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1、第第1111章章 线性动态电路暂态过程复频域分析线性动态电路暂态过程复频域分析 前一章研究了线性动态电路暂态过程的时域分析问题，指出在储能元件较多时，确定积分常数将十分繁杂。为此，本章介绍采用拉普拉斯变换分析线性动态电路的方法，使常微分方程问题化为代数方程问题。复频域分析法同第六章的相量法一样属于变换域分析法。本章首先简要介绍拉普拉斯变换及其基本性质，然后建立电路的复频域模型，并在此基础上讨论复频域分析法。最后讨论网络函数。 本章目次本章目次11.1 拉普拉斯变换11.2 拉普拉斯变换的基本性质 11.3 拉普拉斯逆变换 11.4复频域中的电路定律与电路模型 11.5用拉普拉斯变换分析线性动态
2、电路的暂态过程11.6 网络函数 式式(11.1)称为函数的称为函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换，简称拉氏变换。记作，简称拉氏变换。记作 F(s) 称为称为 f (t) 的拉氏变换或称为的拉氏变换或称为象函数象函数。 其中复参量其中复参量 s= +j 。在电路中在电路中t代表时间，代表时间，s便具有时间的倒量便具有时间的倒量纲，也即频率的量纲，因此称为纲，也即频率的量纲，因此称为复频率复频率。F(s) 的单位是相应的单位是相应 f (t) 的单位乘以时间的单位乘以时间 t 的单位。的单位。定义：设函数定义：设函数f(t)在在 t 0的某个邻域内有定义，而且积分的某个邻域内有定义，而且积分 (s是
3、复参量是复参量) 在复平面在复平面 s 的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为 (11.1)基本要求：掌握常用函数基本要求：掌握常用函数(直流或阶跃函数、指数函数、冲激直流或阶跃函数、指数函数、冲激函数函数)的拉普拉斯变换。的拉普拉斯变换。原函数原函数f(t)(t0) 象函数象函数F(s) 原函数原函数f(t)(t0)象函数象函数F(s) (n为正整数为正整数)(n为正整数为正整数) 表表11.111.1常用函数的拉普拉斯变换对常用函数的拉普拉斯变换对 1线性性质(1)求求 的象函数的象函数F(s)。(2)求求 的象函数的象函数F(s) 若若
4、，a、b为任意常数，则为任意常数，则基本要求：掌握常用函数拉普拉斯变换的基本性质。基本要求：掌握常用函数拉普拉斯变换的基本性质。2微分性质 该性质表明一个函数求导后的拉氏变换等于这个函数的拉氏变该性质表明一个函数求导后的拉氏变换等于这个函数的拉氏变换后乘以复参量换后乘以复参量s，再减去再减去0-时刻的起始值。时刻的起始值。 若若 ，则，则 推论推论：设：设 ，则，则 用微分性质求用微分性质求 的象函数的象函数F(s) 。 3积分性质 该性质表明一个函数积分后的拉氏变换等于这个函数的拉氏变该性质表明一个函数积分后的拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参量换除以复参量s。 若若 ，则，则 求求 的
5、象函数的象函数F(s) 。 因为因为 所以所以 4延迟性质 根据上述性质可以方便地求出矩形脉冲的象函数。一个高度为根据上述性质可以方便地求出矩形脉冲的象函数。一个高度为A，宽度为宽度为t0的矩形脉冲可表示为的矩形脉冲可表示为根据延迟性质得矩形脉冲的象函数为根据延迟性质得矩形脉冲的象函数为 若若 ，则，则 其中其中 表示把表示把 延迟至延迟至 。 5位移性质 6初值定理 7终值定理 该性质表明：一个函数乘以指数函数该性质表明：一个函数乘以指数函数eat的拉氏变换等于其象的拉氏变换等于其象函数作位移函数作位移a。 若若 ，则，则 若若 ，且，且 存在，则存在，则 若若 ，且且 的的所所有有奇奇点点
