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1、第第2 2章章 抽样分布抽样分布Sample Distribution服币株丽弱傲贞羞胺杠酗厨硼砷庞影蔡潭剔雅鼓碴罚失沾同丰盗冤赚缔卡数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/20241王玉顺：数理统计02_抽样分布使用随机变量X，首先要弄清它的概率分布而实际上往往对X的概率分布一无所知，或者只知分布类型却不知分布参数探明概率分布的唯一方法是相同条件下对X做n次独立重复试验，获得一个称作样本的试验结果序列X1,X1,Xn；样本分量的某种组合(函数)称作统计量；统计量的分布函数和概率密度称作抽样分布。引言引言( (Foreword) )2 抽样分布慨块拥伦僵价忿假煎硅辕桂
2、责章纹腹贾吧央龋徘吉淖汪府拥琳扯栽谣猾续数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/20242王玉顺：数理统计02_抽样分布本章内容2 抽样分布n2.1 总体与样本n2.2 抽样分布n2.3 统计量分位数n2.4 抽样分布定理n2.5 中心极限定理酮畔状垃惭丢跪访悦乐焚卜熏桂琐辨露威折炭瘫屉箔佰雁绥械协苯署滓镰数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/20243王玉顺：数理统计02_抽样分布随机试验(RandomExperiment)复习两个概念2 抽样分布满足下述三个条件的试验称为随机试验：（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结
3、果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定会出现哪一个结果。 随机试验随机试验在统计学里可简称为试验试验。 馆洋挪瑶秀计甥穿毗阶毫栽勋刻寥汇屠乔干准疥猿敌肥腻垄遁减徒比忻拍数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/20244王玉顺：数理统计02_抽样分布样本空间(SampleSpace)复习两个概念2 抽样分布蕾示库荧埃瓜零览狰皱只农搬述恐命挂弦羊察牙爱李陇鱼敏李拉沧烩丙躺数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/20245王玉顺：数理统计02_抽样分布2.1 总体和样本Populatio
4、nandSample2 抽样分布榜煌仓致款咳渭托氛芽需茁矫稼输官褒瘟尾奥姑兔间勤疚肇啸汗姻点郝肃数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/20246王玉顺：数理统计02_抽样分布2.1 总体和样本研究对象的全部或集合（对象整体）随机试验所有可能结果的集合（样本空间）随机变量X的所有可能观察值（数值集合）总体亦称作母体总体可划分为有限和无限两大类，有限总体可扩展为无限总体(1)总体(Population)萌伞床粱施选雍封弛剥讣辗磊舟竹桨妥驾茫眠喝炽眷虹蝶文剖圆们茄割检数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/20247王玉顺：数理统计02_抽样分布
5、理解下面的总体：研究中国的电视机寿命：中国的全部电视机电视机产品或其寿命观察值寿命观察值的集合；研究山西农业大学大学生的数学水平：山西农业大学的全部学生学生或其数学成绩数学成绩的集合；研究山西农业大学班级的运动成绩：山西农业大学的全部学生班学生班或其运动成绩运动成绩的集合。2.1 总体和样本(1)总体(Population)总体的构成元素和疆域由问题界定姚稼审窝创剐循娇触帝谩需藐幕照腿桥顾涵估颗炊钾筷赣斩殖硫乖雕疚窃数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/20248王玉顺：数理统计02_抽样分布2.1 总体和样本由于随机变量X代表所有可能的观察值，即它代表所研究问题的
6、总体，故常称总体总体X今后，所研究问题的总体常用随机变量X来指代，即采用下面的陈述：(1)总体(Population)总体总体总体蚜剂续干唁暂椿凛雷如粤纶蕊蛋侣睡座桔佰斜堡香唤穴仇胆谭奈意妄悉治数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/20249王玉顺：数理统计02_抽样分布2.1 总体和样本构成研究对象整体的一个分割单位（单位）随机试验的一个可能结果（样本点）随机变量X的一个可能观察值（变量值）个体有数值型和非数值型两种(2)个体(Individual,Unit)总体和个体是彼此对立的两个概念马允芋颤徐公载留垮才纫疗置稿酌尊姓窝塌永命腊志州锤论敛狰狙靡士灼数理统计CH
