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1、 3.代数扩域 上一节的结果告诉我们,把域 上一个超越元或一个代数元添加于 所得到的单扩域的结构完全不同 我们有以下事实:设 是 的一个扩域,并且 含有 上的超越元那么总存在 的一个子域 , 使得 是由添加 上的超越元于而得到的,而 只含上的代数元 这一事实的证明已超出本书的范围这个事实告诉我们,一个扩域可以分成两部分:一个超越的、一个代数的部分我们以下将不再讨论超越的扩域,而只对代数的扩域作一些进一步的研究, 定义定义若域 的一个扩域 的每一个元都是 上的一个代数元,那么 叫做 的一个代数扩域(扩张)代数扩域(扩张) 我们首先提出以下问题:假定 是添加集合 与 域所得的扩域,并且 的元都是
2、上的代数元,那么 的元是否都是 上的代数元? 为了解答这个问题,我们需要扩域的次数这一个概念 假定 是域 的一个扩域那么对于 的加法 和到 的乘法来说, 作成 上的一个向量空间 ,或者有一个维数 , 是正整数; 或者是一个无限维空间 定义定义若是域 的一个扩域 作为 上的向量空间有维数 ,那么 叫做扩域扩域 在在 上的次数上的次数,记做 这时 叫做域 的一个有限扩域有限扩域;否则 叫做域 的一个无限扩域无限扩域关于扩域的次数我们有重要的 定理定理令 是域 的有限扩域,而 是 的有限扩域那么 也是 的有限扩域,并且 证明证明设 , ,而 , , , 是向量空间 在域 上的一个基, , , 是向量
3、空间 在域 上的一个基看 的元 ( , ; , ) 我们只须证明,这 个元是向量空间 在域 上的一个基设 那么 , 由 于对于 来说线形无关,我们得 ( , ) 但 对于 来说线形无关,因而 ( , ;,) 这就是说,以上 的个 的元 对于 来说线形无关现在假定 是 的一个任意元因为 是 上的 的一个基, 又由于 是 上的 的一个基, 这样,我们有 这就证明了, 是向量空间 在域 上的一个基证完 推论推论令 是域,其中后一个是前一个的有限扩域那么以下等式成立: 现在我们证明下述几个定理来解答前面提出的问题 定理定理令 是域 的一个单代数扩域那么 是 的一个代数扩域 证明证明令 在 上的极小多项
4、式的次数是 由,定理, 的每一个元都可以唯一地表成 的形式这就是说,元, , 作成 上的向量空间 的一个基,因此 是 的一个 次有限扩域令 是 的一个任意元那么, , , 这 个元对于 来说相形相关因此,在 中存在不都等于零的 个元 , , ,能使 这就是说, 的任意元都是 上的代数元,而 是 的代数扩域证完 由定理的证明可以得到以下两个重要事实 推论推论令 是 域的一个单代数扩域,而 在 上的极小多项式的次数是 那么 是 的一个 次扩域 推论推论域 的有限扩域一定是 的代数扩域 定理定理令 ,其中每一个 都是域 上的代数元那么 是 的有限扩域,因而是 的代数扩域 证明证明我们用归纳法 由定理,当 的时候,定理成立 假定,当我们只添加 个元 , , 于时,定理成立,也就是说,假定 是的有限扩域 现在来看 的情形我们知道, 由于 是 上的代数元,所以它也是 上的代数元因此 是 的单代数扩域,而由推论, 是 的有限扩域 由于 根据定理, 是 的有限扩域,于是由推论,它是 的代数扩域证完 推论推论一个域 上的两个代数元的和、差、积与商(分母不为零)仍是 上的代数元 定理定理令 ,这里集合 只包含域 上的代数元那么 是 的代数扩域 证明证明令 是 的任意元根据,()式, 这里 是 中有限个元素,而 和 是上这些 的多项式这样 于是由定理, 是 上的代数元证完