6、都都在在平平面面的的左左半半平平面面 ，则则 8卷积定理该定理表明：原函数卷积的象函数等于相应象函数的乘积；该定理表明：原函数卷积的象函数等于相应象函数的乘积；象函数乘积的原函数等于原函数的卷积。象函数乘积的原函数等于原函数的卷积。 若若 ，则，则 如果如果F2(s)是网络的冲击是网络的冲击响应的像函数，响应的像函数，F1(s)是是激励的像函数，则激励的像函数，则 F1(s) F2(s) 为响应的像为响应的像函数函数在线性集中参数电路中，电压和电流的象函数都是在线性集中参数电路中，电压和电流的象函数都是 s 的有理分的有理分式，可以展开成部分分式之和。对每个部分分式求原函数，再式，可以展开成部
7、分分式之和。对每个部分分式求原函数，再根据逆变换的线性性质，将所有部分分式的原函数代数相加，根据逆变换的线性性质，将所有部分分式的原函数代数相加，就得所求象函数的原函数。就得所求象函数的原函数。 集中参数电路的象函数可以表示成下列有理分式集中参数电路的象函数可以表示成下列有理分式 式中式中F1(s)和和F2(s)都是实系数的多项式，且无公因式。都是实系数的多项式，且无公因式。 定义：由定义：由F(s)求求 f(t) 的运算称为的运算称为拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换，计算逆变换，计算逆变换的一般公式是的一般公式是基本要求：掌握常用函数的拉普拉斯逆变换。掌握用部分基本要求：掌握常用函数的拉普拉斯逆
8、变换。掌握用部分分式展开法求有理分式的原函数分式展开法求有理分式的原函数。1nm 情况(1) F2(s)=0只有只有单根单根这时这时F(s)可以展开成下列简单的部分分式之和可以展开成下列简单的部分分式之和 (11.17)式式中中p1、 p2 、 pn为为方方程程F2(s)=0的的n个个不不同同的的根根，它它们们可可以以是是实实数数也也可可以以是是复复数数。由由于于s pk时时|F(s)|，故故这这些些根根称称为为F(s)的的极极点点(pole)。 A1、A2、An为为待待定定系系数数。为为了了求求出出其其中中任任何何一一个常数个常数Ak，用用(s pk)乘上式的两边各项得乘上式的两边各项得 (
9、11.18)两边取两边取s pk时的极限，等式右边只剩下时的极限，等式右边只剩下Ak ，其余全为零。其余全为零。于是得于是得(11.19)(11.20)将将Ak代代入入式式(11.17)后后，两两边边取取拉拉普普拉拉斯斯逆逆变变换换并并利利用用线线性性性性质质得得(11.21)如果式（如果式（11.19）为）为“0/0”的不定式，则可根据罗比塔法则得：的不定式，则可根据罗比塔法则得：已知已知 ，求它的原函数，求它的原函数 f (t)。 令令 ，求得其根为，求得其根为。因此。因此F(s)可以展开成可以展开成对对于于单单复复根根情情况况，由由于于F2(s)的的系系数数为为实实数数，F(s)的的复复
10、数数极极点点均均以以共共轭轭复复数数形形式式出出现现，且且对对应应待待定定系系数数也也是是共共扼扼关关系系。利利用这一特点便可减化计算。设象函数为用这一特点便可减化计算。设象函数为(11.22)令令 ， ，则，则 ， 对式对式(11.22)取逆变换得取逆变换得 (11.23)已知已知 ，求它的原函数，求它的原函数f(t)。 的根为的根为F(s)的展开式的展开式(2) F2(s)=0含有含有重根重根 此时此时F (s)的部分分式展开式为的部分分式展开式为 (11.25)为简便起见，设为简便起见，设F2(s)=0含有一个含有一个m次重根，其余为单根，次重根，其余为单根，则则F2(s)可以表示为可以