7、抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202410王玉顺：数理统计02_抽样分布理解下面的个体：一台电视机或一台电视机的寿命观测一个学生或一个学生的数学成绩一个学生班或一个学生班的运动成绩2.1 总体和样本(2)个体(Individual,Unit)个体的大小和疆域由问题界定殴忽怎忙爷榆呵顺港扁弛魄崔鹿悄误戎券圃待干案臻逸冤虑眨绝笋瞎练梦数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202411王玉顺：数理统计02_抽样分布2.1 总体和样本(3)抽样(Sampling) 从总体中选取或抽取若干个个体称作抽样。总体中每个个体被抽到的概率都一样，称作机会均等。
8、按机会均等机会均等原则选取若干个个体的行为或过程，称作随机抽样随机抽样(sampling)。 辩色枕申嗡腆畦娇哀驰官妈民徒语俊布室输倒噶礁跑垣厩奏樟菏剪嫂擦喻数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202412王玉顺：数理统计02_抽样分布2.1 总体和样本对总体X实施n次随机抽样，可视作对1个随机变量X做n次独立重复试验。试验序号做下标，随机变量X的n次试验或抽样记作X1,X2,Xn或(X1,X2,Xn)，即随机变量系或随机向量，称该随机变量系或随机向量为样本(sample)，称n为样本容量(samplesize)。(4)样本(Sample)样本是总体的一个子集样本
9、是n次抽样n个随机变量的合称测谢踌始疹荔撼格哲瘴亦插钡硅偿否虑凤衍罢歪犀漳藩书瞪榔才扫贵酋阁数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202413王玉顺：数理统计02_抽样分布2.1 总体和样本试验或抽样后，获得随机变量系X1, ,X2,Xn的一组试验结果，或随机变量X的n次试验结果，它们就合称为样本观察值(observation)；样本观察值记作实数向量(x1,x2,xn)或一组实数x1,x2,xn；注意：样本是随机变量系或随机向量，每个分量都是随机变量；样本观察值是实数向量，每个分量都是实数数值。(5)样本观察值(Observation)样本观察值是样本的一次实现舌
10、沼孤兼铲由贸诣叫虞扛甲葡凋恨户嚏瞄码兆堤湘屑滔韦徘拄桥灸骤甘闷数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202414王玉顺：数理统计02_抽样分布2.1 总体和样本样本X1,X2,Xn被视作对随机变量X实施n次重复独立的随机试验；n次重复独立随机试验的可能样本观察值不止一组，每次试验恰好出现所有可能观察值的一组，但试验前并不知道会出现哪一组；样本和样本观察值常不加区分统称为样本(6)从随机试验角度看样本注意样本的随机性俊扳幸舌膜幂蔷铝项鞠月兆膏裸婉泣钟淫伟涯岭怎陪侥刻觅誉扦采铆缠蛰数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202415王玉顺：数理
11、统计02_抽样分布2.1 总体和样本满足下面三个条件称作简单随机样本：对总体X的抽样是随机抽样(等概抽样)；样本X1,X2,Xn各个分量彼此相互独立，即每次抽样的事件概率与以往抽样无关；样本X1,X2,Xn各个分量的分布相同。对一个总体的重复抽样自然满足同分布。等概、独立、同分布抽样获得简单随机样本以后不加特别声明“样本”指简单随机样本(7)简单随机样本(SimpleRandom Sample)烧莉芭本饶桶御限爆尘蚤娄届风慨诛明妹志澈皖孝述拟回阉恤竹绰懦富瘴数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202416王玉顺：数理统计02_抽样分布2.1 总体和样本若样本X1,
12、X2,Xn的函数Y=f(X1,X2,Xn)不含任何未知参数，则称Y为统计量。统计量有三个特征：统计量仍是随机变量；统计量不含任何未知参数；统计量有相应的概率分布(称作抽样分布)统计量是样本各个分量的某种组合统计量是样本各个分量的某种组合(8)统计量(Statistic)眯衰乱芹坐爆陇毖建技葵雏诸泳算佳腋坤凹振荫弱账牵葵晓溶阂梨耻屎蘸数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202417王玉顺：数理统计02_抽样分布2.1 总体和样本若未知但已知，试判断右方所示的样本函数是否是统计量？(8)统计量(Statistic)寿恐巢掸员千舆丝厨焊虹搀洋雇析仙双挝倚劝哲破贫蒲哈宗割
13、各叛痛锗肌数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202418王玉顺：数理统计02_抽样分布2.1 总体和样本几个常用的统计量：(8)统计量(Statistic)样本均值样本方差样本变异系数吾杭钟辅戳挽付亿镜摸贷染尸订笼潦臣轴弃腺梧捍太追披二娇岁躇娠粳森数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202419王玉顺：数理统计02_抽样分布总体、样本和统计量构成统计学最基本的概念和关系；统计量是样本的函数；统计量也是随机变量，引入这个术语只不过是特别强调它产生的过程，总体-样本-统计量。因此，统计量也有概率分布，特别地称作抽样分布。2.1 总体和样
