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1、中三數學第三學期課程第十章 三角學的應用第十一章 簡易概率第十章 三角學的應用(1) 重溫sin, cos ,tan(2) 的定義(2) 斜坡上的斜率(3) 請按以下其中一個章節(3) 仰角與俯角(4) 方位角的應用 第十章 三角學的應用(1) 中二的三角函數 sin, cos , tan 的重溫(i) 認識直角三角形的斜邊,鄰邊和對邊對邊鄰邊斜邊斜邊對邊鄰邊例一: 寫出下列直角三角形中,對於角 的斜邊, 鄰邊, 對邊的長度5 3 4(1)(2) 12 513(a) 斜邊 = (b) 鄰邊 = (c) 對邊 = (a) 斜邊 = (b) 鄰邊 = (c) 對邊 = 54313512(ii) 直
2、角三角形中的 sin, cos, tan註: sin,cos,tan 為直角三角形中 指定兩邊的比例(1) sin = 對邊 / 斜邊(2) cos = 鄰邊 / 斜邊(3) tan = 對邊 / 鄰邊斜邊對邊鄰邊25 24 7例二:寫出下面直角三角形中sin,cos,tan的值(1)(2) 12 513(a) sin = (b) cos =(c) tan = 24/257/2524/712/135/1312/5(a) sin = (b) cos =(c) tan = 例三:寫出題目中的比例所代表的三角函數(即sin,cos或tan)5 4 3(1)(2) 15 8 17(a) 4/5 = (
3、b) 4/3 =(c) 3/5 = sin tan cos(a) 15/8 = (b) 8/17 =(c) 15/17 = tan cossin (iii) 利用sin, cos, tan求直角三角形的未知角5 4例四: 求下圖中的直角三角形中的未知角步驟一:選取適當的函數(即sin,cos或tan) cos = 4/5步驟二:按計算機求出 未知角的值 = 36.9按計數機的次序:4 ab/c 5 shift cos例五: 求下圖中的直角三角形中的未知角25 24 (1) 12 5(2) sin = 24/25 = 73.7 按計數機的次序:24 ab/c 25 shift sin tan =
4、 12/5 = 67.4 按計數機的次序:12 ab/c 5 shift tan(iv) 利用sin, cos, tan求直角三角形的未知邊例六: 求下圖中的直角三角形中的未知邊a步驟一:選取適當的函數(即sin,cos或tan)步驟二: 移項步驟三:按計算機求出 未知邊a的值530 a cos30 = a/55cos30 = aa= 4.33 按計數機的次序:5 30 cos = 例七: 求下圖中的直角三角形中的未知邊b tan40 = 12/b=12/tan40 bb=14.3按計數機的次序: 12 40 tan = 12 b40回主頁第十章 三角學的應用(2) 斜率現在非典型肺炎肆虐現在
5、非典型肺炎肆虐, 大家聽過大家聽過 1:99嗎嗎?M 一比九十九 清潔好幫手在一個在一個斜坡上斜坡上, 1:99又是甚麼意思呢又是甚麼意思呢?你見過你見過右面的道路標誌嗎右面的道路標誌嗎?1:10這是這是斜坡上一個交通道路標誌斜坡上一個交通道路標誌110平移距離平移距離上升距離上升距離道路道路1:10是道路的斜率是道路的斜率, 它代表它代表例8: 若一直線的斜坡AB的上升100m, 平移距離 = 500m, 求AB的斜率 （以 1 : n 表示)100m500m= 1 : 5斜坡的傾角斜坡的傾角(2) 斜率 = tan 例9: 若一直線的斜坡AB的上升100m, 平移距離 = 500m, 求A
6、B的傾斜角100m500m = 11.3 例10: 若一直線的斜坡 AB 的傾斜角=5, 求AB的斜率(以1:n表示,n須捨入為整數)5AB的斜率的斜率 = tan 5 = 0.0875按 5 tan按 1 / x= 1:11例11: 若一直線的斜坡 AB的斜率 = 1/8, 若平移距離為400m, 求上升距離(x m)AB的斜率的斜率 = x / 400交叉相乘x = 50400mx m 8x = 400回主頁完成書本p.73課堂練習(1-6).於筆記簿上請列式第十章 三角學的應用(3) 仰角與俯角通常在觀看物件時通常在觀看物件時, 都會向上望或向下望都會向上望或向下望.M 例如例如:水平線
7、仰角俯角AB(i) 由A測B的仰角 = abcda(ii) 由B測A的俯角 = d仰角與俯角,是水平線與視線相交的角呀!例12: 由B點測A點的俯角為30, 若兩點的垂直距離相距100m, 則兩點的水平距離相距多少?AB100m30 x = 30 tan30 = 100/x x = 100 / tan30 x = 173 m例13: 若兩點的垂直距離相距100m, 則兩點的水平距離相距75m, 求由B點測A點的俯角.AB100m 75m tan = 100/ 75 = 53.1 由B點測A點的俯角 = 53.1例14: 若一座大廈的頂點A測另外一大廈的頂點B的 仰角為30,而測該大廈的底部C點
8、的俯角為45, 若兩座大廈相距100m,求兩座大廈的高度.3045100mxyx tan45 = x / 100x= 100 tan45 = 100 tan30 = y / 100y= 100 tan30 = 57.7兩座大廈的高度為100m 及 (100+57.7)m,即157.7m ABC100m例15: 由一座大廈AD(高100m)的頂點A測B點的俯角為 60,而測C點的俯角為45(如圖),求BC的距離.ABC6045Db c 100mc = 45 tan 45 = 100 / CD CD = 100 / tan45 = 100b = 60 tan 60 = 100 / BD BD =
9、100 / tan60 = 57.7BC = 100 57.7 = 42.3m?一些較艱深的例子例16:由B點測一座大廈AD的頂點A的仰角為60,而由C點測A點的仰角為45(如圖),若BC=100m,求大廈的高度(AD)ABCD4560100m tan 60 = h / BDh BD = h / tan 60 tan 45 = h / CD CD = h / tan 45 (h / tan60 ) + (h/tan45 ) = 100h ( 1/ tan60 + 1/tan45 ) = 100以h表示BD及CD因為BD+CD =100抽 h 呀!h ( 1.577) = 100 h = 63.
