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1、第7章 统计假设检验和区间估计单正态总体的统计检验单正态总体的统计检验两正态总体的统计检验两正态总体的统计检验需要说明的问题需要说明的问题正态总体的区间估计正态总体的区间估计(1)(1)小概率原理小概率原理( (实际推断原理实际推断原理) )认为概率很小的事件在一次试验中实际上不会出现,并且小概率事件在一次试验中出现了,就被认为是不合理的.(2)(2)基本思想基本思想 先对总体的参数或分布函数的表达式做出某做出某种假设种假设,然后找出一个在假设成立条件下出现可能性甚小的(条件)小概率事件小概率事件.如果试验或抽样的结果使该小概率结果使该小概率事件出现了事件出现了, 表明原来的假设有问题,应予以
2、否定,即拒绝拒绝这个假设这个假设.若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现小概率事件在一次试验或抽样中并未出现,就没有理由否定这个假设, 可以接受原来的假设接受原来的假设.1.1.统计检验的基本思想统计检验的基本思想统计检验概要统计检验概要利用样本检验统计假设真伪的过程叫做统计检验统计检验(假设检验假设检验)小概率原理中,关于“小概率”的值通常根据实际问题的要求而定,如取=0.1,0.05,0.01等, 为检验的显著性水平为检验的显著性水平( (检验水平检验水平) ).(3) (3) 显著性水平与否定域显著性水平与否定域/2/2X(x)接受域接受域P(|Z|z1-/2)= 否定域的大小,依赖于
3、显著性水平的取值,一般说来,显著性水平越高,即越小,否定域也越小,这时原假设就越难否定.注意注意:否定域否定域否定域否定域 z1-/2 - z1-/2 (1) 提出待检验的原假设 和备则假设 ;(2) 选择检验统计量,并找出在假设 成立条件下,该统计量所服从的分布;(3) 根据所要求的显著性水平 和所选取的统计量,确定一个合理的拒绝H0的条件; (4) 由样本观察值计算出统计检验量的值,若该值落入否定域,则拒绝原假设 ,否则接受原假设注注 若H1位于H0的两侧,称之为双侧检验双侧检验; 若H1位于H0的一侧,称之为单侧检验单侧检验.2.2.统计检验的实施程序统计检验的实施程序另一方面,当原假设
4、不成立时,却作出接受原假设的结论,造成犯“取伪取伪”的错误,称为第二类错误第二类错误,就是犯第一类错误的概率的最大允许值.一般用 表示犯第二类错误的概率.根据小概率原理否定原假设,有可能把本来客观上正确的假设否定了,造成犯“弃真弃真”的错误,称为第一类错误第一类错误,弃真弃真取伪取伪当样本容量 一定时, 小, 就大,反之, 小, 就大.另外,一般 3.3.两类错误两类错误 增大样本容量n时,可以使和同时减小.注意注意: 2) 确定检验统计量:设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，(1)总体方差总体方差2已知时已知时H0:=0(已知已知);H1:01) 提出原假设和备择假设:H0:
5、=0; H1:0,3) 对给定,由原假设成立时P(|Z| z1-/2)=得 拒绝条件为拒绝条件为|Z|z1-/2,其中,1.期望的检验期望的检验单正态总体的统计检验单正态总体的统计检验/2/2X(x)接受域接受域P(|Z|z1-/2)=否定域否定域否定域否定域 z1-/2 - z1-/2双侧统计检验双侧统计检验Z检验检验例例:用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气体含量服从正态分布N(23,22),现用一简便方法测量6次得一组数据23,21,19,24,18,18(单位:十万分之一),若用简便方法测得有害气体含量的方差不变,问用该方法测得有害气体含量的均值是否有系统偏差?分析分析用简便方法测
6、得有害气体含量XN(,22),若H0成立,则若取=0.05,则 P|Z|z1-/2=a,即: P|Z|1.96=0.05,在假设成立的条件下,|Z|1.96为概率很小事件,一般认为:小概率事件在一次实验中是不会发生的小概率事件在一次实验中是不会发生的,将样本观测值代入Z得|Z|1.96,基本检验基本检验H0:=0=23; 备择检验备择检验H1: 0= 23; 小概率事件在一次实验中发生了小概率事件在一次实验中发生了,故假设不合情理故假设不合情理,即即:否定原假设否定原假设,简便方法测得均值有系统偏差简便方法测得均值有系统偏差. 2) 选择检验统计量：1) 提出原假设和备择假设:H0:=0; H
7、1:0,3) 对给定,拒绝条件为 |T|t1-/2(n-1)Xf(x)/2/2接受域接受域否定域否定域否定域否定域(T(T检验）检验）(2)2未知未知,的检验的检验例：例：从电话公司每月长途电话的帐单中, 随机抽取37张, 计算平均费用为33.15元, 标准差为21.21元. 假定费用服从正态分布 , 未知, 要检验假设 ,解:取检验统计量依样本计算检验统计量的值为说明样本支持原假设,故要接受原假设.接受域接受域 2) 选择检验统计量:1) 提出原假设和备择假设:3) 给定,取H0: 2 = 02; H1: 2 02Xf(x)/2/212否定域否定域否定域否定域设总体XN(,2), X1,X2
