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1、第二十二章第二十二章 一元二次方程一元二次方程22.1 22.1 一元二次方程一元二次方程 1.1.将实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，形将实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，形 成对一元二次方程的感性认识成对一元二次方程的感性认识. .2.2.理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程. .3.3.知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次 方程整理成一般形式，能写出一般形式中一元二次方方程整理成一般形式，能写出一般形式中一元二次方 程的二次项系数、一次项系数和常数项程的二次项系数、一次项系
2、数和常数项. .问题一：如一：如图，有一，有一块矩形矩形铁皮，皮，长100 cm100 cm，宽50 cm50 cm在它的四个角分在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面方盒的底面积是是3600 cm3600 cm2 2，那么，那么铁皮各角皮各角应切去多大的切去多大的正方形？正方形？ 对于上述问题，你能设出未对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？知数，列出相应的方程吗？ 问题二：要二：要组织一次排球邀一次排球邀请赛，参，参赛的每两个的每两个队之
3、之间都要比都要比赛一一场根据根据场地和地和时间等条件，等条件，赛程程计划安排划安排7 7天，每天安排天，每天安排4 4场比比赛，比，比赛组织者者应该邀邀请多少个多少个队参参赛？ 对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？ 1.1.观察下列方程，你能通过观察得到它们的共同特点吗？观察下列方程，你能通过观察得到它们的共同特点吗？ 共同特点：共同特点：（1 1）等号两边都是整式；等号两边都是整式； （2 2）整式的最高次数是）整式的最高次数是2 2次次. . 2 2归纳：（1 1）方程的等号两）方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且都是整式
4、，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是未知数的最高次数是2 2的方程叫作一元二次方程；的方程叫作一元二次方程；（2 2）一般地，任何一个关于）一般地，任何一个关于x x的一元二次方程，的一元二次方程，经过整整理，都能化成如下形式理，都能化成如下形式 ： 这种形式叫做一元二次方程的一般形式种形式叫做一元二次方程的一般形式其中其中axax2 2是二次是二次项，a a是二次是二次项系数；系数； bxbx是一次是一次项，b b是一次是一次项系数；系数；c c是常数是常数项 【例例1 1】将下列方程化将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出各一元二次方程的一般形式，并指出各项系数系数. .一般形式
5、：一般形式：二次项系数是二次项系数是3 3，一次项系数是，一次项系数是8 8，常数项是，常数项是10. 10. 例 题解析：解析：下列方程哪些是一元二次方程下列方程哪些是一元二次方程? ? 为什么？为什么？(2)2x(2)2x2 25xy5xy6y6y0 0(5)x(5)x2 22x2x3 31 1x x2 2(1)7x(1)7x2 26x6x0 0解析解析: : (1)(1)、(4)(4)(3)2x(3)2x2 2 1 1 0 0 1 13x3x(4) (4) 0 0y y2 22 2跟踪训练下列方程的根是什么？下列方程的根是什么？方程的根：使一元二次方程等号两方程的根：使一元二次方程等号两
6、边相等的未知数的取相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫做根）叫作一元二次方程的解（又叫做根）. .猜测：猜测：（1 1）下列哪些数是方程）下列哪些数是方程 的根？的根？4 4，3 3，2 2，1 1，0 0，1 1，2 2，3 3，4 4 从中你能体会根的作用从中你能体会根的作用吗？ （2 2）若）若x x2 2是方程是方程 的一个根，的一个根， 你能求出你能求出a a的的值吗？ （提示：根的作用：可以使等号成立（提示：根的作用：可以使等号成立. .）思考：思考：【例例2 2】关于关于x x的方程的方程x x2 2-kx-6=0-kx-6=0的一个根为的一个根为x=3x=3，则实数，则