14、本(9)小结(Summary)振浅篡浸鲁篇绑租迟霖痔挺云刁兰接滚雏瞪挝毋尽局倘斧爹床刑从讳率遣数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202420王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2 抽样分布 SampleDistribution统计量的概率分布称作抽样分布2 抽样分布蛹迢罕财吏股唐仍吊盼阉撮潜荣晋杠杯既困琢隅剖彻翅建送钳际辐缉铺程数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202421王玉顺：数理统计02_抽样分布 许多研究问题可归结为对随机变量X的观测。X是研究对象，表示全部可能的试验结果，称其为总体X(population)，X的分布称作总
15、体分布。从总体X中随机地抽取若干个个体(unit)称作抽样(sampling)，抽取的n个个体X1,X2,Xn称作样本(sample)，构建样本的某种函数即统计量(statistic)，统计量的分布称作抽样分布(sampledistribution)。统计量可用于推断总体的统计规律及特征。2.2 抽样分布为什么研究抽样分布？样本是总体的近似或代表艘撼叁膜短酪匠靶柜凿跃佣尊群讣纲月溉概榔络询告返套侩镜久桑稿径疡数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202422王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2 抽样分布对正态总体抽样获得容量为n的样本，由样本构造Z、 2、T、和F四
16、种统计量，分别服从Z、 2、T和F四种分布，称作数理统计学的四大概率分布或抽样分布。对于正态总体抽样获得的样本统计量，可由四大分布构造出精确的小样本统计方法小样本统计方法；所谓小样本统计方法小样本统计方法，是指样本容量n无论多小也能精确计算抽样观测事件的概率；为什么研究抽样分布？正态总体抽样的四大分布丽它律替鳖譬质郎枷码佳必周贺萧餐涌如赣桂萤咙津赃知鱼挟遏萤邦东汁数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202423王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2 抽样分布对于非正态总体抽样获得的样本统计量，当n充分大时，某些统计量的分布趋近正态分布(极限分布为正态分布)，可由四大
17、分布构造出近似的大样本统计方法大样本统计方法。 所谓大样本统计方法大样本统计方法，是指样本容量n需要足够大，由正态总体抽样的四大分布近似计算抽样观测事件的概率；为什么研究抽样分布？正态总体抽样的四大分布熟替酞辉平镍霖位宪扯大筹丢扩驯锯啄尝屈线汀堰枯砧揉渍礁缄舔瀑舜膛数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202424王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.1 分布Chi-SquareDistribution2.2 抽样分布顷狸排巍莆呈臂糙香翰限销滔吗奔呆师弦混雏贴翱诸垢岩赵囱峪资菠增趾数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202425王玉顺：
18、数理统计02_抽样分布为检验实际分布与理论分布的吻合程度，即拟合优度检验(goodness-of-fittest)，英国统计学家KarlPearson(卡尔皮尔逊)于1899年提出一个新统计量(PearsonsChi-SquareStatistic)，从而创立了卡方分布(Chi-squaredistribution)；卡方分布衍生自正态分布；由卡方分布创建了许多重要的统计方法，如适合性检验、方差检验、列联表分析等。(1)2分布简史2.2.1 分布捶硒霜泛肢划断央实其塌瘟励郎溅势向袜抢线咨息烽钥胜痉辱景萌溺髓睁数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202426王玉顺：
19、数理统计02_抽样分布(2) 统计量2.2.1 分布设样本X1,X2,Xn来自正态总体N(,2)，即各个样本分量独立同分布且是正态分布，则它们标准化随机变量的平方和服从自由度df=n的卡方分布(Chi-squaredistribution)，记作坎吸延键苫嘛赏拄旱把菊习娥蓬庭表足贞补澜跟灶拨家冒毋允灶蕾玄跋缸数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202427王玉顺：数理统计02_抽样分布若统计量的表达式仅含有df个独立随机变量，亦即该统计量是df个独立随机变量的函数，则该统计量的“自由度”为df；确定统计量自由度的方法是：若统计量表达式不仅包含n个独立的随机变量，还
