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1、一、如何判别函数函数的单调性？f(x)为增函数增函数f(x)为减函数减函数 设函数设函数y=f(x) 在在 某个区间某个区间 内可导，内可导，二、如何求函数的极值与最值？求函数极值的普通步骤求函数极值的普通步骤1确定定义域确定定义域2求求导数数f(x)3求求f(x)=0的根的根 4列表列表 5判别判别求求f(x)在闭区间在闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1) 求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值；内极值；(2) 将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b比较比较,从而确定函数的最值。从而确定函数的最值。 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通
2、常称为优化问题.经过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大小值的有力工具，本节我们运用导数，处理一些生活中的优化问题.例例1 1：海：海报版面尺寸的版面尺寸的设计 学校或班学校或班级举行活行活动，通常需求，通常需求张贴海海报进展宣展宣传。现让他他设计一一张如如图3.4-13.4-1所示的所示的竖向向张贴的海的海报，要求，要求版心面版心面积为128dm2128dm2，上、下两，上、下两边各空各空2dm2dm，左、右两，左、右两边各空各空1dm1dm，如何，如何设计海海报的尺寸，才干使周的尺寸，才干使周围空白面空白面积最小？最小？图3.4-1 分析：知版心的面积，他能否设出版心的高，求出版心的宽，
3、从而列出海报周围的面积来？ 因此因此, =16是函数 的极小的极小值点，也是最小点，也是最小值点点.所以当所以当版心高版心高为16dm，宽为时8dm，能使周，能使周围空白面空白面积最小。最小。 =令于是宽为 =8 解解: :设版心的高为设版心的高为 m, m,那么版心的宽为那么版心的宽为 m m，此时周围空白面积为，此时周围空白面积为 他还有其他解法他还有其他解法吗？例如用根本吗？例如用根本不等式行不？不等式行不？规格（规格（L）21.250.6价格（元）价格（元）5.14.52.5例例2：饮料瓶大小料瓶大小对饮料公司利料公司利润的影响的影响 下面是某品牌下面是某品牌饮料的三种料的三种规格不同
4、的格不同的产品，假品，假设它它们的价的价钱如下表所示，那么如下表所示，那么1对消消费者而言，者而言，选择哪一种更合算呢？哪一种更合算呢？2对制造商而言，哪一种的利制造商而言，哪一种的利润更大？更大？ 某制造商制造并出某制造商制造并出卖球形瓶装的某种球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造料，瓶子的制造本本钱是是0.8pr2分，其中分，其中r是瓶子的半径，是瓶子的半径，单位是厘米，知每出位是厘米，知每出售售1ml的的饮料，制造商可料，制造商可获利利0.2分，且制造商能制造的瓶子的分，且制造商能制造的瓶子的最大半径最大半径为6cm，那么每瓶，那么每瓶饮料的利料的利润何何时最大，何最大，何时最小呢？最小呢？r
5、(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+减函数减函数 增函数增函数 -1.07p解：解：每个瓶的容每个瓶的容积为:每瓶每瓶饮料的利料的利润：解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0,2、当半径为6cm时，利润最大。从图中可以看出:从图中，他还能看出什么吗？例3下文请看课本P111解：存解：存储量量=磁道数磁道数每磁道的比特数每磁道的比特数 设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道不存储人行信息，所以磁道最多可达 又由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必需装满，即每条磁道上的比特
6、数可到达 所以，磁道总存储量1它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判别，不是r越小，磁盘的存储量越大.(2)为求 的最大值，计算令解得因此，当 时，磁道具有最大的存储量，最大存储量为 由上述例子，我们不难发现，处理优化问题的根本思绪是：优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数处理数学问题用导数处理数学问题优化问题的答案优化问题的答案上述处理优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。1:在边长为在边长为60cm的正的正 方形铁皮方形铁皮的四角切去相等的正方形的四角切去相等的正方形,再把再把它的边沿虚线折起它的边沿虚线折起(如图如图),做成一做成一个无盖的方底箱子个无
7、盖的方底箱子,箱底边长为箱底边长为多少时多少时,箱子的容积最大箱子的容积最大?最大容积是多少最大容积是多少?解解:设箱底箱底边长为x,那么箱高那么箱高h=(60-x)/2.箱子容箱子容积 V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.由由题意可知意可知,当当x过小小(接近接近0)或或过大大(接近接近60)时,箱子箱子的容的容积很小很小,因此因此,16000是最大是最大值. 答答:当当x=40cm时,箱子容箱子容积最大最大,最大容最大容积16000cm3.2:圆柱形金属柱形金属饮料罐的容料罐的容积一定一定时,它的高
8、与底半径它的高与底半径 应怎怎样选取取,才干使所用的才干使所用的资料最省料最省?解解:设圆柱的高柱的高为h,底半径底半径为r,那么外表那么外表积S=2rh+2r2.由由V=r2h,得得 ,那么那么令令 ,解得解得 ,从而从而 ,即即h=2r.由于由于S(r)只需一个极只需一个极值,所以它是最小所以它是最小值.答答:当罐的高与底直径相等当罐的高与底直径相等时,所用的所用的资料最省料最省.rhxy练习练习3 如图如图,在二次函数在二次函数f(x)=4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个内接围成的图形中有一个内接矩形矩形ABCD,求这求这 个矩形的个矩形的最大面积最大面积.解解:设B(x,0)(0x2), 那么那么 A(x, 4x-x2).从而从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面的面积为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x0得得x=1.而而0x1时时, ,所以所以x=1是是f(x)的极小值点的极小值点.所以当所以当x=1时,f(x)取最小取最小值f(1)=1.从而当从而当x0时,f(x)1恒成立恒成立,即即: 成立成立. 作业：课本作业：课本P37 习题习题1.4 A组组 1、3、5 课后练习：课后练习：
