《高考数学总复习 10.3 二项式定理课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学总复习 10.3 二项式定理课件（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、要点梳理要点梳理1.1.二项式定理二项式定理 . . 这这个个公公式式所所表表示示的的定定理理叫叫做做二二项项式式定定理理，右右边边的的多多项式叫做（项式叫做（a a+ +b b）n n的二项展开式，其中的系数的二项展开式，其中的系数 （r r=0=0，1 1，2 2，n n）叫做）叫做 . .式中的式中的 叫叫做做二二项项展展开开式式的的 ，用用T Tr r+1+1表表示示，即即展展开开式式的的第第 项；项；T Tr r+1+1= = . .10.3 10.3 二项式定理二项式定理二项式系数二项式系数通项通项r r+1+1基础知识基础知识 自主学习自主学习2.2.二项展开式形式上的特点二项展
2、开式形式上的特点 （1 1）项数为）项数为 . . （2 2）各项的次数都等于二项式的幂指数）各项的次数都等于二项式的幂指数n n，即，即a a与与b b的指数的和为的指数的和为 . . （3 3）字母）字母a a按按 排列，从第一项开始，次数由排列，从第一项开始，次数由n n逐逐项减项减1 1直到零；字母直到零；字母b b按按 排列，从第一项起，次排列，从第一项起，次数由零逐项增数由零逐项增1 1直到直到n n. . （4 4）二项式的系数从）二项式的系数从 ， ，一直到，一直到 ， . .n n+1+1n n降幂降幂升幂升幂3.3.二项式系数的性质二项式系数的性质 （1 1）对称性：与首末
3、两端）对称性：与首末两端 的两个二项式的两个二项式系数相等，即系数相等，即 （2 2）增减性与最大值：二项式系数）增减性与最大值：二项式系数 ，当，当 时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递增的；当 时，二项时，二项式系数是递减的式系数是递减的. . 当当n n是偶数时，是偶数时，中间的一项中间的一项 取得最大值取得最大值. . 当当n n是奇数时，中间两项是奇数时，中间两项 和和 相等，且相等，且同时取得最大值同时取得最大值. .“等距离等距离”（3 3）各二项式系数的和）各二项式系数的和（a a+ +b b）n n的展开式的各个二项式系数的和等于的展开式的各个二项式系数的和等于2 2
4、n n，即，即 =2=2n n. .二项展开式中，偶数项的二项式系数的和二项展开式中，偶数项的二项式系数的和 奇数奇数项的二项式系数的和，即项的二项式系数的和，即 = = = = . .等于等于基础自测基础自测1.1.二二项项式式（a a+2+2b b）n n展展开开式式中中的的第第二二项项的的系系数数是是8 8，则则它的第三项的二项式系数为它的第三项的二项式系数为（） A.24A.24B.18B.18 C.16 C.16 D.6D.6 解析解析 T T2 2= = 所以所以2 2n n=8=8，n n=4,=4,所以所以 = =6.= =6.D2.2.（20092009浙浙江江理理，4 4）
5、在在二二项项式式 的的展展开开式式中中，含含x x4 4的项的系数是的项的系数是（） A.-10A.-10B.10B.10 C.-5 D.5 C.-5 D.5 解析解析 的展开式的通项为的展开式的通项为 令令10-310-3r r=4,=4,得得r r=2,=2,x x4 4项的系数为项的系数为 =10.=10.B3.3.若若对对于于任任意意实实数数x x, ,有有x x3 3= =a a0 0+ +a a1 1( (x x-2)+-2)+a a2 2( (x x-2)-2)2 2+ +a a3 3( (x x- -2)2)3 3, ,则则a a2 2的值为的值为（） A.3A.3B.6B.6
6、C.9C.9D.12D.12 解析解析 x x3 3= =2+2+（x x-2-2）3 3， 展开式中含（展开式中含（x x-2-2）2 2项的系数为项的系数为 a a2 2= =T T2+12+1= = 2 23-23-2=3=32=6.2=6.B4.4.在在 的展开式中，常数项为的展开式中，常数项为1515，则，则n n的一个值的一个值 可以是可以是（） A.3A.3B.4B.4C.5C.5D.6D.6 解析解析 通项通项T Tr r+1+1= = 常数项是常数项是1515，则，则2 2n n=3=3r r, ,且且 =15=15，验证，验证n n=6=6时，时，r r=4=4合题意合题意