11、表示为(11.24)其其中中单单根根对对应应的的待待定定系系数数 与与前前面面的的计计算算相相同同。下下面面讨讨论论重重根根对对应应的的待待定定系系数数。把把上上式式两两边边各各乘乘以以 ，得，得 (11.26)令令 s pn ，则则上上式式右右边边除除 Bm 项项外外，其其余余各各项项均均变变为为零零。而而左边为左边为 0/0 的不定式，取极限得的不定式，取极限得为为了了求求出出 Bm 1，把把(11.26)的的两两边边对对 s 求求一一次次导导数数，然然后后令令s pk ，则右边除则右边除Bm 1项项以外，其各项均变为零。故得以外，其各项均变为零。故得仿此可得一般公式为仿此可得一般公式为
12、(11.27)求出各系数后，从求出各系数后，从表表11.1可查到可查到 的逆变换为的逆变换为 对对式式(11.25)右右边边的的每每一一项项取取逆逆变变换换，得得F2(s)=0含含有有重重根根时的原函数为时的原函数为 (11.28)已知已知 ，求它的原函数，求它的原函数 f(t) 。 F2(s)存存在在两两个个单单根根和和一一个个2重根，其展开式为重根，其展开式为 2 2n m 情况情况此此时时把把 F1(s) 和和 F2(s) 均均按按降降幂幂排排列列，用用分分母母多多项项式式 F2(s) 去去除除分分子子多多项项式式F1(s) ，把把象象函函数数 F(s) 化化成成一一个个 s 的的多多项
13、项式式与与一一个个分分式式之之和和的的形形式式。这这个个分分式式的的分分子子最最高高次次幂幂低低于于分分母母最高次幂，仍可用式最高次幂，仍可用式(11.21)求其原函数。求其原函数。而而 s 的多项式的原函数为的多项式的原函数为冲激函数冲激函数或其或其导数导数的代数和。的代数和。用分母多项式去除分子多项式得用分母多项式去除分子多项式得 已知已知 ，求它的原函数求它的原函数 f (t)。 在复频域中，在复频域中，KVLKVL、KCLKCL依然保留着与直流电路、正弦稳态依然保留着与直流电路、正弦稳态交流电路相同的形式！交流电路相同的形式！根根据据拉拉普普拉拉斯斯变变换换的的定定义义可可知知，电电流
14、流、电电压压象象函函数数的的单单位位分分别别为为安安秒秒(As)，即库仑和伏秒，即库仑和伏秒(Vs)即韦伯。即韦伯。基本要求：熟练掌握复频域形式的电路定律以及基本要求：熟练掌握复频域形式的电路定律以及R、L、C等等元件的电路模型。正确确定附加电源。掌握建立复频域电路元件的电路模型。正确确定附加电源。掌握建立复频域电路模型的方法。模型的方法。1复频域中的基尔霍夫定律基基尔尔霍霍夫夫定定律律方方程程的的时时域形式为域形式为根据拉普拉斯变根据拉普拉斯变换的线性性质换的线性性质基尔霍夫基尔霍夫定律的复定律的复频域形式频域形式2复频域中元件电压与电流关系及元件的复频域模型复频域中元件电压与电流关系及元件
15、的复频域模型拉氏变换拉氏变换线性性质线性性质(1)电阻元件电阻元件(2)电容元件附加附加电压源电压源由拉氏变换微分特性得由拉氏变换微分特性得运算容运算容抗模型抗模型(3) 电感元件附加电压源运算感抗模型由拉氏变换由拉氏变换微分特性得微分特性得(4) 互感元件 将将电电感感、电电容容和和互互感感等等元元件件的的微微、积积分分方方程程简简化化成成为为复频域（拉普拉斯变换域）里的线性代数方程。复频域（拉普拉斯变换域）里的线性代数方程。复频域中电路元件方程的特点3复频域电路模型 运算阻抗与运算导纳运算阻抗运算阻抗运算导纳运算导纳零状态零状态KVLt 0复频域电路模型复频域电路模型运算阻抗模型运算阻抗模
