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1、第第2 2章章 资金的时间价值及等值计算资金的时间价值及等值计算2.1 2.1 资金的时间价值资金的时间价值2.2 2.2 资金等值计算资金等值计算 鄂尔多斯人民的幸福生活：鄂尔多斯人民的幸福生活： 人均人均GDPGDP超过香港？超过香港？ 民间融资个人个人 投资公司投资公司 煤老板煤老板 中介中介2.1 2.1 资金的时间价值资金的时间价值 （Time Value of MoneyTime Value of Money） 一、资金的时间价值概念 资金的价值既体现在额度上，同时也资金的价值既体现在额度上，同时也体现在发生的时间上。体现在发生的时间上。 例例：有一个公司面临两个投资方案有一个公司
2、面临两个投资方案A，B，寿命，寿命期都是期都是4年，初始投资也相同，均为年，初始投资也相同，均为10000元。实元。实现利润的总额也相同，但每年数额不同，具体数现利润的总额也相同，但每年数额不同，具体数据见下表：据见下表：年末年末A方案方案B方案方案0-10000-10000170001000250003000330005000410007000资金的时间价值：资金的时间价值： 资金在周转使用过程中由于资金在周转使用过程中由于时间因素而形成的价值时间因素而形成的价值差额差额。资金时间价值如何度量？资金时间价值如何度量？例如：社会总体资金例如：社会总体资金 具体资金具体资金二、现金流量图（cas
3、h flow diagram）现金流出量现金流出量：项目所需的项目所需的各种费用各种费用，例如投资、例如投资、成本等成本等现金流量现金流量（cash flowcash flow）：）：由许多次投入（支出）由许多次投入（支出）和产出（收入）按时间顺序构成的动态序量和产出（收入）按时间顺序构成的动态序量 现金流入量：项目带来的各种收入，例如销售收入、利润等收 支disbursement receiptsP01234n-1n年例例：现金流量图现金流量图：把各个支付周期的现金流量绘入一个时把各个支付周期的现金流量绘入一个时间坐标图中间坐标图中现金流量图的观点：现金流量图的观点：1262010001 2
4、34借款人 收入支出支出100012624贷款人 0123收入例：2.2 2.2 资金等值（Equivalent Value）计算 一、一、折现的概念现在值（现在值（Present Value 现值）：现值）： 未来时点上的资金折现到现在时点的资金价值。 将来值（将来值（Future Value 终值）：终值）：与现值等价的未来某时点的资金价值。折现（折现（Discount 贴现）：贴现）： 把将来某一时点上的资金换算成与现在时点相等值的金额的换算过程例：定期一年存款100元，月息9.45厘，一年后本利和111.34元。这100元就是现值，111.34元是其一年后的终值。终值与现值可以相互等价
5、交换，把一年后的111.34元换算成现在的值100元的折算过程就是折现： 1=+=1PFni=+111.3412 0.00945100利率（Interest Rate）：一定时间（年、月）所得到的利息额与原资金额（本金）之比，通常用百分数表示二、二、利息的概念利息（Interest）：资金通过一定时间的生产经营活 动以后的增值部分或投资的收益额 存款利率存款利率贷款利率贷款利率1 1年年3.253.256 62 2年年4.754.756.156.153 3年年4.254.256.46.45 5年年4.754.756.556.55计息周期（Interest Period）：计算利息的时间单位 付
6、息周期：在计息的基础上支付利息的时间单位 二、二、利息的概念三、单三、单利和复利单利（Simple Interest）：只计本金利息，而利息 不计利息。 P本金 n计息期数 i利率 I利息总额 F本利和 ()FPniPI=+=+1IP=ni例：第0年末存入1000元，年利率6，4年末可取多少钱？ 124010006%=60118010006%=60112010006%=60106010006%=601000043210年末本利和年末本利和年末利息年末利息年年末末I100046240 F10002401240 复利（Compound interest）：除本金以外，利息也计算下个计息期的利息，即