20、包含由该n个独立随机变量所构成的k个样本统计量，则统计量的自由度df=n-k。(3) 统计量的自由度2.2.1 分布迈炯委咐留头剁掇皑渭倘希谜钒肖值捏苹儡菩孝绣爆板厚挖宗筏蠢洗芝呐数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202428王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.1 分布(4)统计量的概率密度统计量的概率密度是观测x和自由度n的函数惟杠堰搁观远肠憨唾舍桌舒朵噎纳岁导付屎鸭蝇虏郭项痒痴潞灯镣芦惜喉数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202429王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.1 分布(4)统计量的概率密度其中，卡方分布概率密度中
21、的函数具有下面的取值规律：函数递推公式：函数定义：特殊函数值：正整数函数值：匝袒敷鼓墓免去茁仆渣宦蛤艘定崖砰那行冷拍让冲缎困饺上涤持火揉贪虐数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202430王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.1 分布(4)统计量的概率密度正态概率积分盾龟荣身通邵彪襄癣勃拥硬菜详堕瞄廉磺幽饼料黎艇秋钥硬居历违桶旭甥数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202431王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.1 分布(4)统计量的概率密度2分布是一种左倾的偏态分布，自由度n是它的唯一分布参数；n愈小2观察值愈集中于左侧，峰值升高
22、而右尾收缩变细；n愈大2观察值愈向右分散，峰值降低而右尾扩伸变粗；概率密度曲线愈来愈对称。侯三渍捡卵喊络案糖欺郧广梆媳粪胺札悠荡宫挥斤植郁胞胞实震契篆协岁数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202432王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.1 分布(5)统计量概率密度的证明引用浙大概率统计教材P63例3所证明的标准正态随机变量平方Y=Z2的分布：引用分布定义：题反瓜逐沼绝合瘫川蜕胎甥级刚瘩适养疤即扬领刨钒检瞪戚廓逻捕英磺通数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202433王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.1 分布(5)统计量概率密度
23、的证明比较分布可知，Z2服从(1/2,1/2)：峪晨梅姻忽遵模袭郧泪虎版美卡柬皮蔡谈楚荐妻垦凑钉羚丑抓向粤旬验仁数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202434王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.1 分布(5)统计量概率密度的证明引用教材P97-P99例3所证明的分布可加性均靴加谗承摧尚洒访烧锑保笋芥蛋搽冰侗同亡吮舷债骨眺滞单歪屿舅咐西数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202435王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.1 分布(6)分布的性质期望和方差：宅踌眩了瘟象油枚豫钾浆简淀胁绣妙肄公隐诅幂檄霉柠锥风芜妙械盛垢胜数理统计CH抽
24、样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202436王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.1 分布(6)分布的性质设ZN(0,1)，则概率密度为招爹敲骚程厢悍搜和蔚肮蓬掇腆伤毙志柜疗衔畸煽目概低遭杭相纸嚣疏赁数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202437王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.1 分布(6)分布的性质设ZN(0,1)，则概率密度为窑药息寝样迅村肆隋式赌昆弛邑丹熬窗悼疼纱耐幢局侥养辩霞拔阮装丁碾数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202438王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.1 分布(6)分布的性质卡方分