7、. .D5.5.（20092009北北京京理理，6 6）若若（1+ 1+ ）5 5= =a a+ +b b ( (a a、b b为为有理数有理数) )，则，则a a+ +b b= =（） A.45A.45B.55B.55C.70C.70D.80D.80 解析解析 (1+ )(1+ )5 5=1+5 +20+20 +20+4=1+5 +20+20 +20+4 =41+29 = =41+29 =a a+ +b b , , a a=41,=41, b b=29.=29.C又又a a、b b为有理数为有理数,a a+ +b b=41+29=70.=41+29=70.题型一题型一 求展开式中的特定项或特
8、定项的系数求展开式中的特定项或特定项的系数【例例1 1】在二项式】在二项式 的展开式中，前三项的的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项数最大的项. . 利用已知条件前三项的系数成等差数利用已知条件前三项的系数成等差数列求出列求出n n, ,再用通项公式求有理项再用通项公式求有理项. . 解解 二项展开式的前三项的系数分别是二项展开式的前三项的系数分别是1 1， ， n n（n n-1-1），）， 22 =1+ =1+ n n（n n-1-1），）， 解得解得n n=8=8或或n n=1=1（不合题意，舍去），（不合
9、题意，舍去），思维启迪思维启迪题型分类题型分类 深度剖析深度剖析当当4- 4- k kZ Z时，时，T Tk k+1+1为有理项，为有理项，00k k88且且k kZ Z,k k=0=0，4 4，8 8符合要求符合要求. .故有理项有故有理项有3 3项，分别是项，分别是T T1 1= =x x4 4，T T5 5= = x x，T T9 9= = x x-2-2. .n n=8=8，展开式中共展开式中共9 9项，项，中间一项即第中间一项即第5 5项的二项式系数最大且为项的二项式系数最大且为T T5 5= = x x. . 求二项展开式中的指定项，一般是利用求二项展开式中的指定项，一般是利用通项
10、公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数数为整数等），解出项数k k+1+1，代回通项公式即可，代回通项公式即可. .探究提高探究提高知能迁移知能迁移1 1 已知已知 的展开式的二项式系数的展开式的二项式系数和比（和比（3 3x x-1-1）n n的展开式的二项式系数和大的展开式的二项式系数和大992.992.求求 的展开式中，的展开式中，（1 1）二项式系数最大的项；）二项式系数最大的项；（2 2）系数的绝对值最大的项）系数的绝对值最大的项
11、. . 解解 由题意知，由题意知，2 22 2n n-2-2n n=992,=992, 即即(2(2n n-32)(2-32)(2n n+31)=0,2+31)=0,2n n=32,=32,解得解得n n=5.=5.（1 1）由二项式系数的性质知，）由二项式系数的性质知， 的展开式中的展开式中第第6 6项的二项式系数最大，即项的二项式系数最大，即 =252.=252.（2 2）设第）设第r r+1+1项的系数的绝对值最大，项的系数的绝对值最大，r rZ Z，r r=3.=3.故系数的绝对值最大的是第故系数的绝对值最大的是第4 4项，项，T T4 4=- =- 2 27 7x x4 4=-15
12、360=-15 360x x4 4. .题型二题型二 求展开式中各项系数之和求展开式中各项系数之和【例例2 2】已知】已知(1-2(1-2x x) )7 7= =a a0 0+ +a a1 1x x+ +a a2 2x x2 2+ + +a a7 7x x7 7. . 求求:(1):(1)a a1 1+ +a a2 2+ + +a a7 7; ; (2) (2)a a1 1+ +a a3 3+ +a a5 5+ +a a7 7; ; (3) (3)a a0 0+ +a a2 2+ +a a4 4+ +a a6 6; ; (4)| (4)|a a0 0|+|+|a a1 1|+|+|a a2 2