7、利滚利。 1262.481191.026%=71.461191.021123.606%=67.421123.6010606%=63.60106010006%=601000043210年末本利和年末本利和年末利息年末利息年年末末上例上例上例上例：本金越大，利率越高，年数越多时，两者差距就越大。 利率的构成及应用利率的构成及应用 1：名义利率 2：实际利率 利率的构成及应用利率的构成及应用名义利率名义利率=实际利率实际利率+通胀补偿率通胀补偿率+风险补偿率风险补偿率不同复利间隔期利率的转换不同复利间隔期利率的转换1：名义利率、有效年利率及期间利率：名义利率、有效年利率及期间利率 名义利率指经济合同
8、中的标价（报价）利率，一般用rN表示； 有效年利率（Effective Annual Rate ， EAR）指考虑一年中复利计息次数后的实际利率，一般用rE表示； 期间利率等于名义年利率除以一年中复利计息的次数。若用m表示一年中复利计息的次数，则期间利率等于 rN / m。例：例：某人从银行借了某人从银行借了10万元，年利率万元，年利率10%，每半年付，每半年付息一次，问三年末的本利和是多少，有效年利率是多息一次，问三年末的本利和是多少，有效年利率是多少？少？一次支付终值公式；一次支付终值公式；一次支付现值公式；一次支付现值公式；等额支付系列终值公式；等额支付系列终值公式；等额支付系列偿债基金
9、公式；等额支付系列偿债基金公式；等额支付系列资金回收公式；等额支付系列资金回收公式；等额支付系列现值公式；等额支付系列现值公式；等差支付系列终值公式；等差支付系列终值公式；等差支付系列现值公式；等差支付系列现值公式；等差支付系列年值公式；等差支付系列年值公式；等比支付系列现值与复利等比支付系列现值与复利公式公式 以复利计算的资金等值计算公式以复利计算的资金等值计算公式符号定义符号定义： P 现值 F 将来值 i 年利率 n 计息期数 A 年金（年值）Annuity计息期末等额发生的 现金流量 G 等差支付系列中的等差变量值Arithmetic Gradient g 等比系列中的增减率Geome
10、tric 一次支付终值公式一次支付终值公式一次支付终值公式一次支付终值公式0 1 2 3 . n-1 n年F=?P公式推导： 设年利率i 年年 末末 年末利息年末利息 年末本利和年末本利和 0123n F = P(1+i)n(1+i)n =（F/P，i，n）_一次支付终值系数（Compound amount factor , single payment）即n年后的将来值为： = P（F/P，i，n）例例： 某工程现向银行借款某工程现向银行借款100100万元，年利率为万元，年利率为10%10%，借期借期5 5年，一次还清。问第五年末一次还银行本利年，一次还清。问第五年末一次还银行本利和是多少
11、和是多少? ?或 F = P（F/P，i，n） F = P(1+i)n=（1+10%）5 100=161.05（万元）解：= 100（F/P，10%，5）(查复利表）= 100 1.6105= 161.05（万元） 一次支付现值公式一次支付现值公式一次支付现值公式一次支付现值公式P = F(1+i)-n0 1 2 3 . n-1 n 年FP =？(1+i)-n =（P/F，i，n） 一次支付现值系数（Present Worth Factor, Single Payment） = F（P/F，i，n）例：例： 某企业拟在今后第某企业拟在今后第5 5年末能从银行取出年末能从银行取出2020万万元购
12、置一台设备，如年利率元购置一台设备，如年利率10%10%，那么现应存入，那么现应存入银行多少钱？银行多少钱？ 解解:P = 20 0 .6209 = 12.418（万元）= 20 （1+10%）-5 等额支付系列终值公式等额支付系列终值公式等额支付系列终值公式等额支付系列终值公式 A A A . . A A 0 1 2 3 . n-1 n年F=?FAAAA=+)(i+1)(i+1()i+1n-2n-1L(1+i)n -1i即即=（F/A，i，n） 等额支付系列终值系数（compound amount factor,uniform series） = AF(1+i)n -1i= A（F/A，i，
