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1、第十七章第十七章 勾股定理勾股定理17.1 17.1 勾股定理勾股定理第第1 1课时课时 星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩玩, ,同学们看到山势险峻同学们看到山势险峻, ,查看景区示意图得知查看景区示意图得知: :凌峰凌峰山主峰高约为山主峰高约为900900米米, ,如图如图: :为了方便游人为了方便游人, ,此景区从主此景区从主峰峰A A处向地面处向地面B B处架了一条缆车路线处架了一条缆车路线, ,已知山底端已知山底端C C处与处与地面地面B B处相距处相距12001200米米,ACB=90,ACB=90,请问缆车路线请问缆车路线ABA
2、B长长应为多少？应为多少？读一读读一读 我我国国古古代代把把直直角角三三角角形形中中较较短短的的直直角角边边称称为为勾勾，较较长长的的直直角角边边称称为为股股，斜斜边边称称为为弦弦. .图图1-11-1称称为为“弦弦图图”，最最早早是是由由汉汉代代的的数数学学家家赵赵爽爽在在为为周周髀髀算算经经作作注注时时给给出出的的. .图图1-21-2是是20192019年年在在北北京京召召开开的的国国际际数数学学家家大大会会（ICMICM20192019）的的会会标标，其其图图案案正是正是“弦图弦图”，它标志着中国古代的数学成就，它标志着中国古代的数学成就. . 图1-1图1-2 相传相传2500250
3、0年前，毕达哥拉斯有一次年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系种数量关系 我们也来观察右图中的地面我们也来观察右图中的地面图案，看看能发现些什么？图案，看看能发现些什么？1.1.掌握勾股定理的内容掌握勾股定理的内容. .2.2.了解勾股定理的证明了解勾股定理的证明. .3.3.能应用勾股定理进行简单计算能应用勾股定理进行简单计算. .ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图2让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系让我们
4、一起再探究：等腰直角三角形三边关系A A的面的面积( (单位面位面积) )B B的面的面积( (单位面位面积) )C C的面的面积( (单位面位面积) )图1 1图2 29 99 918184 44 48 8ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图2分分“割割”成若干个直角边为整数的三角形成若干个直角边为整数的三角形ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图2把把C“C“补补” ” 成边长为成边长为6 6的正方形面积的一半的正方形面积的一半ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格
5、代表一个单位面积）图图1图2 S SA A+S+SB B=S=SC CA A的面的面积( (单位面位面积) )B B的面的面积( (单位面位面积) )C C的面的面积( (单位面位面积) )图1 19918图2 2A A，B B，C C面面积关系关系直角三直角三角形三角形三边关系关系448两直角边的平方和两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方ABC图图1ABC图图2观察右边两个图并填写下表：观察右边两个图并填写下表：A A的面的面积B B的面的面积C C的面的面积图1 1图2 216169 925254 49 91313你是怎样得到表中的你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流一结果的？与同
6、伴交流一下下【做一做】【做一做】ABC图图1ABC图图2三个正方形三个正方形A A，B B，C C面积面积之间有什么关系？之间有什么关系？S SA A+ +S SB B= =S SC C即：即：两条直角边上的两条直角边上的正方形面积之和等于正方形面积之和等于斜边上的正方形的面斜边上的正方形的面积积【议一议】【议一议】A AB BC Ca ac cb bS SA A+S+SB B=S=SC C设直角三角形的三边长分别是设直角三角形的三边长分别是a a，b b，c,c,猜想猜想: :两直角边两直角边a a，b b与斜边与斜边c c 之间的关系？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2命
7、题命题1 1 如果直角三角形的两条直角边分别为如果直角三角形的两条直角边分别为a,b,a,b,斜边长斜边长为为c c，那么，那么a2+b2=c2. .【归纳】【归纳】赵爽弦图赵爽弦图 ab4+(b-a)=c a+b =cabc2ab+（b-2ab+a）=c勾股定理的证明勾股定理的证明如果直角三角形的两条直角边长分别为如果直角三角形的两条直角边长分别为a a，b b，斜边长为斜边长为c c，那么，那么 a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2. .即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.勾股定理勾股定理 C C90 90 a a2
8、 2 + b+ b2 2 = c= c2 2cabBCA【归纳】【归纳】 为什么叫勾股定理这个名称呢？原来在中国古代，人们把为什么叫勾股定理这个名称呢？原来在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾勾”，下半部分称为，下半部分称为“股股”。于是我国古代学者就把直角三角形中较短直角边称为于是我国古代学者就把直角三角形中较短直角边称为“勾勾”，较，较长直角边称为长直角边称为“股股”，斜边称为，斜边称为“弦弦”.”.由于命题由于命题1 1反映的正好是反映的正好是直角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理。直角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理。勾股国外又叫国外又叫
