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1、四柱坐标系与球坐标系简介第一讲坐标系学习目标1.了解柱坐标系、球坐标系的特征.2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系，并掌握坐标间的互化公式.3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一柱坐标系答案空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离答案空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.思考要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？思考要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？梳理柱坐标系的概念梳理柱坐标系的概念(1)定义：建立空间直角坐标系定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设，设P是空间是空间
2、任意一点，它在平面任意一点，它在平面Oxy上的射影为上的射影为Q，用，用(，)(0,02)表示点表示点Q在平面在平面Oxy上的极坐标上的极坐标.这这时点时点P的位置可用有序数组的位置可用有序数组 (zR)表示，表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组这样，我们建立了空间的点与有序数组(，z)之之间间的的一一种种对对应应关关系系，把把建建立立上上述述对对应应关关系系的的坐坐标标系系叫叫做做柱柱坐坐标标系系，有有序序数数组组(，z)叫叫做做点点P的的柱柱坐坐标标，记记作作 ，其其中中_.(，z)0,02，zRP(，z)(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为x = _
3、，y = _ ， z = _.zcos sin 思思考考要要刻刻画画空空间间一一点点的的位位置置，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中，用用三三个个距距离离来来表表示示，在在柱柱坐坐标标系系中中，用用两两个个距距离离和和一一个个角角来来表表示示，那那么么，能能否否用用两两个个角角和一个距离来表示和一个距离来表示.知识点二球坐标系答案可以答案可以.梳理球坐标系的概念梳理球坐标系的概念(1)定义：建立空间直角坐标系定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设，设P是空间任意是空间任意一点，连接一点，连接OP，记，记|OP|r，OP与与Oz轴正向所夹的角轴正向所夹的角为为，设，设P在在Oxy平面上的射影为平
4、面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方轴按逆时针方向旋转到向旋转到OQ时所转过的最小正角为时所转过的最小正角为.这样点这样点P的位置的位置就可以用有序数组就可以用有序数组 表示表示.这样，空间的点与这样，空间的点与有序数组有序数组(r，)之间建立了一种对应关系，把建之间建立了一种对应关系，把建立立上上述述对对应应关关系系的的坐坐标标系系叫叫做做球球坐坐标标系系(或或空空间间极极坐坐标标系系)，有有序序数数组组(r， )叫叫 做做 点点 P的的 球球 坐坐 标标 ， 记记 作作 ， 其其 中中 .r，r0,0，02P(r，)(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换关系为x =
5、_，y = _， z = _.rcos rsin cos rsin sin 题型探究例例1(1)已知点已知点A的直角坐标为的直角坐标为(1， ，4)，求它的柱坐标；，求它的柱坐标；类型一柱坐标与直角坐标的互化解答(2)已知点P的柱坐标为 ，求它的直角坐标.解答反反思思与与感感悟悟(1)由由直直角角坐坐标标系系中中的的直直角角坐坐标标求求柱柱坐坐标标，可可以以先先设设出出点点M的的柱柱坐坐标标为为(，z)，代代入入变变换换公公式式 求求；也也可可以以利利用用2x2y2，求求.利利用用tan ，求求，在在求求的的时时候候特特别别注注意意角角所所在在的的象象限限，从而确定从而确定的取值的取值.(2)
6、点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同.跟踪训练跟踪训练1(1)已知点已知点M的直角坐标为的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标；，求它的柱坐标；解答(2)已知点N的柱坐标为 ，求它的直角坐标.解答故点N的直角坐标为(0,2,3).例例2(1)已知点已知点P的球坐标为的球坐标为 ，求它的直角坐标；，求它的直角坐标；类型二球坐标与直角坐标的互化解答解由变换公式，得解由变换公式，得(2)已知点M的直角坐标为(2，2，2 )，求它的球坐标.解答解由坐标变换公式，可得解由坐标变换公式，可得反反思思与与感感悟悟由由直直角角坐坐标标化化为为球球坐坐标标时时，可可设设点点的的球球
7、坐坐标标为为(r，)，利利用用变变换换公公式式 求求出出r，即即可可；也也可可以以利利用用r2x2y2z2，tan ，cos 来来求求，要要特特别别注注意意由由直直角角坐坐标标求球坐标时，要先弄清楚求球坐标时，要先弄清楚和和所在的位置所在的位置.跟踪训练跟踪训练2把下列各点的球坐标化为直角坐标把下列各点的球坐标化为直角坐标.解答解设点的直角坐标为解设点的直角坐标为(x，y，z).解答例例3已已知知正正四四棱棱柱柱ABCDA1B1C1D1，底底面面ABCD边边长长为为1，高高AA1为为 ，建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系(如如图图)，Ax为为极极轴轴，求求点点C1的的直直角角坐坐标标，柱柱坐
8、坐标标及球坐标及球坐标.类型三求点的坐标解答反反思思与与感感悟悟(1)弄弄清清空空间间直直角角坐坐标标系系、柱柱坐坐标标系系、球球坐坐标标系系之之间间的的关关系系，灵活运用直角坐标与柱坐标及球坐标的互化公式灵活运用直角坐标与柱坐标及球坐标的互化公式.(2)结合图形，更直观地看到三种坐标之间的联系结合图形，更直观地看到三种坐标之间的联系.跟踪训练跟踪训练3在例在例3的条件下，求点的条件下，求点C，A1的直角坐标、柱坐标及球坐标的直角坐标、柱坐标及球坐标.解答解解C的直角坐标为的直角坐标为(1,1,0)，设设C的柱坐标为的柱坐标为(，z)，球坐标为，球坐标为(r，)(0,0，02).达标检测答案1
9、.在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为 ，P在xOy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为123452.设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为12345答案3.在球坐标系中，方程r2表示空间的A.球 B.球面 C.圆 D.直线12345答案4.点P的柱坐标为 ，则点P到原点的距离为_.12345答案解析5123455.已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，)，则tan _，tan _.答案解析2解析如图所示，解析如图所示，1.空间点的坐标的确定(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标来确定的，即(x，y，z).(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(，z).(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点连线与x轴正方向所成的角，点和原点的连线与z轴的正方向所成的角，以及点到原点的距离组成的，即(r，).注意求坐标的顺序为到原点的距离r；与z轴正方向所成的角；与x轴正方向所成的角.规律与方法2.柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的，空间任一点P的位置可以用有序数组(，z)表示，(，)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角坐标系中的竖坐标.本课结束