13、n） 某厂连续某厂连续3 3年，每年末向银行存款年，每年末向银行存款10001000万元，万元，利率利率10%10%，问，问3 3年末本利和是多少？年末本利和是多少？例：解解: F(1+0.1)3 -10.1= 1000= 3310（万元）例题（年金终值）例题（年金终值） 某银行开展零存整取业务，月利率1%，若每月月初存入1000元，两年后本利和为多少？例题（年金终值）例题（年金终值） 某人希望以某人希望以8%的年利率，按每半年付款一次的方的年利率，按每半年付款一次的方式，在式，在3年内偿还现有的年内偿还现有的6000元债务，问每次应偿还多元债务，问每次应偿还多少钱？少钱？例题（年金终值）例题
14、（年金终值） 一农户购置了一台新收割机。他估计新机器头两一农户购置了一台新收割机。他估计新机器头两年不需要维修，从第年不需要维修，从第3年末开始的年末开始的10年中，每年需要支年中，每年需要支付付200元维修费，若折现率为元维修费，若折现率为3%，问，问10年维修费的现年维修费的现值为多少？值为多少？ 等额支付系列偿债（积累）基金公式等额支付系列偿债（积累）基金公式等额支付系列偿债（积累）基金公式等额支付系列偿债（积累）基金公式(1+i)n -1iA A A . A A=？0 1 2 3 . n-1 n年F =（A/F，i，n） 等额支付系列偿债基金系数 （Sinking Fund Facto
15、r） =(1+i)n -1iA= F（A/F，i，n）F 某工厂计划自筹资金于某工厂计划自筹资金于5 5年后新建一个基年后新建一个基本生产车间，预计需要投资本生产车间，预计需要投资50005000万元。年利率万元。年利率5%5%，从现在起每年年末应等额存入银行多少钱，从现在起每年年末应等额存入银行多少钱? ?例：解解: A= F (1+i)n -1i= 5000(1+5%)5 -15%= 50000.181= 905（万元） 等额支付系列资金回收（恢复）公式等额支付系列资金回收（恢复）公式等额支付系列资金回收（恢复）公式等额支付系列资金回收（恢复）公式图图2-5 2-5 等额支付系列资金回收现
16、金流量图等额支付系列资金回收现金流量图0 1 2 3 . n-1 n 年PA A A . ？=A AF=（A/P，i，n）_资金回收系数 （capital recovery factor） (1+i)n -1i (1+i)n 而于是= P（A/P，i，n）i=(1+i)n -1A(1+i)n P 某工程项目一次投资某工程项目一次投资3000030000元，年利率元，年利率8%8%，分分5 5年每年年末等额回收，问每年至少回收多少年每年年末等额回收，问每年至少回收多少才能收回全部投资才能收回全部投资? ?例：解：解：A=P(1+i)n 1 i (1+i)n =(1+0.08)5 -10.08(1
17、+0.08)530000 = 7514（元） 某某新新工工程程项项目目欲欲投投资资200万万元元，工工程程1年年建建成成，生生产产经经营营期期为为9年年，期期末末不不计计算算余余值值。期期望望投投资资收收益益率率为为12，问问每每年至少应等额回收多少金额？年至少应等额回收多少金额？例例：023456789101PA万元万元 等额支付系列现值公式等额支付系列现值公式等额支付系列现值公式等额支付系列现值公式 P(1+i)n -1i (1+i)n 0 1 2 3 . n-1 n年P=？A A A . A A= A（P/A，i，n）=（P/A，i，n） 等额支付系列现值系数 （Present Wort
18、h Factor,Uniform Series） =(1+i)n -1i (1+i)n A 某项目投资，要求连续某项目投资，要求连续1010年内连本带利全年内连本带利全部收回，且每年末等额收回本利和为部收回，且每年末等额收回本利和为2 2万元，万元，年利率年利率10%10%，问开始时的期初投资是多少？，问开始时的期初投资是多少？例：解：解： P = 2 （10%，10P/A，）= 12.2892（万元）复利和折现的实际应用复利和折现的实际应用:证券估值证券估值 债券估价债券估价 债券及特征 债券是债务人发行的，承诺向债权人定期支付利息和偿还本金的一种有价证券，发行债券是公司筹措资金的一种重要方
