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1、一、一、引例引例(ynl)1. 变速变速(bin s)直线运动直线运动的速度的速度设描述质点(zhdin)运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第3页/共27页第三页，共28页。2.曲线曲线(qxin)的的切线斜率切线斜率曲线(qxin)在 M 点处的切线(qixin)割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共27页第四页，共28页。两个问题两个问题(wnt)的共性的共性:瞬时速度(shn sh s d)切线(qixin
2、)斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共27页第五页，共28页。二、导数二、导数(dosh)的定义的定义定义定义(dngy)1 . 设函数设函数在点存在(cnzi),并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义 , 在点处可导可导, 在点的导数导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共27页第六页，共28页。运动质点的位置(wi zhi)函数在 时刻的瞬时速度
3、曲线(qxin)在 M 点处的切线(qixin)斜率说明说明: 在经济学中, 边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共27页第七页，共28页。若上述(shngsh)极限不存在 ,在点 不可导. 若也称在若函数(hnsh)在开区间 I 内每点都可导,此时导数值(shz)构成的新函数称为导函数.记作:注意注意:就说函数就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共27页第八页，共28页。例例1.求函数求函数(C 为常数(chngsh) 的导数. 解解:即例例2. 求函数解解:机动(jdng
4、) 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共27页第九页，共28页。说明说明(shumng)：对一般(ybn)幂函数( 为常数) 例如例如(lr)，（以后将证明）机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共27页第十页，共28页。例例3.求函数求函数的导数(do sh). 解解:则即类似(li s)可证得机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共27页第十一页，共28页。例例4.求函数求函数的导数(do sh). 解解: 即或机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第12页/共27页第十二页，共28页。原式是否(sh fu)可按下述方法作:例例5.证明证明(zhn
5、gmng)函函数数在 x = 0 不可(bk)导. 证证:不存在 , 例例6. 设存在, 求极限解解: 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共27页第十三页，共28页。三、三、导数的几何意义导数的几何意义(yy)曲线在点的切线斜率为若曲线(qxin)过上升(shngshng);若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共27页第十四页，共28页。例例7.问曲线问曲线(qxin)哪一点有垂直(chuzh)切线 ? 哪一点处的切线(qixin)与直线平行 ?
6、写出其切线方程.解解:令得对应则在点(1,1) , (1,1) 处与直线平行的切线方程分别为即故在原点 (0 , 0) 有垂直切线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共27页第十五页，共28页。四、四、函数函数(hnsh)的可导性与连的可导性与连续性的关系续性的关系定理定理(dngl)1.证证: 设在点 x 处可导,存在(cnzi) ,因此必有其中故所以函数在点 x 连续 .注意注意: 函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x = 0 处连续 , 但不可导.即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共27页第十六页，共28页。在点的某个(mu )右 邻域内五、五
7、、单侧导数单侧导数(dosh)若极限(jxin)则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作即(左)(左左)例如例如,在 x = 0 处有定义定义2 . 设函数有定义,存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共27页第十七页，共28页。定理定理(dngl)2.函数函数在点且存在简写(jinxi)为在点处右右 导数存在定理定理(dngl)3. 函数函数在点必 右右 连续.(左左)(左左)若函数与都存在 , 则称显然:在闭区间 a , b 上可导在开区间 内可导,在闭区间 上可导.可导的充分必要条件是且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共27页第十八页，共28页。设设, 问
8、a 取何值时,在都存在(cnzi) , 并求出解解:故时此时(c sh)在都存在(cnzi), 显然该函数在 x = 0 连续 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共27页第十九页，共28页。内容内容(nirng)小结小结1. 导数(do sh)的实质:3. 导数的几何意义(yy):4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2. 增量比的极限;切线的斜率;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共27页第二十页，共28页。思考思考(sko)与练习与练习1. 函数 在某点 处的导数
9、区别(qbi):是函数(hnsh) ,是数值;联系:注意注意:有什么区别与联系 ?？与导函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共27页第二十一页，共28页。2.设设存在(cnzi) , 则3. 已知则4. 若时, 恒有问是否(sh fu)在可导?解解:由题设由夹逼准则(zhnz)故在可导, 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共27页第二十二页，共28页。完第23页/共27页第二十三页，共28页。作业作业(zuy) P85 2 , 5 , 6, 9, 13, 14(2) , 16 , 18 第二节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第24页/共27页第二十四页，共2
10、8页。备用备用(biyng)题题解解: 因为因为(yn wi)1. 设存在(cnzi),且求所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共27页第二十五页，共28页。在 处连续(linx), 且存在(cnzi)，证明(zhngmng):在处可导.证证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.2.设设故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共27页第二十六页，共28页。感谢您的欣赏(xnshng)！第27页/共27页第二十七页，共28页。内容(nirng)总结牛顿(1642 1727)。年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版).。还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .。第1页/共27页。莱布尼兹(1646 1716)。第2页/共27页。所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .。是电量增量与时间(shjin)增量之比的极限。在 M 点处的切线斜率。边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.。若函数在开区间 I 内每点都可导,。就称函数在 I 内可导.第二十八页，共28页。