8、,Xn 为一组样本，(1)2的检验（的检验（未知）未知）有P(12)=1-所以,拒绝条件为2.方差方差2的检验的检验例：例：在正常的生产条件下, 某产品的测试指标总体XN(0,02),其中0=0.23.后来改变生产工艺,出了新产品,假设新产品的测试指标总体仍为X,且XN(,2). 从新产品中随机地抽取10件, 测得样本值为x1,x2,x10,计算得到样本标准差S=0.33. 试在检验水平=0.05的情况下检验: 方差2有没有显著变化? 解解建立假设新产品指标的方差与正常情况下产品指标的方差比较没有显著变化 .2.718.53z1-)原假设的确定一般应遵循以下原则原假设的确定一般应遵循以下原则
9、要把等号放在原假设里. 2) 对统计量:设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，1) 提出原假设和备择假设:H0:0; H1:0,3) 故 拒绝条件为拒绝条件为Zz1-,其中,对给定的有在H0下有所以H0:0(已知已知);H1:0 2) 选择统计量:1) 提出原假设和备择假设:H0:0; H1:0,3) 对给定, 否定域为否定域为Z-z1-, 其中H0:0(已知已知);H1:Xf(x)/2/2接受域接受域否定域否定域否定域否定域(T(T检验）检验）(2)2未知未知,的检验的检验类似可得:2未知未知,期望的单侧统计检验期望的单侧统计检验H0:0; H1:0的拒绝条件为统计检验H0:0
10、; H1:0的拒绝条件为统计检验接受域接受域 2) 选择检验统计量:1) 提出原假设和备择假设:3) 给定,取H0: 2 = 02; H1: 2 02Xf(x)/2/212否定域否定域否定域否定域设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，(1)2的检验（的检验（未知）未知）有P(1022) 选择统计量则在H0下对给定的,有即3) 所以,拒绝条件为总体期望总体期望未知时，未知时，2的单侧假设检验的单侧假设检验接受域接受域Xf(x)否定域否定域单侧假设检验H0:202;H1:216.919,拒绝 例例 某地区高考负责人从某年来自A市中学考生和来自B市中学考生中抽样获得如下资料: 已知两地
11、考生成绩服从正态分布，方差大致相同,由以上资料能不能说某年来自能不能说某年来自A市中学考生的平均成绩比来自市中学考生的平均成绩比来自B市中学考生的平均成绩高市中学考生的平均成绩高.设A市考生成绩XN(1,12), B市考生成绩Y N(2,22),假设检验A市中学考生:B市中学考生:两个正态总体的统计检验两个正态总体的统计检验设总体XN(1,12),总体Y N(2,22),从中分别取相互独立的容量为n1,n2的两组样本X1, 和Y1, , 样本均值和样本方差分别记为(1)12,22已知已知选择检验统计量: H0:1=2的拒绝条件为|Z|z1-/2 :1 2的拒绝条件为Zz1- :1 2的拒绝条件
12、为Z212=22=2,2未知未知解解: 建立假设H0:1-20; H1:1-2 0 设总体XN(1,12),总体Y N(2,22),从中取相互独立的容量分别为n1,n2的样本X1, 和Y1, , 样本均值和样本方差分别记为 选择检验统计量:H0:12=22; H1: 12 22 对于给定的显著性水平:所以拒绝条件为3.两总体方差比的检验两总体方差比的检验类似可得的拒绝条件为的拒绝条件为例例假定分别抽选男生与女生各14名进行英语测验(成绩如下), 假定男生与女生的英语测验成绩分别服从正态分布 和 , 试以0.05的显著性水平检验 选择检验统计量:H0:12=22; H1: 12 22 对于给定的
13、显著性水平=0.05:例例:任选任选19名工人分成两组名工人分成两组,让他们每人做同样的让他们每人做同样的工作工作,测得他们完工时间测得他们完工时间(单位单位:分钟分钟)如下如下:饮酒者30, 46, 51, 34, 48, 45, 39, 61, 58, 67未饮酒者28, 22, 55, 45, 39, 35, 42, 38, 20问饮酒对工作能力是否有显著响问饮酒对工作能力是否有显著响?(显著水平显著水平)拒绝H0:1=2 , 故饮酒对工作能力有影响.设总体分布中含有未知参数 ,根据来自该总体的s.r.s ,如果能够找到两个统计量 ,使得随机区间 包含 达到一定的把握,那么,便称该随机区
14、间为未知参数的区间估计区间估计.即 当 成立时, 称概率 为置信度置信度或置信水平置信水平; 称区间 是 的置信度置信度为 的置信区间置信区间; ; 分别称为置信下限置信下限和置信上限置信上限. .区间估计的定义区间估计的定义 选择包含的分布已知函数: 构造Z的一个1- a区间区间： 的1-置信区间:设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，(1)2已知已知,求求的置信度为的置信度为1-置信区间置信区间即1.单正态总体数学期望的区间估计单正态总体数学期望的区间估计/2/2X(x)1-Z1-/2P(|Z|)=1-1-/2例例:设正态总体的方差为1, 根据取自该总体的容量为100的样本计