19、式之一。 债券作为一种有价证券，有以下三个基本要素：债券面值 、票面利率 、债券期限。 从投资者角度看债券具有以下四个特征：收益性（利息+资本收益）、返还性 、流动性（及时转化为现金的能力） 、风险性（债券收益的不确定性）。 1、债券的定价、债券的定价现金流折现的定价思想现金流折现的定价思想 任何资产的价值等于该资产未来现金流按合适折现率折为现值之和。计算公式计算公式例题例题：某债券面值1000元，期限4年，票面利率10%，若市场利率为12%，求该债券的价值。 1、债券的定价、债券的定价例题例题：某债券面值1000元，票面利率10%，每半年付息一次，期限3年。若市场利率为12%，求该债券的价值
20、。 2、股票的定价、股票的定价股票的含义股票的含义 股票是一种有价证券，是股份有限公司公开发行的、用以证明投资者的股东身份和权益并据以获得股息和红利的凭证。 股票持有者的权力：红利分配权；剩余财产分配权；投票权。 股票持有者的责任：有限责任。（一）股票的定价（一）股票的定价股息折现法股息折现法 股息折现法的思路： 现值分析是以普通股收到的未来现金流通过适当的折现率返回本期，折现率不仅反映货币的时间价值而且反映现金流的风险。 计算公式为：计算公式为：（二）固定成长股票（二）固定成长股票（constant growthconstant growth） 股利以固定的比例股利以固定的比例g g增长，则
21、未来第增长，则未来第t t期的预期股利期的预期股利D Dt t=D=D0 0（1+g1+g）t t，根据股票估价一般模型则有：，根据股票估价一般模型则有： D D1 1 D D2 2 D D3 3 P= P= + + + + （ 1+K1+K） （1+K1+K）2 2 （1+K1+K）3 3 D D0 0（1+g1+g） D D0 0（1+g1+g）2 2 D D0 0（1+g1+g）3 3 = = + + + （1+K1+K） （1+K1+K）2 2 （1+K1+K）3 3 n D n D0 0（1+g1+g）t t = = （t=1t=1，2 2，3 3，） t=1 t=1 （1+K1+K
22、）t t假设假设K Kg g（这是个很合理的假设，因为若（这是个很合理的假设，因为若K Kg g，则股票价值为无穷，则股票价值为无穷大），上式可简化为：大），上式可简化为： D D1 1 P= P= K Kg g 其中：其中：D D0 0最近一期的股利最近一期的股利 D D1 1未来第一期的股利未来第一期的股利 经变化后可求出投资者要求的报酬率经变化后可求出投资者要求的报酬率 D D1 1 K= K= + g + g P P = =股利收益率股利收益率+ +资本利得收益率资本利得收益率 （三）非固定成长股票（阶段性增长（三）非固定成长股票（阶段性增长growthphases）有一些股票（例如高
23、科技企业）的价值会在短短几年内飞速增长有一些股票（例如高科技企业）的价值会在短短几年内飞速增长（甚至（甚至gK），但接近成熟期时会减慢其增长速度，即股票价值从），但接近成熟期时会减慢其增长速度，即股票价值从超常增长率到正常增长率（固定增长）之间有一个转变。这种非固定超常增长率到正常增长率（固定增长）之间有一个转变。这种非固定成长股票价值的计算，可按下列步骤进行：成长股票价值的计算，可按下列步骤进行：第一步：将股利的现金流量分为两部分，即开始的快速增长阶段和第一步：将股利的现金流量分为两部分，即开始的快速增长阶段和其后的固定增长阶段，先计算快速增长阶段的预期股利现值，计算公其后的固定增长阶段，先
24、计算快速增长阶段的预期股利现值，计算公式为：式为：D0（1+gt）t=（t=1，2，3，n）（1+K）t其中：其中：n n高速增长阶段的预计年数高速增长阶段的预计年数 g gt t高速增长阶段第高速增长阶段第t t期的预计股利增长率，期的预计股利增长率，g gt t可以逐可以逐 年变化，也可以固定。年变化，也可以固定。 第二步：采用固定增长模式，在高速增长期末（第二步：采用固定增长模式，在高速增长期末（n期）即固定增长开始时，期）即固定增长开始时，计算股票价值，并将其折为现值，计算公式为：计算股票价值，并将其折为现值，计算公式为：1Dn+1（1+K）nKg第三步：将以上两步求得的现值相加就是所
25、求的股票内在价值，计算公第三步：将以上两步求得的现值相加就是所求的股票内在价值，计算公式为：式为：D0（1+gt）t1Dn+1P=+（1+K）t（1+K）nKg（t=1，2，3，n） 例：例：ASAS公司由于研制出一种新药，现在每股股利公司由于研制出一种新药，现在每股股利D D0 0为为1.41.4元，在以后的元，在以后的3 3年中，股利以年中，股利以13%13%的速度高的速度高速增长，速增长，3 3年后以固定股利年后以固定股利7%7%增长，股东要求的增长，股东要求的收益率为收益率为15%15%。计算。计算ASAS公司股票价值。公司股票价值。第一、计算高速增长阶段预期股利现值，如表第一、计算高