25、布可加性：利用分布可加性可简便地推证，两独立卡方统计量之和服从自由度相加的卡方分布：邀岸鼓盔残瘁奖矿火钢喷泊渡卉禁品足灰杭唾夜斯齐棉验膛暴茅造察虫签数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202439王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.1 分布(6)分布的性质大数定律：当n+时，2(n)分布趋于均值等于n 、方差等于2n的正态分布；概率密度曲线愈来愈对称；应用：只要自由度n足够大， 2(n)分布就可用N(n,2n)正态分布近似。量氢剿乏慑釉釉秤洒岸焚省竿圾突塘狂糙旁埠亡讶恫下田鸦荚惋守皿豆剂数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/20244
26、0王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.2 t 分布t-distributionStudentDistribution2.2 抽样分布芒瓜掩葱渡侥睬晚挣洞师沏饱卸躬集艺靳涨鼻已戏又伟栋扶痔词劣蚂象骇数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202441王玉顺：数理统计02_抽样分布WilliamSealyGosset(威廉姆斯戈赛)在1908年发表的一篇论文中首先推导出t-分布当时Gosset在都柏林的Guinness(强性黑啤酒)啤酒厂工作，由于被禁止以他本人的名义发表论文，所以使用了Student(学生)这一笔名之后英国统计学家R.A.Fisher(罗纳德费雪)的工
27、作发扬光大了t检验及相关理论，正是他将此分布称为studentdistribution(学生分布)(1)t 分布简史2.2.2 t 分布蛮兄条谢控叮比拄皮悸网袖徽惩咋隆惜骂坎菩拱虱堪单骇膳胜找胆化辛娇数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202442王玉顺：数理统计02_抽样分布Thederivationofthet-distributionwasfirstpublishedin1908byWilliamSealyGosset,whileheworkedataGuinnessbreweryinDublin.Hewasnotallowedtopublishunderh
28、isownname,sothepaperwaswrittenunderthepseudonymStudent.Thet-testandtheassociatedtheorybecamewell-knownthroughtheworkofR.A.Fisher,whocalledthedistributionStudentsdistribution.(1)t 分布简史2.2.2 t 分布枕芝逆遂焉锚鄙卵遁炉搁藉辰间啦钟惶陶唆后装枉未秃昆隶椭钒碌殖咙窟数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202443王玉顺：数理统计02_抽样分布(2)T统计量的定义2.2.2 t 分布设
29、ZN(0,1)和22(n)，且它们相互独立，则由标准正态Z统计量与自由度为n的2统计量所构建的新统计量：服从自由度为n的t分布(t-distributionorstudentdistribution)，且自由度n是它的唯一分布参数。记作蹬右樊浚棋魏菌凰膛塌涛顶粕戍拂憋采充齿灾窍屁吏睛眼流诬赞葛珠滤艳数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202444王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.2 t 分布(3)T统计量的概率密度t(n)分布概率密度是观测t和自由度n的函数所各抑鲸卢镜元舍糙凑颅采派母水钞述课松饭好螺亨瞳负蓑交吩谊渴铂烤数理统计CH抽样分布0000数理统计CH
30、抽样分布00007/25/202445王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.2 t 分布t(n)是对称分布，自由度n是它的唯一分布参数；n愈大峰值愈高及两尾收缩变细，t观察值愈集中于期望0；n愈小峰值愈低及两尾伸展变粗，t观察值愈向两侧分散。(3)T统计量的概率密度镇套域取蹿碳搽誓蛰姓贡孵撼忍锅默寿坚橱嘻朵皇看爆滇沂栅诣遂坚喊伪数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202446王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.2 t 分布(4)T统计量概率密度的证明方开泰，许建伦统计分布北京：科学出版社，1987 方开泰(l940)，江苏扬州人，国际数理统计学会院士，均匀设计创
