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1、7.5 广广 义义 积积 分分然而在实际应用中然而在实际应用中, 经常面临以下问题经常面临以下问题:定积分定积分 的特点的特点: :(1) 若若 存在存在 f (x) 在在 a , b 上有上有界界 (2) 积分区间积分区间 a , b 是有界区是有界区间间(1) 无穷区间上的积分无穷区间上的积分(2) a , b 上的无界函数的积上的无界函数的积分分这就是本节要讨论的广义积分问题这就是本节要讨论的广义积分问题 10 无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分当当 (1)的极限存在时的极限存在时, 称广义积分称广义积分 是是收敛收敛的的 ,否则称广义积分是否则称广义积分是发散的发散的 ( 此时此
2、时 不表示任不表示任定义定义在在) , 则则 f (x) 在在 a ,+ )上的广义积分上的广义积分 定定义为义为 (1) 若函数若函数 f (x) 在在 a ,+ )上有定义上有定义, 对任对任意大意大于于a 的实数的实数 b , f (x)在在 a , b 上可积上可积 (通常的定积分通常的定积分存存(1)何数值何数值 ) 同样的可定义同样的可定义:(2) f (x) 在在 (- - , b 上的广义积分上的广义积分:当当 (2)中的极限存在时中的极限存在时, 就称广义积分就称广义积分 是是 (2)收敛的收敛的, 否则称广义积分否则称广义积分 发散的发散的 (3) f (x) 在在(- -
3、 , + ) 上的广义积分上的广义积分:(3)当当 (3) 中的两个极限都存在时中的两个极限都存在时 , 就称广义积分就称广义积分存在存在时时, 就称广义积分就称广义积分 是是发散的发散的 是是收敛的收敛的, 当两个极限中的当两个极限中的任意一个不任意一个不说明说明:(1) 的几何意义的几何意义: 0 a byx 当当 收敛时收敛时, 就称这块就称这块 广义曲边梯形广义曲边梯形 有面积存在有面积存在 , 否则就称此广义曲边梯形的面积否则就称此广义曲边梯形的面积不存在不存在(2) 若若 F(x)是是 f (x) 在对应区间上的原函数在对应区间上的原函数, 则则若记若记则有则有同样若记同样若记则则
4、 所以有所以有所以有所以有例例 讨论广义积分讨论广义积分 的敛散性的敛散性当当 p 1 时时当当 p 1, 收敛收敛当当 p = 1时时发散发散故知故知+ , 当当 p 1 , 发散发散, 当当 p 1 , 收敛收敛解解例例 计算计算解解例例 求求解解注意注意: 不能写成不能写成例例 计算计算解解( 存在存在 , 且且 收敛收敛 )说明说明: 此例涉及了广义积分的分部积分法此例涉及了广义积分的分部积分法 若若 存在存在 , 收敛收敛 , 则则即即例例 计算计算解解例例 计算计算解解例例 求曲线求曲线 的斜渐近线，并求的斜渐近线，并求此曲线与其斜渐近线所夹之无界区域的面积此曲线与其斜渐近线所夹之
5、无界区域的面积解解曲线的斜曲线的斜渐近线为渐近线为又又所以面积所以面积定理定理 设设 f (x) 在在 a , + 上连续上连续 , 若若 x= (t) 满足满足:(1) x = (t) 在在 ( , ) 上严格单调上严格单调 ;(2) (t)在在 ( , ) 上连续上连续 ;(3) ( )= a , ( ) = + ( )则则式中有一广义积分收敛式中有一广义积分收敛, 则另一个广义积分也一则另一个广义积分也一定收敛且等式成立定收敛且等式成立 无穷区间广义积分的变量代换定理无穷区间广义积分的变量代换定理例例 计算计算解解利用积分变量代换公式有利用积分变量代换公式有常义积分常义积分则则为去根号为
6、去根号, 令令 例例 求求解解例例 证明证明: , 并求之并求之.解解 令令则有则有20 无界函数的广义积分无界函数的广义积分奇点奇点: 若在若在 x =c 的邻近函数的邻近函数 f (x) 无界无界 , 则称则称 x =c 为为函数函数 f (x) 的的奇点奇点 定义定义 (1) 若对任意的若对任意的 0 ( 0 , ba ) 解解显然显然 x = a 是奇点是奇点 .当当 q 1 时时 ,收敛收敛发散发散当当 q = 1 时时 ,发散发散所以有所以有收敛收敛发散发散例例 判别积分判别积分 的敛散性的敛散性 解解因为因为 是奇点是奇点 , 所以积分是广义积分所以积分是广义积分 由于由于注意注
7、意: 以下的解法是错误的以下的解法是错误的发散发散 发散发散 解解因为因为 是奇点是奇点 , 所以积分是广义积分所以积分是广义积分 例例计算计算 所以广义积分所以广义积分 收敛收敛 , 且且 说明说明: 此例涉及了无界函数广义积分的分部积分法此例涉及了无界函数广义积分的分部积分法 一般地一般地 , 如果如果 x = b 是奇点是奇点 , 则有则有若若 存在存在 , 收敛收敛 , 则有则有注意注意:将奇点将奇点 b 代入函数时代入函数时 , 认为是取极限认为是取极限 解解例例计算计算 定理定理 (无界函数广义积分的变量代换定理无界函数广义积分的变量代换定理)则则(1) x = (t) 在在 (
8、, ) 上严格单调上严格单调 ;(2) (t)在在 ( , ) 上连续上连续 ;(3) ( )=a, ( ) =b ( ) ,设设 x = b 是是 f (x)在在 a , b 上的唯一奇点上的唯一奇点 , f (x) 在在 a , b) 上上连续连续 ,若若 x= (t) 满满足足:式中有一广义积分收敛式中有一广义积分收敛, 则另一个广义积分也则另一个广义积分也一定收敛且等式成立一定收敛且等式成立 解解x =1 是奇点是奇点 , x =0 是可去间断点是可去间断点 例例计算计算 ( n为正的奇数为正的奇数 )解解例例计算积分计算积分: x = -1 是奇点是奇点 , 故为广义积分故为广义积分令令 则则于是有于是有30 (Gamma) 函数函数函数的定义域是函数的定义域是 ( 0 , + ) , 且且函数具有以下重要性质函数具有以下重要性质:性质性质 1 当当 t 1 时时 ,证明证明函数函数称为称为函数函数( 或或第一欧拉积分第一欧拉积分 )性质性质2 (余元公式余元公式)( 0 t 1 )可知当可知当 时时 , 有有即即解解例例计算计算 反复利用性质反复利用性质1 , 得得即即解解例例证明证明: Poisson ( 泊松泊松) 积分积分令令则有则有高高等等数数学学研研究究性性小小课课题题:函函数数与与其其原原函函数数之之间间的的几几何何性性质质比比较较及及其其应应用用