26、速增长阶段预期股利现值，如表21所示：所示：表表21t第第t年股利年股利PVIF15%,t股利现值股利现值11.41.3=1.580.8701.374621.41.32=1.790.7561.353231.41.33=2.020.6581.32921.4(1+13%)t高速增长阶段预期股利现值高速增长阶段预期股利现值=（1+15%）t=1.3746+1.3532+1.3292=4.05696第二、先计算第三年末时的股票内在价值：第二、先计算第三年末时的股票内在价值：D4D3（1+g）P3=KgKg2.02(1+7%)=27.017515%7%然后将其贴现至第一年年初的现值为：然后将其贴现至第一
27、年年初的现值为：P327.0175=(1+K)3（1+15%）3=27.0175PVIF15%,3=17.7775 1Dn+11D4=（1+K）nKg（1+15%）315%7%=17.7775第三、将上述两步计算结果相加，就是第三、将上述两步计算结果相加，就是AS公司股票内在价值公司股票内在价值PO=.05696+17.7775=21.83从超常股利增长率向固定股利增长率的转变可能要经过更多的阶段，从超常股利增长率向固定股利增长率的转变可能要经过更多的阶段，即比上述的两阶段要多。即比上述的两阶段要多。复利和折现的实际应用复利和折现的实际应用 一般还款方式：到期一次性还本付息；每年付息一般还款方
28、式：到期一次性还本付息；每年付息到期还本；每年本金等额偿还、利息按贷款余额计算到期还本；每年本金等额偿还、利息按贷款余额计算偿还；每年等额偿还本金利息和。偿还；每年等额偿还本金利息和。例题：某公司从银行借入例题：某公司从银行借入10万元，年利率万元，年利率10%，每年等额偿还本金利息和，五年还清。问第二年的还每年等额偿还本金利息和，五年还清。问第二年的还款中本金和利息各为多少？款中本金和利息各为多少？复利和折现的实际应用复利和折现的实际应用例题：某研究生计划从银行借入例题：某研究生计划从银行借入1万元，年利率万元，年利率12%，半年计息一次。这笔借款在四年内分期等额摊，半年计息一次。这笔借款在
29、四年内分期等额摊还，每半年还款一次。第一次还款是从今年起的还，每半年还款一次。第一次还款是从今年起的6个月个月后。问：后。问：1)贷款的实际年利率是多少？贷款的实际年利率是多少？2)计算每半年应付的偿还额。计算每半年应付的偿还额。3)计算第二个半年还款中本金和利息各为多计算第二个半年还款中本金和利息各为多少？少？复利和折现的实际应用复利和折现的实际应用例题：某人从银行借入例题：某人从银行借入10万元，年利率万元，年利率12%，每，每月等额偿还本金利息和，月等额偿还本金利息和，30个月还清。问：个月还清。问：10个月后个月后该人想将余款一次性付清，应还多少？该人想将余款一次性付清，应还多少？复利
30、和折现的实际应用：保险复利和折现的实际应用：保险0 1 2 3 4 5 n-1 nF (n-1)G (n-2)G 4G 3G G 2G 年P7. 7. 7. 7. 等差支付系列终值公式等差支付系列终值公式等差支付系列终值公式等差支付系列终值公式 为等差支付系列复利系数（compound amount factor, arithmetic gradient） 记即 等差支付系列现值系数(arithmetic gradient to present worth )= 8. 8. 8. 8. 等差支付系列现值公式等差支付系列现值公式等差支付系列现值公式等差支付系列现值公式已知某机床售价40000元，
31、可使用10年，不计算残值。据估算第一年维修费为1000元，以后每年按300元递增，i15，求该机床所耗费的全部费用的现值。 例： 0 1 2 3 8 9 10 年1000 1300 1600 3100 3400 370040000该公式是把等差支付系列换算成等额支付系列 9. 9. 9. 9. 等差支付系列年值公式等差支付系列年值公式等差支付系列年值公式等差支付系列年值公式=记等差支付系列年值系数（arithmetic gradient conversion factor） 即某厂第一年年末销售利润额为50万元，预测在以后4年每年将递增10万元，年利率为10，如果换算成5年的等额支付系列，其年
