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1、1第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例变换的应用及综合举例三三、利用利用 Matlab 实现实现 Laplace 变换变换 一、一、求解常微分方程求解常微分方程( (组组) ) 二、二、综合举例综合举例 *2第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 一、一、求解常微分方程求解常微分方程( (组组) ) 步骤步骤 得到象函数得到象函数求求解解微分方程微分方程( (组组) )象函数的象函数的代数方程代数方程( (组组) )Laplace正变换正变换微分方程微分方程( (组组) )的解的解Lapla
2、ce逆变换逆变换(1) 将将微分方程微分方程( (组组) )化为象函数的代数方程化为象函数的代数方程( (组组) )； (2) 求解代数方程得到象函数；求解代数方程得到象函数； (3) 求求 Laplace 逆变换得到逆变换得到微分方程微分方程( (组组) )的的解。解。 工具工具 3第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 对方程两边取对方程两边取 Laplace 变换，有变换，有 (2) 求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 解解 (1) 令令 代入初值即得代入初值即得 P218 例例9.6 4第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举
3、例 对方程两边取对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 (2) 求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 解解 (1) 令令 求解此方程得求解此方程得 5第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 解解 (1) 令令 求求解得解得 整理得整理得 P229 例例9.19 6第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 解解 (1) 令令 求求解得解得 (2) 求求 Laplace 逆变换，逆变换，得得 7第九章 拉普拉斯变换 9.4 La
4、place 变换的应用及综合举例 对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 解解 (1) 令令 求求解得解得 (2) 求求 Laplace 逆变换，逆变换，得得 8第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 如图，如图， 解解 由于由于 利用利用线性性质线性性质及及延迟性质延迟性质有有 1 1 函数函数 可写为可写为 二、二、综合举例综合举例 P231 例例9.21 9第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 对方程两边取对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值有变换，并代入初值有 解解 (1)
5、令令 (2) 求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 10第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 对方程两边取对方程两边取 Laplace 变换有变换有 (2) 求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 解解 (1) 令令 11第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 整理得整理得 对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 解解 (1) 令令 求解得求解得 12第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 解解 (1) 令令 求解得求解得 (2) 求求 Laplace 逆
6、变换，逆变换，得得 13第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 解解 (1) 令令 14第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 解解 (1) 令令 (2) 求求 Laplace 逆变换，逆变换，得得 15第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 (2) 令令 (3) 求求 Laplace 逆变换，逆变换，得得 解解 (1) 由于由于 因此原方程为因此原方程为 在方程两边取在方程两边取 Laplace 变换得变换得 P232 例例9
7、.24 ( (跳过跳过?)?)16第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 求求 Laplace 逆变换，得物体的运动方程为逆变换，得物体的运动方程为 根据根据 Newton 定律有定律有 解解 设物体的运动方程为设物体的运动方程为 在方程两边取在方程两边取 Laplace 变换得变换得 令令 P230 例例 9.20 17第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 求解此方程得求解此方程得 求求Laplace逆变换，得逆变换，得 设有如图所示的设有如图所示的 R 和和 L 串联电路，在串联电路，在 时刻接到直流时刻接到直流 例例 K E L
8、R 电势电势 E 上，求电流上，求电流 由由 Kirchhoff 定律知，定律知， 解解 满足方程满足方程 在方程两边取在方程两边取 Laplace 变换得变换得 令令 P233 例例9.25 18第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 解解 (1) 由由 Newton 定律及定律及 Hooke 定律有定律有 即物体运动的微分方程为即物体运动的微分方程为 位置位置 处开始运动，处开始运动， 的外力为的外力为 。 例例 质量为质量为 m 的物体挂在弹簧系数为的物体挂在弹簧系数为 k 的弹簧一端的弹簧一端( (如图如图) ) 若物体自静止平衡若物体自静止平衡 求该物体求
9、该物体 的运动规律的运动规律 ，作用在物体上，作用在物体上 ( (跳过跳过?)?)19第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 解解 (1) 对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 (2) 令令 记记 有有 当当 具体给出时，即可以求的运动方程具体给出时，即可以求的运动方程 并利用卷积定理有并利用卷积定理有 (3) 由由 20第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 解解 利用卷积定理有利用卷积定理有 当当 具体给出时，即可以求的运动方程具体给出时，即可以求的运动方程 (3) 由由 此时此时 可见，
10、在冲击力的作用下，运动为正弦振动，可见，在冲击力的作用下，运动为正弦振动， 振幅为振幅为 角频率为角频率为 称称 为该系统的为该系统的自然频率自然频率或或固有频率固有频率。 设物体在设物体在 时受到冲击力时受到冲击力 例如例如 A 为常数。为常数。 21第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 在数学软件在数学软件 Matlab 的符号演算工具箱中，提供了专用函数的符号演算工具箱中，提供了专用函数 来进行来进行 Laplace 变换与变换与 Laplace 逆变换。逆变换。 (1) F = laplace ( f ) 对函数对函数 f ( t ) 进行进行 Lapla
11、ce 变换，变换， 三三、利用利用 Matlab 实现实现 Laplace 变换变换 * 对并返回结果对并返回结果 F ( s )。 (2) f = ilaplace ( F ) 对函数对函数 F ( s ) 进行进行 Laplace 逆变换，逆变换， 对并返回结果对并返回结果 f ( t )。 补补 ( (跳过跳过?)?)22第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 解解 Matlab 程序程序 clear; syms t; f = t*exp(- -3*t)*sin(2*t); F = laplace(f)； F=4/(s+3)2+4)2*(s+3) 输出输出 求
12、函数求函数 的的 Laplace 变换。变换。 例例 即即 23第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 解解 Matlab 程序程序 clear; syms t; f = sin(t)/t; F = laplace(f); 其中，其中， atan 为为反正切函数。反正切函数。 F=atan(1/s) 输出输出 求函数求函数 的的 Laplace 变换。变换。 例例 即即 24第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 解解 Matlab 程序程序 clear; syms s; F=(s2+2*s+1)/(s2-2*s+5)/(s-3); f
13、= ilaplace(F); 其中，其中， exp为为指数函数。指数函数。 f = 2*exp(3*t)-exp(t)*cos(2*t)+exp(t)*sin(2*t) 输出输出 求函数求函数 的的 Laplace 逆变换。逆变换。 例例 即即 25第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 解解 Matlab 程序程序 clear; syms s; F = exp(-s)/(s-1); f = ilaplace(F); 求函数求函数 的的 Laplace 逆变换。逆变换。 例例 f = Heaviside(t-1)*exp(t-1) 输出输出 其中，其中， Heaviside为为单位阶跃函数单位阶跃函数即即 26第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 休息一下