13、|+|+|+|a a7 7|.|. 因因为为求求的的是是展展开开式式的的系系数数和和, ,所所以以可可用用赋值法求解赋值法求解. . 解解 令令x x=1,=1,则则a a0 0+ +a a1 1+ +a a2 2+ +a a3 3+ +a a4 4+ +a a5 5+ +a a6 6+ +a a7 7=-1 =-1 令令x x=-1,=-1,则则a a0 0- -a a1 1+ +a a2 2- -a a3 3+ +a a4 4- -a a5 5+ +a a6 6- -a a7 7=3=37 7 思维启迪思维启迪(1)(1)a a0 0= =1,= =1,a a1 1+ +a a2 2+ +
14、a a3 3+ + +a a7 7=-2.=-2.(2)(-)(2)(-)2,2,得得a a1 1+ +a a3 3+ +a a5 5+ +a a7 7= =-1 094.= =-1 094.(3)(+)(3)(+)2,2,得得a a0 0+ +a a2 2+ +a a4 4+ +a a6 6= =1 093.= =1 093.(4)(1-2(4)(1-2x x) )7 7展开式中展开式中, ,a a0 0, ,a a2 2, ,a a4 4, ,a a6 6都大于零都大于零, ,而而a a1 1, ,a a3 3, ,a a5 5, ,a a7 7都小于零都小于零, ,|a a0 0|+|+
15、|a a1 1|+|+|a a2 2|+|+|+|a a7 7| |=(=(a a0 0+ +a a2 2+ +a a4 4+ +a a6 6)-()-(a a1 1+ +a a3 3+ +a a5 5+ +a a7 7),),=1093-=1093-（-1094-1094）=2 187=2 187 探探究究提提高高 本本题题采采用用的的是是“赋赋值值法法”，它它普普遍遍适适用用于于恒恒等等式式，是是一一种种重重要要的的方方法法，在在解解有有关关问问题题时时，经常要用到这种方法经常要用到这种方法. . 对对 形形 如如 （ axax+ +b b）n n、 （ axax2 2+ +bxbx+ +
16、c c）m m （ a a， b b，c cR R, ,m m, ,n nN N* *）的式子求其展开式的各项系数之）的式子求其展开式的各项系数之 和，常用赋值法，只需令和，常用赋值法，只需令x x=1=1即可；对（即可；对（axax+ +byby）n n （a a，b bR R，n nN N* *）的的式式子子求求其其展展开开式式各各项项系系数数之之和，只需令和，只需令x x= =y y=1=1即可即可. . 一一 般般 地地 ， 若若 f f（ x x） = =a a0 0+ +a a1 1x x+ +a a2 2x x2 2+ + +a an nx xn n， 则则f f（x x）展展开
17、开式式中中各各项项系系数数之之和和为为f f（1 1），奇奇数数项项系系数数之之和和为为a a0 0+ +a a2 2+ +a a4 4+ += = ，偶偶数数项项系系数数之之和和为为a a1 1+ +a a3 3+ +a a5 5+ += =知能迁移知能迁移2 2 设（设（2- 2- x x）100100= =a a0 0+ +a a1 1x x+ +a a2 2x x2 2+ + + a a100100x x100100, ,求下列各式的值：求下列各式的值： (1)(1)a a0 0; ; (2) (2)a a1 1+ +a a3 3+ +a a5 5+ + +a a9999; ; (3)
18、( (3)(a a0 0+ +a a2 2+ +a a4 4+ + +a a100100) )2 2-(-(a a1 1+ +a a3 3+ + +a a9999) )2 2; ; (4)| (4)|a a0 0|+|+|a a1 1|+|+|a a2 2|+|+|+|a a100100|.|. 解解 （1 1）方方法法一一 由由（2- 2- x x）100100展展开开式式中中的的常常 数项为数项为 2 2100100，得，得a a0 0=2=2100100. . 方法二方法二 令令x x=0=0，则展开式可化为，则展开式可化为a a0 0=2=2100100. . （2 2）令）令x x=