7、实数k k的值的值为（为（ ）A A1 1B B -1-1C C2 2D D-2-2【解析解析】选选A. A. 将将x=3x=3代入方程代入方程x x2 2-kx-6=0-kx-6=0得得3 32 2-3k-6=0 -3k-6=0 ，解得，解得k=1.k=1.例 题1 1你能根据所学你能根据所学过的知的知识解出下列方程的解解出下列方程的解吗？（1 1） （2 2） . . 2 2有人解有人解这样一个方程一个方程解：解：x+5=1x+5=1或或x x1=71=7，所以，所以x x1 1= =4 4，x x2 2=8=8，你的看法如何？，你的看法如何？ 跟踪训练【解析解析】根据平方根的定义得方程根
8、据平方根的定义得方程（1 1）的根为）的根为x=x=6 6，方程（，方程（2 2）的根为）的根为x=x= .【解析解析】上述解法是错误的，将上述解法是错误的，将 x x1 1、x x2 2 代入原方程等代入原方程等式两边不相等，因此它们并不是原方程的解式两边不相等，因此它们并不是原方程的解. .1.1.当常数当常数a a，b b，c c满足什么条件时，方程满足什么条件时，方程(a-1)x(a-1)x2 2-bx+c=0-bx+c=02.2.是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数、数、3.3.常数项分别是什么常数项分别是什么? ? 【解析解
9、析】当当a-10，即，即a 1时，时，方程方程(a-1)x(a-1)x2 2-bx+c=0-bx+c=0是一元二次方程，这时方程的二次项系数、一次项系数、是一元二次方程，这时方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是常数项分别是a-1,-b,c. a-1,-b,c. 2.2.（20102010衡阳中考）某农机厂四月份生产零件衡阳中考）某农机厂四月份生产零件5050万个，第万个，第二季度共生产零件二季度共生产零件182182万个万个. .设该厂五、六月份平均每月的增设该厂五、六月份平均每月的增长率为长率为x x，那么，那么x x满足的方程是（满足的方程是（ ）A A. . B B C C、50(
10、1+2x)50(1+2x)182 182 D D 【解析解析】选选B.该农机厂五月份生产零件该农机厂五月份生产零件 万个，六月万个，六月份生产零件份生产零件 万个，第二季度共生产零件万个，第二季度共生产零件 万个万个.3.3.（20102010兰州中考）上海世博会的某纪念品原价兰州中考）上海世博会的某纪念品原价168168元，元，连续两次降价连续两次降价a%a%后售价为后售价为128128元元. . 下列所列方程中正确的是下列所列方程中正确的是（ ） A.168A.168（1+a%1+a%）2 2=128=128 B B. . C C D D【解析解析】选选B.B.第一次减价后为第一次减价后为
11、168168（1-a1-a）元，第二次降价）元，第二次降价后为后为168168（1-a1-a）（）（1-a1-a）元，即）元，即168168（1-a1-a）2 2元，因此元，因此所列方程为所列方程为 . .4.4.（20102010毕节中考）某县为发展教育事业，加强了对教毕节中考）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，育经费的投入，20082008年投入年投入3 3千万元，预计千万元，预计20102010年投入年投入5 5千千万元设教育经费的年平均增长率为万元设教育经费的年平均增长率为x x，根据题意，下面所，根据题意，下面所列方程正确的是（列方程正确的是（ ） A A. . B B.
12、. C C. . D D. .【解析解析】选选A.A.依题意可列方程依题意可列方程 . . 通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：1.1.一元二次方程的特征：只有一个未知数，并且未知一元二次方程的特征：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是数的最高次数是2.2.2.2.一元二次方程的一般形式为：一元二次方程的一般形式为：axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)，一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项都一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项都是根据一般形式确定的是根据一般形式确定的. . 一个人如果做了出色的数学工作，并想引起数学界的注意，这实在是再容易不过的事情，不论这个人是如何位卑而且默默无闻，他只需做一件事：把他对结果的论述寄给处于领导地位的权威就行了。 莫德尔
