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1、第四节 基本积分法 : 直接积分法 ;换元积分法 ;分部积分法 初等函数求导初等函数积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容: 第四四章 同济大学)高等数学D44有理函数积分一、一、 有理函数的积分有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D44有理函数积分例例1. 将下列真分式分解为部分分式 :解解: (1) 用拼凑法机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D44有理函数积分(2
2、) 用赋值法故机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D44有理函数积分(3) 混合法机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式 =同济大学)高等数学D44有理函数积分四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 变分子为 再分项积分 同济大学)高等数学D44有理函数积分例例2. 求解解: 已知例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D44有理函数积分例例3. 求解解: 原式思考思考: 如何求机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示: 变形方法同例3, 并利用 P209 例9 . 同济大学)高等数学D44有理函数积分例例
3、4. 求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 同济大学)高等数学D44有理函数积分例例5. 求求解解: 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D44有理函数积分常规 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求求解解: 原式(见P348公式21)注意本题技巧注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法较繁同济大学)高等数学D44有理函数积分二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式 ,令万能代换t 的有理函数的积分机动 目录 上
4、页 下页 返回 结束 1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则同济大学)高等数学D44有理函数积分例例7. 求求解解: 令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D44有理函数积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D44有理函数积分例例8. 求求解解: 说明说明: 通常求含的积分时,往往更方便 .的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D44有理函数积分例例9. 求解法解法 1 令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D44有理函数积分例例9. 求求解法解法 2 令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束
5、 同济大学)高等数学D44有理函数积分例例10. 求求解解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D44有理函数积分2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 令同济大学)高等数学D44有理函数积分例例11. 求解解: 令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D44有理函数积分例例12. 求解解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,则有原式令机动 目录 上
6、页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D44有理函数积分例例13. 求解解: 令则原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D44有理函数积分内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便 , 同济大学)高等数学D44有理函数积分思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便 ?解解: 1.2. 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D44有理函数积分作业作业P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 21第五节 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D44有理函数积分备用题备用题 1.求不定积分解：解： 令则, 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 分母次数较高,宜使用倒代换.同济大学)高等数学D44有理函数积分2.求不定积分解：解：原式 =前式令; 后式配元机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D44有理函数积分