9、毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理【读一读】【读一读】勾勾 股股 世世 界界 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾他们发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，学派，19551955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票年希腊曾经发行了一枚纪念邮票. . 我国是最早了解勾股定理的国家我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，高就提出，将一根直尺折成一个直角，
10、如果勾等于三，股等于四，那么弦就等如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中算经中. .【读一读】【读一读】【例】求出下列直角三角形中未知边的长度【例】求出下列直角三角形中未知边的长度. .【解析】【解析】（1 1）在）在RtABCRtABC中中, ,由由勾股定理得：勾股定理得：ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2X X2 2 =36+64=36+64x x2 2 =100 =100x x2 2=6=62 2+8+82 2x0x0 y y2 2+5+52
11、2=13=132 2 y y2 2=13=132 2-5-52 2y y2 2=144=144 y=12 y=12（2 2）在）在RtABCRtABC中中, ,由勾股由勾股定理得定理得:AC:AC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2y0y0A A6 68 8x xC CB By y1313C C5 5A AB BX=10X=10【例题】【例题】在直角三角形在直角三角形ABCABC中，中，C=90C=90，AA，BB，CC所对所对的边分别为的边分别为a a，b b，c.c.(1)(1)已知已知a=1a=1，b=2b=2，求，求c.c.(2)(2)已知已知a=10a=10，c=15c=15，
12、求，求b.b.ACBbac【跟踪训练】【跟踪训练】答案：答案：（1 1） . . （2 2） . .通过本课时的学习，需要我们通过本课时的学习，需要我们1.1.掌握勾股定理的内容：掌握勾股定理的内容：直角三角形两直角边直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方长的平方和等于斜边长的平方. .2.2.理解勾股定理的证明过程理解勾股定理的证明过程. .3.3.应用勾股定理计算线段的长度应用勾股定理计算线段的长度. .注意使用勾股注意使用勾股定理的前提条件是在直角三角形中定理的前提条件是在直角三角形中. .1.在等腰在等腰RtABCRtABC中中, , a=b=1,a=b=1,则则c=c=. .a
13、 ab bc cCBA2.2.在一个直角三角形中在一个直角三角形中, , 两边长分别为两边长分别为3,4,3,4,则则第三边的长为第三边的长为_._.5或或 3.3.（宜宾（宜宾中考）已知，在中考）已知，在ABCABC中，中，A=45A=45，AB= +1AB= +1，则边，则边BCBC的长为的长为_._.【解析】【解析】过点过点C C作作CDAB,CDAB,A=45,AD=CD,A=45,AD=CD,2AD2AD2 2=AC=AC2 2=2,=2,DC=AD=1,DC=AD=1,BD=AB-AD= +1-1= BD=AB-AD= +1-1= 在在RtCDBRtCDB中，中，答案：答案：2 2
14、4.(4.(广东广东中考）如图（中考）如图（1 1），已知小正方形），已知小正方形ABCDABCD的面积为的面积为1 1，把，把它的各边延长一倍得到新正方形它的各边延长一倍得到新正方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1；把正方形；把正方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1边长边长按原法延长一倍得到正方形按原法延长一倍得到正方形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2（如图（如图（2 2）；）；以此下去，则正方形以此下去，则正方形A A4 4B B4 4C C4 4D D4 4的面积为的面积为_._.图（图（1）A1B1C1D1A BCDD2A2B2C2D1C
15、1B1A1ABCD图（图（2）【解析】【解析】由勾股定理得：新正方形由勾股定理得：新正方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1边长为边长为 ，正方形，正方形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2边长边长为为5 5，正方形，正方形A A4 4B B4 4C C4 4D D4 4的边长为的边长为2525，正方形，正方形A A4 4B B4 4C C4 4D D4 4的面积为的面积为625.625.答案：答案：6256255.5.求下列图中表示边长的未知数求下列图中表示边长的未知数x x，y y的值的值. .8181144144x xy y625625576576x=15x=15y=7y=7在时间的大钟上只有两个字在时间的大钟上只有两个字现在现在. . 莎士比亚莎士比亚