32、值是多少？ 例：解： （万元）0 1 2 3 4 n-1 n A A(1+g) A(1+g)2A(1+g)3 A(1+g)n-2 A(1+g)n-110. 10. 10. 10. 等比支付系列现值与复利公式等比支付系列现值与复利公式等比支付系列现值与复利公式等比支付系列现值与复利公式现金流公式： t=1,n 其中g为现金流周期增减率。经推导，现值公式为： 记=等比支付系列现值系数（geometric gradient to present worth ）复利公式： =记某厂投入32000元增添一套生产设备，预计第一年产品销售额可增加20000元，以后逐年年收入增加率为7，计划将每年收入的10按
33、年利率5存入银行，问10年后这笔存款可否换回一套新设备？解： 例：0 1 2 3 10 年2000 2000 (1+0.07) 2000(1+0.07)932000元 （元）（元）所以10年后可以换一台新设备。 五、五、资金等值计算资金等值：资金等值：在同一系统中不同时点发生的相关资金，数额不等但价值相等，这一现象即资金等值。决定资金等值的因素有三个：决定资金等值的因素有三个： 资金的金额大小资金的金额大小 资金金额发生的时间资金金额发生的时间 利率的大小利率的大小性质性质：如果两个现金流量等值，则它们在任何时间如果两个现金流量等值，则它们在任何时间折算的相应价值必定相等。折算的相应价值必定相
34、等。按单利计算，相当于只计息不付息，例：存款100元，每月计息一次，月利率为1，求一年后的本利和。解： 按复利计算，相当于计息且付息，m =12六、名义利率、实际利率与连续利率 i = 12.68% （实际利率） （名义利率） m（一年内的）计息期数 名义利率实际利率其中实际计息期利率按复利计算一年内的利息额与原始本金的比值，即如何根据名义利率计算实际利率呢？ 又当 时当m = 1时当m 1时即为按连续复利计息计算 i = ri r七、（复利）资金等值计算的几种情况 在工程经济分析的实践中，有时计息周期是小于一年的，如季、半年、月、周、日等，这时根据支付周期与计息周期的关系可分为三种情况来进行
35、分析。 计息周期：计息周期：某某时间计息一次，表明计息且付息，即按复利计算某某时间计息一次，表明计息且付息，即按复利计算支付周期：支付周期：指现金流量的发生周期，亦称支付期。指现金流量的发生周期，亦称支付期。(一)计息周期等于支付期的情况设年利率12，每季计息一次，从现在起三年内以每季末200元的等额值支出，问与其等值的终值是多少。例：解：计息周期利率计息期数0 1 2 3 4 8 12（季度） 1年 2年 3年200有人目前借入2000元，在今后2年中分24次偿还。每次偿还99.80元，复利按月计算，试求月实际利率、年名义利率和年实际利率。例：即 解：年实际利率 查表可得 月实际利率年名义利
36、率(二)计息期小于支付期的情况例：某人每半年存入银行500元，共三年，年利率8，每季复利一次，试问3年底他的帐户总额。0 1 2 3 4 5 6（半年）5000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12（季）方法一：先求计息期实际利率，再进行复利计算： 计息周期总数为12（季）每季复利一次，则季实际利率方法二：把每个支付周期期末发生的现金流换算为以计息期为基础的等额系列，再求复利和：方法三：先求支付周期的实际利率，再以支付期为基础进行复利计算：计息期间的存款应放在期末，而计息期间的提款应放在期初。 每季度计息一次，年利率8，求年底帐户总额。 例：250400100存款提款1001000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12（月） (二)计息期大于支付期的情况解：按上述原则，现金流量图可改画为：10025040010020001234季度300八、连续复利1.连续复利（公式）系数现金流是离散的，复利是连续的，即例如：令则有同理 此时现金流也是连续的，计算公式虽然较复杂，但在某些情况下，可能也是符合工程项目资金活动实际的。关键是现金流量的数学表达。 2.连续现金流量的连续复利计算本章总结本章总结
