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1、21.2空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接1理解异面直线的概念和画法理解异面直线的概念和画法2理解并掌握公理理解并掌握公理4及等角定理及等角定理3结合图形，正确理解空间中直线与直线的位结合图形，正确理解空间中直线与直线的位置关系置关系(特别是两条直线的异面关系特别是两条直线的异面关系)，理解并掌，理解并掌握异面直线所成角的求法握异面直线所成角的求法 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接典典 例例 精精 析析题型一题型一 空间直线位置关系的判定空间直线位置关系的判定
2、 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接例例1已知三条直线已知三条直线a，b，c，a与与b异面，异面，b与与c异面，异面，那么那么a与与c有什么样的位置关系？并画图说明有什么样的位置关系？并画图说明解析：解析：直线直线a与与c的位置关系有三种情况的位置关系有三种情况，如图所示如图所示直线直线a与与c可能平行可能平行，见图见图；可能相交；可能相交，见图见图；可；可能异面能异面，见图见图.点评：点评：两直线的位置关系有三种两直线的位置关系有三种，在判断两直线的位在判断两直线的位置关系时置关系时，常常逐一验证排除常常逐一验证排除 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典
3、例精析典例精析 栏栏目目链链接接 跟踪训练跟踪训练1下列条件中，一定能推出下列条件中，一定能推出a与与b是异面直线的是是异面直线的是(D)Aa，c异面且异面且b，c异面异面Bac，b与与c相交相交Ca，b分别与分别与c相交相交Da平面平面，bA且且A a题型二题型二 证明两条直线的异面直线证明两条直线的异面直线 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接例例2 已知直线已知直线AB，CD是异面直线，求证：直线是异面直线，求证：直线AC，BD是异面直线是异面直线证明：证明：假设假设AC和和BD不是异面直线不是异面直线，则则AC和和BD在同一在同一平面内平面内，设这个平
4、面为设这个平面为(如图如图) 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接AC，BD，A，B，C，D四点都在四点都在内内，AB，CD，这与已知中这与已知中AB和和CD是异面直线矛盾是异面直线矛盾，故假设不成故假设不成立立直线直线AC和和BD是异面直线是异面直线点评：点评：判定两直线为异面直线的常用方法为反证法判定两直线为异面直线的常用方法为反证法 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接 跟踪训练跟踪训练2如图，已知如图，已知a，b，abA，且，且c，ac，求证：，求证：b，c是异面直线是异面直线 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例
5、精析典例精析 栏栏目目链链接接证明证明(反证法反证法)：假设假设b，c不是异面直线不是异面直线，即即b，c共面共面，b与与c平行或相交平行或相交(1)当当bcP时时，已知已知b，c，又又a，则则Pb，且且Pc，P在在与与的交线上的交线上，即即Pa.acP，此与已知此与已知ac矛盾矛盾(2)当当bc时时，由公理由公理4，ba，与与abA矛盾矛盾b，c为异面直线为异面直线题型三题型三 求异面直线所成的角求异面直线所成的角 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接例例3 在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，ADBC2a，E，F分别分别是是AB，CD的中点，的中点，E
6、Fa，求，求AD，BC所成的角所成的角分析：分析：要求异面直线要求异面直线AD，BC所成的角所成的角，可通过空间中找可通过空间中找一些特殊的点此题已知一些特殊的点此题已知E，F分别为两边中点分别为两边中点，故可寻找故可寻找某一边中点作角某一边中点作角，如如BD中点中点M，即即EMF(或其补角或其补角)为所为所求角求角解析解析：如图如图，取取BD中点中点M，由题意可知由题意可知EM为为BAD的中的中位线位线， 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接点评：点评：在求异面直线所成角的过程中要注意以
7、下在求异面直线所成角的过程中要注意以下问题：问题：(1)由定义作角的顶点一定要恰当由定义作角的顶点一定要恰当，所选点所选点的位置同计算角的难易有直接关系的位置同计算角的难易有直接关系(当然此题选当然此题选AC中点连接三角形效果也一样中点连接三角形效果也一样)；(2)按定义所作角由按定义所作角由图形反映出来图形反映出来，不一定就是所求的角不一定就是所求的角，若不是则若不是则一定是其补角一定是其补角，这是由异面直线所成角的范围这是由异面直线所成角的范围(0，90决定的；决定的；(3)求异面直线的步骤为：一找求异面直线的步骤为：一找，二二求求，三答三答 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典
8、例精析 栏栏目目链链接接 跟踪训练跟踪训练3(多解题多解题)如图，正方体如图，正方体AC1中，中，E，F分别是分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线的中点，求异面直线DB1与与EF所成角的大小所成角的大小解析：解析：解法一解法一如图如图，连接连接A1C1，B1D1，并设它们相交并设它们相交于点于点O，取取DD1的中点的中点G，连接连接OG，A1G，C1G. 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接则则OGB1D，EFA1C1.GOA1为异面直线为异面直线DB1与与EF所成的角或其补角所成的角或其补角GA1GC1，O为为A1C1的中点的中点，GOA1C1.异面直线异面直线DB1与与EF所成的角为所成的角为90.解法二解法二如图如图，连接连接A1D，取取A1D的中点的中点H，连接连接HE，则则HE綊綊DB1.于是于是HEF为所求异面直线为所求异面直线DB1与与EF所所成的角或其补角连接成的角或其补角连接HF，设设AA11，则则EF，HE，取取A1D1的中点的中点I，连接连接IF，则则HIIF.HF2HI2IF2.HF2EF2HE2.HEF90.异面直线异面直线DB1与与EF所成的角为所成的角为90.