10、4m例17:由B點測一座大廈AD的頂點A的仰角為60,而由C點測A點的仰角為45(如圖),若BC=100m,求大廈的高度(AD)A6045100mBCDh tan 45 = h / 100+x tan45 (100+x) = hx (1) tan 60 = h / x xtan60 = h(2)因為(1)=(2)tan45 (100+x)= xtan60 100+x = 1.732x 100 = 0.732x x = 136.6m代入(2)h = 136.6 x tan60 h = 237m回主頁第十章 三角學的應用(4) 方位角當由一點測量另一地點時,除了要知道兩點的距離外,還要知道所測地點
11、的方位例(1): 飛機在山的東面例(2): 船在山的西北面(i) 方位角(或.真方位角)(1) 認識不同的方位角例例: 香港天文台發出香港天文台發出 2003 年年 05 月月 02 日日 0700 協調世界時協調世界時 的機場天氣報告：的機場天氣報告：風風能見度能見度東南偏南風東南偏南風 (150 o) 13 海里/小時 ，在 130 o - 200 o 之間不定 10 公里以上北機場A150 o使用方位角,要由正北開始, 並按順時針方向量度有關角度,並以三位數表示由機場測A點的方位是150o北OA80 o50 o70 o100 oBCD(1) 由O點測A點 的方位是_(2) 由O點測B點
12、的方位是_(3) 由O點測C點 的方位是_(4) 由O點測D點 的方位是_050o130o200o300o方位角是三位數字50+8050+80+7050+80+70+100例18:(ii) 象限角(或 羅盤方位角)象限角是另外一個量度方位角的方法步驟一 : 認定方位角在那一個象限在數學上, 我們將平面分成4個象限N留意: 北 - North 東 - East 南 - South 西 - West ESWN _ ES _ ES _ WN _ W在象限角, 一定要由北(N),或南(S)開始NO80 o50 oB例19:(1) 由O點測A點的方位是_(以象限角表示)步驟二 : 要由北或南開始寫出方向
13、和角度A(2) 由O點測B點 的方位是_(以象限角表示)N _ EN 50 ES _ E180-50-80= 50S 50 E有關方位角及象限角的例子例20:以方位角表示下列象限角所代表的方位類型一: 方位角與象限角的轉換(a) N30E(b) N30W答:30 o30 oN(a)(b)(a) 方位角= 030 (b) 因為 =360 30 = 330 方位角 = 330 例21:以象限角表示下列方位角所代表的方位(a) 130(b) 230130 o230 o(b)a答:(a)(a) 因為 a =180 130 = 50 象限角 = S 50 Eb(b) 因為 b =230 180 = 50
14、 象限角 = S 50 WN例22:類型二: 互相測量的方位角的關係若A點測B點的方位角是080, 則由B點測A點的方位角是多少?AB80 oN80 o由B點測A點的方位角是 180 + 80 = 260 錯角例23:若A點測B點的方位角是 S80E, 則由B點測A點的方位角是多少?NA80 oB80 oNW由B點測A點的方位角是 N 80 W 類型三: 與方位有關的三角問題例24:一艘輪船由O港出發, 向南走了200km,再向西走了300km到達B港, 求從O點測B點的方位ONAB200km300km答:tan =300/200 = 56.3 從O點測B點的方位 = 180 + 56.3 =
15、 236.3 例25:A點在O點的西面50km, 而由O點測B點的方位為330, 若B點在A點的正北方, 求AB的距離OAB50km330N答: = 330270 = 60 tan 60 = AB / 50 50 tan 60 = AB AB = 86.6 km例26:由O點沿S50E的方位步行5km到達A點,再沿N40E的方位步行3km到達B點,求(i) 由O點測B點的方位 ; (ii) OB的距離50o40o5km3kmOABNN答(i): = 50 (錯角) OAB = 50 + 40 = 90 tan = 3/5 = 31.0 由O點測B點的方位 = S(50+31)E = S 81E 答(ii):OB =或 5.83km要先說明OAB是一直角書本練習中較深題目的提示在某些題目上, 要加上一條直線, 才容易找到適當的直角三角形,以便計算未知的距離或方位以下為一些題目的提示:EX.10D#5加此直線xy求 x 及 yEX.10D#6加此直線x求 x 及 EX.10D#7可參考例16/ EX10C#15的計算方法加此直線hEX.10D#8加此直線xy求 x, y 及 EX.10D#10abcd求 a, b, c, d 及 紅色直線為附加直線回主頁