19、1,=1,得得a a0 0+ +a a1 1+ +a a2 2+ + +a a9999+ +a a100100=(2- )=(2- )100100 令令x x=-1,=-1, 可得可得a a0 0- -a a1 1+ +a a2 2- -a a3 3+ + +a a100100=(2+ )=(2+ )100100联立联立得得a a1 1+ +a a3 3+ + +a a9999= =(3)(3)原式原式= =（a a0 0+ +a a2 2+ + +a a100100）+ +（a a1 1+ +a a3 3+ + +a a9999）（a a0 0+ +a a2 2+ + +a a100100）
20、- -（a a1 1+ +a a3 3+ + +a a9999）= =（a a0 0+ +a a1 1+ +a a2 2+ + +a a100100）( (a a0 0- -a a1 1+ +a a2 2- -a a3 3+ + +a a9898- -a a9999+ +a a100100) )=(2- )=(2- )100100(2+ )(2+ )100100=1.=1.(4)(4)展开式中，展开式中，a a0 0, ,a a2 2, ,a a4 4, , ,a a100100大于零，而大于零，而a a1 1, ,a a3 3, , ,a a9999小于零，小于零，原式原式= =a a0 0
21、- -a a1 1+ +a a2 2- -a a3 3+ + +a a9898- -a a9999+ +a a100100=(2+ )=(2+ )100100. .题型三题型三 二项式定理的综合应用二项式定理的综合应用【例例3 3】 （1212分分）（1 1）求求证证：4 46 6n n+5+5n n+1+1-9-9是是2020的的倍倍数（数（n nN N* *）；）； （2 2）今天是星期一，再过）今天是星期一，再过3 3100100天是星期几？天是星期几？ （1 1）将将6 6n n化化为为（5+15+1）n n，5 5n n+1+1化化为为5(4+1)5(4+1)n n利用二项式定理展开
22、，提取公因数利用二项式定理展开，提取公因数20.20. （2 2）3 3100100被被7 7除余几？关键是如何产生除余几？关键是如何产生7.7. 3 3100100=9=95050= =（7+27+2）5050；2 25050=4=48 81616=4=4（7+17+1）1616. . （1 1）证明证明 （运用二项式定理证）（运用二项式定理证） 4 46 6n n+5+5n n+1+1-9=4-9=4(5+1)(5+1)n n+5+5（4+14+1）n n-9 3-9 3分分 =4=4 -9 -9思维启迪思维启迪 故结论成立故结论成立. 6. 6分分（2 2）解解 33100100=9=9
23、5050= =（7+27+2）5050= = 7 750502 20 0+ + 7 749492 21 1+ + + 7 72 24949+ + 7 70 02 25050=7=7M Mn n+2+25050，( (M Mn nN N* *），），9 9分分又又2 25050=2=23 316+216+2=4=48 81616=4(1+7)=4(1+7)1616=4( +7 +7=4( +7 +72 2 + +7+716 16 ) )=4+7=4+7N Nn n ( (N Nn nN N* *),),33100100被被7 7除余数是除余数是4 4，故再过，故再过3 3100100天是星期五天
24、是星期五. 12. 12分分 探探究究提提高高 用用二二项项式式定定理理处处理理整整除除问问题题，通通常常把把底底数数写写成成除除数数（或或与与除除数数密密切切关关联联的的数数）与与某某数数的的和和或或差差的的形形式式，再再用用二二项项式式定定理理展展开开，只只考考虑虑后后面面（或者是前面）一、二项就可以了（或者是前面）一、二项就可以了. . 同同时时，要要注注意意余余数数的的范范围围，a a= =crcr+ +b b，其其中中余余数数b b0 0，r r），r r是是除除数数，利利用用二二项项式式定定理理展展开开变变形形后后，若剩余部分是负数要注意转换若剩余部分是负数要注意转换. .知知能能