16、型方法：方法： 针对直流电路提出的各种分析方法、定理和公式均可推针对直流电路提出的各种分析方法、定理和公式均可推广用于复频域中的运算电路。具体地说：广用于复频域中的运算电路。具体地说：只须将以前方只须将以前方程和公式中的电阻推广为运算阻抗，将电导推广为运算程和公式中的电阻推广为运算阻抗，将电导推广为运算导纳，将恒定电压、电流推广为电压、电流象函数，将导纳，将恒定电压、电流推广为电压、电流象函数，将附加电源与独立电源同样对待，就可用计算直流电路的附加电源与独立电源同样对待，就可用计算直流电路的方法计算运算电路。方法计算运算电路。基本要求：理解在直流电路中建立的各种分析方法、定基本要求：理解在直流
17、电路中建立的各种分析方法、定理和公式均可推广用于复频域电路模型的原理。熟练掌理和公式均可推广用于复频域电路模型的原理。熟练掌握线性动态电路暂态过程复频域分析法的一般步骤。握线性动态电路暂态过程复频域分析法的一般步骤。步骤：步骤：1 1 由由换换路路前前的的电电路路求求出出全全部部电电容容uC(0-)的的和和全全部部电电感感的的iL(0-)，并将激励的时域函数变换成象函数。并将激励的时域函数变换成象函数。2 2 根根据据换换路路后后的的电电路路画画出出运运算算电电路路。其其中中 uC(0-) 和和 iL(0-) 的的作作用用用用附附加加电电源源表表示示，参参数数（R、L、C）用用复复频频域域阻抗
18、表示，已知的和待求的电压电流均用象函数表示。阻抗表示，已知的和待求的电压电流均用象函数表示。3 3 将将求求解解直直流流电电路路的的方方法法（等等效效化化简简或或列列电电路路方方程程）推推广广用于运算电路，求出响应的象函数。用于运算电路，求出响应的象函数。4 4 利利用用部部分分分分式式展展开开法法或或积积分分变变换换表表将将响响应应的的象象函函数数变变换换为原函数。为原函数。 电路如图电路如图(a)(a)所示，所示，uS=20e-t (t) V，电路为零状态。电路为零状态。求求t 0 时时uo 的变化规律。的变化规律。 (a)(b)电源的象函数为电源的象函数为 复频域电路模型如图复频域电路模
19、型如图(b)(b)所示。其节点电压方程为所示。其节点电压方程为 解得：解得：取拉普拉斯反变换得取拉普拉斯反变换得 电路如图电路如图(a)所示，所示，t0时的全响应时的全响应uL和和uC。t0时复频域电路模型如图时复频域电路模型如图(b)所示，此时有所示，此时有 进而可得进而可得求求UL(s)的部分分式展开式的部分分式展开式同理求得同理求得UC(s)的部分分式展开式的部分分式展开式为为 所以待求响应的时间函数为所以待求响应的时间函数为 在图在图(b)所示的复频域电路模型中，所示的复频域电路模型中，如果令附加电源为零，仅由如果令附加电源为零，仅由US(s)作用产生的响应便是零作用产生的响应便是零状
20、态响应；状态响应；反之，如果反之，如果US(s) =0，则仅由附加电源作用产生的响应则仅由附加电源作用产生的响应便是零输入响应。便是零输入响应。 复频域电路模型复频域电路模型 电路如图电路如图(a)所示，已知所示，已知 R1=9 ，R2=1 ，C1= 1F，C2= 4F ，外加电压外加电压 uS=10 (t) V ，电路为零状电路为零状态。态。求求电流电流i和电压和电压uo。图图11.8 例题例题11.10电路是零状态，故运算电路中无附加电源。外加阶跃电电路是零状态，故运算电路中无附加电源。外加阶跃电压的象函数为压的象函数为 从电源看进去的等效复频域阻抗为从电源看进去的等效复频域阻抗为 电流电
