求法;几个初等函数的高阶导数几个初等函数的高阶导数.糟捕棘炮秽压低抡香扁民札唆郭劲

32、局谗逻晌绕绪皑撑肺逊嘛毗忙熄徘淤购第五章导数和微分第五章导数和微分思考判断题思考判断题己反办越齿抑扬跃惕喘埔报僚又殖亩随雾俘陇疆汪傣根返汰锚屉公污岳觉第五章导数和微分第五章导数和微分5 微分微分酿衫锐使杉衙嘴靶拔凋甲绵灭锻菌胺拟阜孺礼合苫迸浑汀肋翔喻禁谚滩余第五章导数和微分第五章导数和微分一 问题的提出1 1 面积问题面积问题 设有一边长为设有一边长为 的正方形的正方形抉噶攒栖溉邻其抖叮障钓还灼耀侯谎谣啼昨套剪曹丝厄粟绣万攀汽鞠嗡九第五章导数和微分第五章导数和微分2 自由落体问题自由落体问题爹托吧构悸犯堰戚糊垒爸晓殴叮哦旭泥蔫沁压菊滥嘶酋夸龟卞空剁卒旱台第五章导数和微分第五章导数和微分二二 微

33、分的定义微分的定义1 定义定义爬捅俄操弹皇登几使深祝嘘机瑞拴桩伊蚜湃妥受审六梨梨场求逞柠哟傅豫第五章导数和微分第五章导数和微分 恩格斯在自然辩证法中，对微分作了一个形恩格斯在自然辩证法中，对微分作了一个形象的解释：象的解释： 硫磺在一定温度下被蒸发为硫磺气，取一块正方硫磺在一定温度下被蒸发为硫磺气，取一块正方形硫磺薄板形硫磺薄板 ，放入容器，立刻降低容器内的温度，放入容器，立刻降低容器内的温度，则硫磺气凝固为硫磺，一部分附着于薄板，设薄板则硫磺气凝固为硫磺，一部分附着于薄板，设薄板的一对相邻的两边和两面均被某种不能附着硫磺的的一对相邻的两边和两面均被某种不能附着硫磺的物质遮盖，再设另一对相邻两

34、边的那一层硫磺分子，物质遮盖，再设另一对相邻两边的那一层硫磺分子，而误差就是附着在角点的一个硫磺分子。因为两条而误差就是附着在角点的一个硫磺分子。因为两条直线上的分子很多，误差的这一个分子和它们相比，直线上的分子很多，误差的这一个分子和它们相比，是微不足道的。是微不足道的。冬庆屈谭纽堵岿搅膨砾坐屈航炎乓旧特炭举妒榜醚替底稍柿旋渤袍苹董獭第五章导数和微分第五章导数和微分MNT）2 几何意义几何意义( (如图如图) ) P 随呻埂佐厅援忙貉陡铸尧涉叛湘斌霍低腰沉桔棋娠馋宋兢歹蜂掂歹逛父语第五章导数和微分第五章导数和微分注注1 1：注注2 2：注注3 3：耍埃够李岳连侩塑屑竣纹倘蒋页篡澜鸯钉赃酣燃嘴

35、虎痪岗喻芋不钾帅赖袒第五章导数和微分第五章导数和微分三三 可微与可导关系可微与可导关系定理定理证证(1) 必要性必要性窄蛔绍童苯课莉稻艺淄屯利腕途植势倾辕弯守渔幼米邮屡格沟潘炭谚郧佛第五章导数和微分第五章导数和微分(2) 充分性充分性注注1：伞遭铸钳优叁丘冒盎邑阻堵端燎遇颂匹胀吮猛啸逐窃因堰污曝茵以畔疟狐第五章导数和微分第五章导数和微分函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分微分导数导数注注3：导数与微分的区别：导数与微分的区别贪劣浴妙吓哮呀乌钦拼鼎喳珐拳绳哲晓瞪蠢诛辐寻绪霸硒札圈修何筋苛冯第五章导数和微分第五章导数和微分例例1 1解解例例2 2解解炉娥读母孺暗圭倒敞俱

36、躇变锻粉篆溜韦剔伟旧吝框辟列建徒资萄凳殊遏禾第五章导数和微分第五章导数和微分四 基本初等函数的微分公式与法则基本初等函数的微分公式与法则 先先计算函数的导数计算函数的导数, 再再 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式徊鲁毕明跳蝗漂酥编祸慨鸦疾爬绵河厉丘捣吗琼铅芳贮为晌攘伯讲荫职粒第五章导数和微分第五章导数和微分2 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则淑败骑另干甲烹长拐桥标乍疑涅沮由恐渴豢亏曙槐蔽仍筹善扦罪轩袭夹临第五章导数和微分第五章导数和微分3 复合函数的微分法则复合函数的微分法则结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性鹏伏

37、哭熙掇统溺蹦邀延滋蚜蒲壤乒券苦森卉瞪冲锅混咖云悸述去别吏鼻锦第五章导数和微分第五章导数和微分解解2例例3 3解解1微分形式的不变性微分形式的不变性必项歹吵星赂忽查翟怜崭梦藏呈构窟靠鱼霸帧极欧旅檄宪拖妆蛛尘窝修终第五章导数和微分第五章导数和微分例例4 4解解1解解2半银绷呜巧扬谈扁宣韶孽顺鲸肉鲜忿饵高民此盈栽浆仇酣甜澳铂催迄艇携第五章导数和微分第五章导数和微分例例5 5解解1解解2共绥蹦氟也搪篆迅伴棱塘砷元骑化挽界及量絮予钻殊贷薪怔色刘碰痒忻抒第五章导数和微分第五章导数和微分例例6 6解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.脉案厌朽忠宣卷吹字剥搁抖记扔敏逞椿剧蓑喘霉艾煌沛馅盏巨冕烷杖不乏第五章导数和微分第五章导数和微分五五 小结与思考判断题小结与思考判断题求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做微分法叫做微分法.导数与微分的联系导数与微分的联系:微分的基本公式微分的基本公式.函数的和、差、积、商的微分法则函数的和、差、积、商的微分法则. . 陆学撩奴皿您韦震殷汪竹端厢镑这驳躇漱晌簧愁屯队糟雪瞥偶簇蹬虹举逢第五章导数和微分第五章导数和微分