25、迁迁移移3 3 求求证证：（1 1）3 32 2n n+2+2-8-8n n-9-9能能被被6464整整除除（n nN N* *）；）； （2 2）3 3n n(n n+2)+2)2 2n n-1-1 （n nN N* *，n n22）. . 证明证明 （1 1）332 2n n+2+2-8-8n n-9=3-9=32 23 32 2n n-8-8n n-9-9 =9 =99 9n n-8-8n n-9=9-9=9（8+18+1）n n-8-8n n-9-9 =9 =9（ 8 8n n + 8+ 8n n-1-1+ + + 8+ 8+ 1 1）-8-8n n-9-9 =9 =9（8 8n n+
26、 8+ 8n n-1-1+ + 8+ 82 2）+9+98 8n n+9-8+9-8n n-9-9 =9 =98 82 2（8 8n n-2-2+ + 8 8n n-3-3+ + + ）+64+64n n =64 =649 9（8 8n n-2-2+ 8+ 8n n-3-3+ + + ）+ +n n， 显然括号内是正整数，显然括号内是正整数，原式能被原式能被6464整除整除. .（2 2）利用二项式定理）利用二项式定理3 3n n=(2+1)=(2+1)n n展开证明展开证明. .因为因为n nN N* *，且，且n n2,2,所以所以3 3n n=(2+1)=(2+1)n n展开后至少有展开
27、后至少有4 4项项. .（2+12+1）n n=2=2n n+ + 2 2n n-1-1+ + + 2+122+12n n+ +n n2 2n n-1-1+2+2n n+12+12n n+ +n n2 2n n-1-1=(=(n n+2)+2)2 2n n-1-1, ,故故3 3n n(n n+2)+2)2 2n n-1-1. .方法与技巧方法与技巧1.1.通项公式最常用，是解题的基础通项公式最常用，是解题的基础. .2.2.对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特 点点，转转化化为为二二项项式式来来解解决决，转转化化的的方方法法通通常常为为集集项项
28、、配配方方、因因式式分分解解，集集项项时时要要注注意意结结合合的的合合理理性性和和简简捷性捷性. .3.3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通 项项公公式式讨讨论论对对r r的的限限制制；求求有有理理项项时时要要注注意意到到指指数数及项数的整数性及项数的整数性. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高4.4.性性质质1 1是是组组合合数数公公式式 的的再再现现，性性质质2 2是是从从函函数数的的角角度度研研究究的的二二项项式式系系数数的的单单调调性性，性性质质3 3是是利利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和用赋值法得出的二项展开式中所有
29、二项式系数的和. .5.5.因因为为二二项项式式定定理理中中的的字字母母可可取取任任意意数数或或式式，所所以以在在解解题题时时根根据据题题意意，给给字字母母赋赋值值，是是求求解解二二项项展展开开式式各项系数和的一种重要方法各项系数和的一种重要方法. .6.6.二二项项式式定定理理体体现现了了二二项项式式的的正正整整数数幂幂的的展展开开式式的的指指数数、项项数数、二二项项式式系系数数等等方方面面的的内内在在联联系系，涉涉及及到到二二项项展展开开式式中中的的项项和和系系数数的的综综合合问问题题，只只需需运运用用通通项项公公式式和和二二项项式式系系数数的的性性质质对对条条件件进进行行逐逐个个分分析析
30、，对对于于与与组组合合数数有有关关的的和和的的问问题题，赋赋值值法法是是常常用用且且重重要的方法，同时注意二项式定理的逆用要的方法，同时注意二项式定理的逆用. .失误与防范失误与防范1.1.要要把把“二二项项式式系系数数的的和和”与与“各各项项系系数数和和”，“奇奇（偶偶）数数项项系系数数和和与与奇奇（偶偶）次次项项系系数数和和”严严格格地地区别开来区别开来. .2.2.根根据据通通项项公公式式时时常常用用到到根根式式与与幂幂指指数数的的互互化化，学学生生易出错易出错. .3.3.通项公式是第通项公式是第r r+1+1项而不是第项而不是第r r项项. .一、选择题一、选择题1.1.（20092
