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1、十章节定积分应用二Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望如何应用定积分解决问题如何应用定积分解决问题 ?第一步第一步 利用“分割（化整为零） , 代替（以曲代直或以常代变）” 求出局部量的近似值，即微分表达式第二步第二步 利用“ 求和（积零为整） , 取极限（无限累加） ” 求出整体量的精确值，即得积分表达式这种分析方法成为微元法（又称元素法）法（又称元素法）微元的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等一、平面曲线的弧长一、平面曲线的弧长定义定义: 若
2、在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. （见P247）(证明略)则称定义：设平面曲线定义：设平面曲线定义：设平面曲线定义：设平面曲线C C C C由参数方程由参数方程由参数方程由参数方程 （1 1 1 1）给出。如果给出。如果给出。如果给出。如果 与与与与 在在在在 上连续可微，且上连续可微，且上连续可微，且上连续可微，且 与与与与 不同时为零（即不同时为零（即不同时为零（即不同时为零（即 ），），），），则称则称则称则称C C C C
3、为一条光滑曲线。（当曲线上每一点都具有切线为一条光滑曲线。（当曲线上每一点都具有切线为一条光滑曲线。（当曲线上每一点都具有切线为一条光滑曲线。（当曲线上每一点都具有切线且切线随切点的移动而连续转动）且切线随切点的移动而连续转动）且切线随切点的移动而连续转动）且切线随切点的移动而连续转动）定理定理定理定理10.1 10.1 10.1 10.1 设曲线设曲线设曲线设曲线C C C C由参数方程由参数方程由参数方程由参数方程 (1) (1) (1) (1) 给出。若给出。若给出。若给出。若C C C C为一光滑为一光滑为一光滑为一光滑曲线，则曲线，则曲线，则曲线，则C C C C是可求长的，且弧长为
4、是可求长的，且弧长为是可求长的，且弧长为是可求长的，且弧长为(1) (1) 曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出: :弧长元素(弧微分) :因此所求弧长(P249)(2) (2) 曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出: :弧长元素(弧微分) :因此所求弧长(3) (3) 曲线弧由极坐标方程给出曲线弧由极坐标方程给出: :因此所求弧长则得弧长元素(弧微分) :(自己验证)例例例例1.1. 两根电线杆之间的电线两根电线杆之间的电线, , 由于其本身的重量由于其本身的重量, ,成悬链线 .求这一段弧长 . 解解:下垂悬链线方程为例例例例2.2. 求连续曲线段求连续曲线段解解:的弧长.
5、例例例例3.3. 计算摆线计算摆线一拱的弧长 .解解:例例例例4.4. 求阿基米德螺线求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功二、二、 液体的侧压力液体的侧压力三、引力问题三、引力问题二、定积分在物理中的某些应用 四、惯性问题四、惯性问题一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .在其上所作的功微元为因此变力F(x) 在区间 上所作的功为例例例例1.1.一个单求电场力所作的功 . 解解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律库仑定律
6、电场力为则功微元为所求功为说明说明:位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 例例例例2.2.体, 求移动过程中气体压力所解解:由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 .建立坐标系如图. 由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即功微元为故作用在活塞上的所求功为力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 例例例例3.3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐标系如图. 在任一小区间上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功(功微元功微
7、元)为故所求功为设水的密度为一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 面积为 A 的平板二、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强: 当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时,就涉及到侧压力问题.所受侧压力问题就需用积分解决 .整张平板所受的压力为因为各点受力均等，所以平板一侧所受压力也为这个结果.小窄条上各点的压强例例例例4.4. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图. 所论半圆的利用对称性 , 侧压力微元端面所受侧压力为方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 三、三、 引力问题引力问题质量分别为的质点 , 相距 r ,
8、二者间的引力 :大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体物体对质点的引力, 则需用积分解决 .例例例例5.5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,该棒对质点的引力.解解: 建立坐标系如图. 细棒上小段对质点的引力大小为故垂直分力元素为在试计算利用对称性利用对称性棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为 说明说明说明说明: :2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒 .移到 b (a 2 R ) 的水池底, 水的密度多少功 ?
9、 解解: 建立坐标系如图 . 则对应上球的薄片提到水面上的微功为提出水面后的微功为现将其从水池中取出, 需做微元体积所受重力上升高度因此微功元素为因此微功元素为球从水中提出所做的功为“偶倍奇零偶倍奇零”11.11. 设有半径为设有半径为 R R 的半球形容器如图的半球形容器如图. .(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为为h (0 h R ) 时水面上升的速度 .(2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最少应为多少 ? 解解: 过球心的纵截面建立坐标系如图.则半圆方程为设经过 t 秒容器内水深为h ,(1)(1) 求求由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为而高为 h 的球缺的体积为半球可看作半圆绕 y 轴旋转而成体积元素:故有两边对 t 求导, 得at (升) ,(2)(2) 将满池水全部抽出所做的最少功将满池水全部抽出所做的最少功为将全部水提对应于微元体积:微元的重力 :薄层所需的功元素故所求功为到池沿高度所需的功.说明说明说明说明: :当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数奇函数( P350 公式67 )Have a nice weekend See you on Monday