21、流i的象函数为的象函数为 电荷单电荷单位库仑位库仑求得电流求得电流 i 的原函数为的原函数为电压电压 uo 的象函数为的象函数为 求得求得电压电压 uo的原函数为的原函数为 在在图图 (b)中中画画出出了了uo随随时时间间变变化化的的 曲曲 线线 。 图图 中中 ， uo(0-)=0，uo(0+)=2V，故故电电容容上上的的电电压压发发生生了了“强强迫迫跃跃变变”，这这是是冲冲激激电电流流 8C (t) 给给 C2 充充电电的的结结果果。但但在在计计算算过过程程中中并并不不考考虑虑是是否否发发生生跃跃变变，原原因因是是复复频频域域分分析析法法用用的的是是0-时时刻刻而而不不是是0+时时刻刻的的
22、初初始始值值。因因此此，在在处处理理“跃跃变变”问问题题时时，复复频频域域法法要要比比时时域域分分析析法法有有一一定定的优越性。的优越性。 电路如图电路如图(a)所示，已知所示，已知iS=1C (t) ，求冲激响应求冲激响应uC。对其列写节点电压方程对其列写节点电压方程 电路为零状态，运算电路如图电路为零状态，运算电路如图(b)所示，其中所示，其中 图图11.9 例题例题11.11求解得电压象函数求解得电压象函数 令令 的分母多项式为零，即的分母多项式为零，即 得其极点为得其极点为 它们是一对共轭复数。故它们是一对共轭复数。故 UC(s) 的部分分式展开式为的部分分式展开式为 则可得则可得 电
23、路如图所示，已知电路如图所示，已知R=1 ，L=1H，C= 0.2F ，g=1s ，uS=6 (t) V ， iS=4C (t) 。求。求 t0 时的零状态响时的零状态响应应uL和和uC。电路为零状态，其复频域模电路为零状态，其复频域模型中不含附加电源，列节点型中不含附加电源，列节点电压方程电压方程 (1)其中电源的象函数为其中电源的象函数为 将已知条件代入式将已知条件代入式(1), 得得 联立解得联立解得 解得解得取拉普拉斯反变换得取拉普拉斯反变换得 电电路路如如图图(a)所所示示，已已知知R1=1 ，R2=0.5 ，uS ，iS为为阶阶跃跃函函数数。当当a、b端端接接R3=3 电电阻阻时时
24、，全全响响应应 i=(2+2e-50t) (t)A。现现将将a、b端端改改接接L=0.25H的的零零状状态态电电感感，求此时的电压求此时的电压 uab 。 先先求求出出复复频频域域戴戴维维南南等等效效电电路路。由由题题给给全全响响应应知知当当a、b端端接接R3=3 电电阻阻的的时间常数为时间常数为 将电源置零，将电源置零，可得可得如图如图(b)所示所示电路电路所以所以 由已知电流由已知电流i得得 a、b端开路电压为端开路电压为 得得a、b端等效运算阻抗为端等效运算阻抗为 戴维南等效电路如图戴维南等效电路如图 (c)所示所示当当a、b端接端接L=0.25H的零状态电感时，的零状态电感时，电感电压
25、象函数为电感电压象函数为 取拉普拉斯反变换得取拉普拉斯反变换得1. 网络函数注：注：当电路为零状态时，在复频域电路中无附加电源，当电路为零状态时，在复频域电路中无附加电源，Y(s) 与与外加外加 X(s) 成正比，此时成正比，此时 H(s) 与与 X(s) 无关无关。(11.41)(1)定义：线性无独立源电路的定义：线性无独立源电路的零状态零状态响应的象函数响应的象函数 Y(s) 与其与其激励的象函数激励的象函数 X(s) 之比称为之比称为(复频域中的复频域中的)网络函数，用符号网络函数，用符号表示表示 H(s) ，即，即基本要求：理解复频域网络函数基本要求：理解复频域网络函数 H(s) 的定
26、义及其原函数的含的定义及其原函数的含义。了解义。了解 H(s) 与复数形式网络函数与复数形式网络函数H(j )的关系。了解网络函的关系。了解网络函数极点在复平面上的位置与单位冲激特性的关系。数极点在复平面上的位置与单位冲激特性的关系。(2)与与单位冲激特性的关系：根据单位冲激特性的定义及齐单位冲激特性的关系：根据单位冲激特性的定义及齐性性原理，当激励原理，当激励x(t)=K (t) 时，零状态响应为时，零状态响应为y(t)=Kh(t)，则则 因此，因此，网络函数就是网络单位冲激特性的象函数；反之，网络函数就是网络单位冲激特性的象函数；反之，网络函数的原函数就是网络的单位冲激特性网络函数的原函数