31、009重庆理，重庆理，3 3）( (x x2 2+ )+ )8 8的展开式中的展开式中x x4 4的系的系数是数是（） A.16A.16B.70 B.70 C.560C.560D.1 120D.1 120 解析解析 设二项式展开式的第设二项式展开式的第r r+1+1项含有项含有x x4 4, , 则则T Tr r+1+1= = ( (x x2 2) )8-8-r r（ ）r r. . 16-2 16-2r r- -r r=4,=4,r r=4.=4. x x4 4的系数为的系数为 2 24 4=1 120.=1 120.D定时检测定时检测2.2.在在 的展开式中，的展开式中，x x的幂的指数是
32、整数的项共的幂的指数是整数的项共 有有（） A.3A.3项项B.4B.4项项C.5C.5项项D.6D.6项项 解析解析 T Tr r+1+1= = 故当故当r r=0,6,12,18,24=0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共时，幂指数为整数，共5 5项项. .C3.3.在在 的的展展开开式式中中，只只有有第第5 5项项的的二二项项式式系系数数最大，则展开式中常数项是最大，则展开式中常数项是（） A.-7A.-7B.7B.7 C.-28 C.-28D.28D.28 解析解析 只有第只有第5 5项的二项式系数最大，则展开式共项的二项式系数最大，则展开式共9 9项，即项，即n n=8=8，
33、 当当r r=6=6时为常数项，时为常数项，T T7 7=7.=7.B4.4. 展展开开式式的的第第三三项项为为1010，则则y y关关于于x x的的函函数数图象的大致形状为图象的大致形状为（）解析解析 T T3 3= =10= =10xyxy=10=10， 得得y y= = ，且，且x x0,0,故选故选D.D.答案答案 D5.5.已已知知 展展开开式式中中常常数数项项为为1 1 120120，其其中中实实数数a a为为常数，则展开式中各项系数的和为常数，则展开式中各项系数的和为（） A.2A.28 8B.3B.38 8 C.1 C.1或或3 38 8D.1D.1或或2 28 8解析解析 T
34、 Tk k+1+1= = 为常数项为常数项, ,k k=4=4且且 （- -a a）4 4=1 120=1 120，a a4 4=16=16，a a= =2,2,当当a a=2=2时，令时，令x x=1,=1,得各项系数和为得各项系数和为(1- )(1- )8 8=1=1；当当a a=-2=-2时，令时，令x x=1=1，得各项系数和为，得各项系数和为(1+ )(1+ )8 8=3=38 8. .答案答案 C C6.6. 的值为的值为（） A.2A.2n nB.2B.22 2n n-1-1 C.2 C.2n n-1-1D.2D.22 2n n-1-1-1-1 解析解析 （1+1+x x）2 2
35、n n= = 令令x x=1=1得得 再令再令x x=-1=-1得得 两式相加，再由两式相加，再由 =1=1， 得得D二、填空题二、填空题7.7.已知已知n n为正偶数，且（为正偶数，且（x x2 2- - ）n n的展开式中第的展开式中第4 4项的项的二项式系数最大，则第二项式系数最大，则第4 4项的系数是项的系数是 . .（用数（用数字作答）字作答） 解析解析 n n为正偶数，且第为正偶数，且第4 4项二项式系数最大，故展开项二项式系数最大，故展开 式共式共7 7项，项，n n=6=6，第，第4 4项系数为项系数为8.8.在（在（1-1-x x3 3）(1+(1+x x) )6 6的展开式
36、中，的展开式中，x x5 5的系数为的系数为 . . 解析解析 因为因为(1+(1+x x) )6 6的通项是的通项是T Tr r+1+1= = x xr r, ,令令r r=5=5得得T T6 6= = x x5 5; ;令令r r=2=2得得T T3 3= = x x2 2, ,所所以以（1-1-x x3 3）(1+(1+x x) )6 6展展开开式式中中x x5 5的系数为的系数为 - =-9.- =-9.-9-99.9.（20092009全全国国理理，1313）（x x- -y y）1010的的展展开开式式中中，x x7 7y y3 3的系数与的系数与x x3 3y y7 7的系数之和