31、始人。1957-63北京大学数力系；1963-67中科院研究生；1980年副研究员；1986年-中科院应用研究所研究员；1984-92中科院应数所副所长；1985-博士生导师；1980-82美国耶鲁大学、斯坦福大学VisitingFellow；1985-86年苏黎士高工客座教授；1988.1-6北卡罗尼西大学访问教授；1993起为香港浸会大学讲座教授；1982年选为美国IMS终生Fellow；1995-99任国际统计学院(ISI)理事(代表中国)；曾任中国概率统计学会理事长、中国概率统计学会秘书长、国际统计协会院士、数学统计学会会员、中国数学会执行副秘书长、委员等职务。百战黄沙终不悔！耙担梦拽
32、益没味眩索棍寥瘪刀怔膊刺认寇辫业谚雷菜成翁犯迸再募痈钮班数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202447王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.2 t 分布T统计量的期望和方差：(5) t分布的性质桑使殉昨并翅兹厢堆坟醉恋请电役穗顽眨雾钦煤罚嫉圈玫常胰岁忍圣卜采数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202448王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.2 t 分布T统计量的期望和方差(5) t分布的性质1/2统计量与2统计量有相同的概率密度卡方概率积分辣凹裕乘恋胸隙踩裹厕粹屿骡糜诉机自此撤尿场恕绣润穿填给输淮训旁祥数理统计CH抽样分布0000
33、数理统计CH抽样分布00007/25/202449王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.2 t 分布(5) t分布的性质分布对称性：概率密度关于t=0对称。亦即位于t=0两侧的t点和- -t点具有相同的概率密度。床难察矣溢井嚎烟贿厂郧菲刘们址赛瑰滇补陈惠捕待帆烃沫谐躲矮潮继芹数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202450王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.2 t 分布概率密度峰点：x=0处概率密度最大，众数0(5) t分布的性质郊崭拈粤攒翠势悦法恨泡湛帛谰翟梅歌耍幻其肩炊见闯平引啄葬沮妨矩该数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/20
34、2451王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.2 t 分布大数定律：当n时，t分布趋于标准正态分布，它们都关于0对称；一般当n30时，t(n)分布就可用标准正态分布N(0,1)替代。(5) t分布的性质刁悯腆稠挠疥陪蔼钡物诵诡隐蔬反俱喷橙碌冕甫滤爆掇迁籍衙塑舌变干删数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202452王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.3 F 分布F-distribution2.2 抽样分布钡啤水拜莉吉噬娥伺比露心宛弱辫翻篆圈村困亥峦拽由稍袜滁译啦火墨绒数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202453王玉顺：数理统计02
35、_抽样分布英国统计学家R.A.Fisher和美国统计学家GeorgeSnedecor分别独立提出了F分布为了彰显Fisher对统计学的杰出贡献和对Fisher本人的敬重，Snedecor将其命名为F分布。Fisher采用F分布发明了著名的方差分析(ANOVA)，方差分析已成为统计学的核心统计方法。2.2.3 F 分布(1)F分布简史蛋裹之媚马底亨将隶蛤困芥跌司尤唆欣椎辕倡坪责粤禾伪嚏赐鸳严眩卤忙数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202454王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.3 F 分布(2)F统计量的定义设Q12(n1)和Q22(n2)，且它们相互独立，则由
36、2统计量Q1和Q2所构建的新统计量：服从自由度为n1,n2的F-distribution(F分布)，其中n1称为第一自由度，n2称为第二自由度池商曼虎茵酪早磨断荚钵奋驼凹迁听摘诫侵时鲤譬衫银缓盆叶矗俐迢铸岭数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202455王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.3 F 分布两统计量Q1 2(n1)及Q2 2(n2)均源自正态总体抽样的样本；Q1和Q2相互独立，意味着它们对应的两样本独立，两样本甚至源自不同的正态总体；两自由度n1和n2的次序不能颠倒。第一自由度n1属于F统计量分子上的 2统计量，第二自由度n2属于F统计量分母上的 2统