27、就是网络的单位冲激特性，即，即 (11.42) 网络函数网络函数H(s)和单位冲激特性和单位冲激特性h(t)都反映网络的固有性质。都反映网络的固有性质。 (3)若若已知网络函数和外加激励的象函数，则零状态响应已知网络函数和外加激励的象函数，则零状态响应象函数为象函数为 式中式中 ，N 、P、D、Q都是都是 s 的多项式。的多项式。(11.43)响响应应中中与与Q(s)=0的的根根对对应应的的那那些些项项与与外外加加激激励励的的函函数数形形式式相相同同，属属于于强强制制分分量量；而而与与D(s)=0的的根根(即即网网络络函函数数的的极极点点)对对应应的的那那些些项项的的性性质质由由网网络络的的结
28、结构构与与参参数数决决定定，属属于于自自由由分分量量。因因此此，网络函数极点的性质决定了网络暂态过程的特性网络函数极点的性质决定了网络暂态过程的特性。 电电路路如如图图所所示示，已已知知R=0.5，L=1H，C=1F，a=0.25 。(1)定义网络函数定义网络函数 ，求，求H(s)及其单位冲激特性及其单位冲激特性h(t) (2)求当求当 时的响应时的响应 。 (1)列回路电流方程列回路电流方程 整理得整理得解得解得进而得进而得取拉普拉斯反变换得取拉普拉斯反变换得(2) 当当 时时取拉普拉斯反变换得取拉普拉斯反变换得2.网络函数的极点位置与单位冲激特性的关系 其中极点其中极点p1、p2、pn称为
29、网络函数的自然频率，它只与网称为网络函数的自然频率，它只与网络结构与参数有关。络结构与参数有关。 (11.44) 分析一阶极点情况：若网络函数仅含一阶极点，且分析一阶极点情况：若网络函数仅含一阶极点，且nm，则则网络函数可展开成网络函数可展开成 网络的单位冲激特性为网络的单位冲激特性为 可见它与极点位置有关可见它与极点位置有关 。(11.45)要点：由极点在复平面上的分布来判断暂态特性。要点：由极点在复平面上的分布来判断暂态特性。 2.网络函数的极点位置与单位冲激特性的关系网络函数的极点位置与单位冲激特性的关系 网络函数的极点位置与单位冲激特性的关系概括如下网络函数的极点位置与单位冲激特性的关
30、系概括如下位于左半平面时，收敛（稳定）位于左半平面时，收敛（稳定）位于右半平面时，发散（非稳定）位于右半平面时，发散（非稳定）pk所有极点位于左半平面，暂态过程稳定所有极点位于左半平面，暂态过程稳定若有一个以上极点位于右半平面，暂态若有一个以上极点位于右半平面，暂态过程不稳定过程不稳定H(s)位于实轴上时，响应非振荡位于实轴上时，响应非振荡位于虚轴上时，响应为震荡且临界稳定位于虚轴上时，响应为震荡且临界稳定pk3. 复频域网络函数与复数网络函数的关系 H(s)s=j H(j )j =s 设图所示二端口网络为线性无独立源网络。设图所示二端口网络为线性无独立源网络。(1)已已知知当当 ，零零状状态态响响应应 uo= 1Wb (t)+(e-t-4e-2t) (t)V。求求 时时的的正正弦弦电电压压 。(2)若若已已知知 ，求求单单位位冲冲激激特特性性h(t)。 _uiuo+_(1)电路的复频域网络函数为电路的复频域网络函数为 它的复数形式的网络函数为它的复数形式的网络函数为 所以当所以当 时，正弦响应为时，正弦响应为 所以所以(2) 将已知将已知H(j )写成写成 所以对应的复频域形式的网络函数为所以对应的复频域形式的网络函数为 部分分式展开得部分分式展开得 所以所以