37、等于的系数之和等于 . . 解析解析 ( (x x- -y y) )1010的展开式中含的展开式中含x x7 7y y3 3的项为的项为 x x10-310-3y y3 3 (-1)(-1)3 3=- =- x x7 7y y3 3, ,含含x x3 3y y7 7的项为的项为 x x10-710-7y y7 7(-1)(-1)7 7= = 由由 =120=120知，知，x x7 7y y3 3与与x x3 3y y7 7的系数之和为的系数之和为-240.-240.-240-240三、解答题三、解答题10.10.已知在已知在 的展开式中，第的展开式中，第6 6项为常数项项为常数项. .（1 1
38、）求）求n n；（2 2）求含）求含x x2 2项的系数；项的系数；（3 3）求展开式中所有的有理项）求展开式中所有的有理项. . 解解 （1 1）通项公式为）通项公式为T Tr r+1+1= = ，第第6 6项为常数项，项为常数项，r r=5=5时，有时，有 =0=0，即，即n n=10.=10.（2 2）令）令 =2,=2,得得r r= (= (n n-6)=2,-6)=2,所求的系数为所求的系数为 Z Z, , 0 0r10,10, rZ Z, ,令令 = =k k ( (k kZ Z),),则则10-210-2r r=3=3k k，即，即r r=5- =5- k k. .r rZ Z，
39、k k应为偶数应为偶数. .k k可取可取2,0,-22,0,-2，即，即r r可取可取2,5,8.2,5,8.第第3 3项，第项，第6 6项与第项与第9 9项为有理项，它们分别为项为有理项，它们分别为（3 3）根据通项公式，由题意得）根据通项公式，由题意得11.11.已已知知 展展开开式式的的前前3 3项项系系数数的的和和为为129129，这这个个展展开开式式中中是是否否含含有有常常数数项项、一一次次项项？若若没没有有，请说明理由；若有，请求出来请说明理由；若有，请求出来. . 解解 T Tr r+1+1= = = = （r r=0=0，1 1，2 2，n n），）， 由题意得由题意得 1+
40、21+2n n+2+2（n n-1-1）n n=129=129，n n2 2=64,=64,n n=8.=8.故故T Tr r+1+1= = （r r=0=0，1 1，2 2，8 8）. .若展开式存在常数项，则若展开式存在常数项，则 =0=0，72-1172-11r r=0=0，r r= = N N，展开式中没有常数项展开式中没有常数项. .若展开式存在一次项，则若展开式存在一次项，则 =1,=1,72-1172-11r r=6,=6,r r=6,=6,展开式中存在一次项，它是第展开式中存在一次项，它是第7 7项，项，T T7 7= 2= 26 6x x=1 792=1 792x x. .1
41、2.12.已知已知f f ( (x x)=(1+)=(1+x x) )m m+ (1+2+ (1+2x x) )n n ( (m m, ,n nN N* *) )的展开式中的展开式中 x x的系数为的系数为11.11. （1 1）求）求x x2 2的系数的最小值；的系数的最小值； （2 2）当）当x x2 2的系数取得最小值时，求的系数取得最小值时，求f f（x x）展开式）展开式 中中x x的奇次幂项的系数之和的奇次幂项的系数之和. . 解解 （1 1）由已知）由已知 =11=11，m m+2+2n n=11=11， x x2 2的系数为的系数为 +2+2n n（n n-1-1） m mN
42、N* *，m m=5=5时，时，x x2 2的系数取最小值的系数取最小值2222，此，此 时时n n=3.=3.（2 2）由（）由（1 1）知，当）知，当x x2 2的系数取得最小值时，的系数取得最小值时，m m=5=5，n n=3=3，f f（x x）= =（1+1+x x）5 5+ +（1+21+2x x）3 3. .设这时设这时f f（x x）的展开式为）的展开式为f f( (x x)=)=a a0 0+ +a a1 1x x+ +a a2 2x x2 2+ + +a a5 5x x5 5, ,令令x x=1,=1,a a0 0+ +a a1 1+ +a a2 2+ +a a3 3+ +a a4 4+ +a a5 5=2=25 5+3+33 3, ,令令x x=-1,=-1,a a0 0- -a a1 1+ +a a2 2- -a a3 3+ +a a4 4- -a a5 5=-1,=-1,两式相减得两式相减得2(2(a a1 1+ +a a3 3+ +a a5 5)=60,)=60,故展开式中故展开式中x x的奇次幂项的系数之和为的奇次幂项的系数之和为30.30. 返回返回