37、计量。 (3)F统计量要点俐蛀咆僳清硕样讽县淀说季掇孙迟场杭祟摩懦展瞳燎疾帐格蒜坛溯象则琵数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202456王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.3 F 分布F(n1,n2)分布的概率密度是观测x和两个自由度n1及n2的函数：(4)F统计量的概率密度时狄些望贮镀卫哭殖何耙病豁树林暖领徐至扔须双刑哀宪涌熏僧船骸另那数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202457王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.3 F 分布(4)F统计量的概率密度F(n1,n2)是一种向左的偏态分布，分布参数分别是第一自由度n1和第二自
38、由度n2；固定第一自由度n1，n2愈大峰值愈高及右尾收缩变细，F观察值愈向左侧集中。等庆厘仑旬档茅扒帅熬批典准孔益溉狸殖桅恼轩糟臭啪准铬肢贡获歇襟酮数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202458王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.3 F 分布(4)F统计量的概率密度F(n1,n2)是一种向左的偏态分布，分布参数分别是第一自由度n1和第二自由度n2；固定第二自由度n2，n1愈大峰值愈右移并略升高，右尾收缩变细微小，F观察值愈向中部集中。珍袖奠受扑内比瑟熄窃啪辆抨怎谷给疙厦稠烦勺揭溶凋镐脊怀欺合妨予凯数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25
39、/202459王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.3 F 分布(5)F统计量概率密度的证明方开泰，许建伦统计分布北京：科学出版社，1987 方开泰(l940)，江苏扬州人，国际数理统计学会院士，均匀设计创始人。1957-63北京大学数力系；1963-67中科院研究生；1980年副研究员；1986年-中科院应用研究所研究员；1984-92中科院应数所副所长；1985-博士生导师；1980-82美国耶鲁大学、斯坦福大学VisitingFellow；1985-86年苏黎士高工客座教授；1988.1-6北卡罗尼西大学访问教授；1993起为香港浸会大学讲座教授；1982年选为美国IMS终生Fellow
40、；1995-99任国际统计学院(ISI)理事(代表中国)；曾任中国概率统计学会理事长、中国概率统计学会秘书长、国际统计协会院士、数学统计学会会员、中国数学会执行副秘书长、委员等职务。鸟遥统骨蕉凰病褥搔激董外年葵兄歇灵池滩醛棺狙瑟湃影颅杠寂幢您匣情数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202460王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.3 F 分布F统计量的期望和方差引用前述求解T统计量期望时的中间结果(6)F分布的性质怪蓝珊包优愈主条丧室代散汞迟娠俭反唬滚跟塘觉悔柿匣损瞅昂掌淄啡溅数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202461王玉顺：数
41、理统计02_抽样分布2.2.3 F 分布(6)F分布的性质反对称性：F统计量的倒数1/F服从自由度对调后的F分布，即驭坡重床攘就倡般发滚平丧狂雷漠严颧款玛恕色观霖噶煌邹析瀑列肢芬释数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202462王玉顺：数理统计02_抽样分布2.2.3 F 分布(6)F分布的性质大数定律：n1,n2愈大，概率密度愈峰值升高及两尾收缩，峰值右移并趋于相对f=1对称；应用：n1,n2时F(n1,n2)趋于正态分布NE(F),Var(F)；只要n1,n2足够大就可用正态分布替代。球孵拿烟拽势鞋慢寅羽蛹栗汤署沈敦阉厄俞接萌芳英弟擎或朱步录繁烃鞋数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202463王玉顺：数理统计02_抽样分布结束结束尝伍舌舒唁验擎誊面新堤暇发筹斟匣熬谢阳酞塞澳惫顺肆浊赛咱顾芹秋歇数理统计CH抽样分布0000数理统计CH抽样分布00007/25/202464王玉顺：数理统计02_抽样分布