15、算得到样本均值为5, 求总体均值的置信度为0.95的置信区间.解解 已知2=1, =0.05,求 的1-置信区间：设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，(2)2未知未知,求求的置信度为的置信度为1-置信区间置信区间 从点估计着手构造变量: 构造T的 一个1-区间: 的1-置信区间:Xf(x)/2/21-例例:某种零件的重量服从正态分布. 现从中抽取容量为16的样本, 其观测到的重量(单位: 千克)分别为4.8, 4.7, 5.0, 5.2, 4.7, 4.9, 5.0, 5.0, 4.6, 4.7, 5.0, 5.1, 4.7,4.5, 4.9, 4.9. 需要估计零件平均重量,
16、 求平均重量的区间估计, 置信系数是0.95.解解 未知2, =0.05,求 的1-置信区间:应用t分布,需要计算Xf(x) 构造枢轴变量: 构造Q的 一个1-区间: 解不等式得到2的1-置信区间:/2/21-121-/2(3)2的置信度为的置信度为1-置信区间置信区间例例：投资的回收利用率常常用来衡量投资的风险. 随机地调查了26个年回收利润率(%), 标准差S=1(%). 设回收利润率为正态分布, 求它的方差的区间估计(置信系数为0.95).解解 总体均值 未知,=0.05,方差的区间估计.(1)12,22已知已知,1-2的的1-置信区间置信区间 相对1- 2，构造枢轴变量: 构造Z的 一
17、个1-区间: 概率恒等变形，得到1- 2的1-置信区间:设XN(1,12),Y N(2,22),从中分别抽取容量为n1,n2的样本,且两组样本独立，样本均值和样本方差分别记为2.2.两个正态总体均值差的区间估计两个正态总体均值差的区间估计(2)12=22=2,2未知未知,1-2的的1-置信区间置信区间 对于1- 2，构造变量: 构造T的 一个1-区间: 变形得到1- 2的1-置信区间:例：例：某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取随机样本: 和 , 计算出 (克), (克), . 假设这两条流水线上罐装番茄酱的重量都服从正态分布, 其总体均值分别为 , 且有相同的总体方
18、差. 试求总体均值差 的区间估计, 置信系数为0.95. 解解12=22=2, 2未知,1- 2的0.95置信区间: (1)对于12/22 ，构造枢轴变量:(2)构造F的 一个1-区间: (3)解不等式得12/22 的1-置信区间:Xf(x)/2/2121-P(1Fz1-/21.期望的检验期望的检验单正态总体的统计检验单正态总体的统计检验X(x)接受域接受域否定域否定域 z1- 1)2) 拒绝条件为拒绝条件为Zz1-H0:0(已知已知);H1:0X(x)接受域接受域否定域否定域 -z1- 2)3) 否定域为否定域为Z-z1-, H0:0(已知已知);H1:Xf(x)/2/2接受域接受域否定域否
19、定域否定域否定域(T(T检验）检验）(2)2未知未知,的检验的检验Xf(x)接受域接受域否定域否定域2未知未知,期望的单侧统计检验期望的单侧统计检验H0:0; H1:0的拒绝条件为统计检验H0:0; H1:0的拒绝条件为统计检验接受域接受域 2) 选择检验统计量:1) 提出原假设和备择假设:3) 给定,取H0: 2 = 02; H1: 2 02Xf(x)/2/212否定域否定域否定域否定域设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，(1)2的检验（的检验（未知）未知）有P(12)=1-所以,拒绝条件为2.方差方差2的检验的检验接受域接受域Xf(x)1否定域否定域总体期望总体期望未知时，
20、未知时，2的单侧假设检验的单侧假设检验H0:202;H1:202拒绝条件为(1)12,22已知已知 H0:1=2的拒绝条件为|Z|z1-/2 :1 2的拒绝条件为Zz1- :1 2的拒绝条件为Z-z1-对于给定的显著性水平:1.两总体均值差的检验两总体均值差的检验对于给定的显著性水平: H0:1=2的拒绝条件为 :1 2的拒绝条件为 :1 2的拒绝条件为(2)12=22=2,2未知未知H0:12=22; H1: 12 22 拒绝条件为3.两总体方差比的检验两总体方差比的检验的拒绝条件为的拒绝条件为(1)2已知已知,求求的置信度为的置信度为1-置信区间置信区间1.单正态总体数学期望的区间估计单正态总体数学期望的区间估计区间估计区间估计(2)2未知未知,求求的置信度为的置信度为1-置信区间置信区间(3)2的置信度为的置信度为1-置信区间置信区间(1)12,22已知已知,1-2的的1-置信区间置信区间2.2.两个正态总体均值差的区间估计两个正态总体均值差的区间估计(2)12=22=2,2未知未知,1-2的的1-置信区间置信区间3.两个正态总体方差比两个正态总体方差比12/22的的1-置信区间置信区间
