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1、第一章第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象研究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥梁函数与极限函数与极限（Function & Limit） :掌握初等函数的概念掌握初等函数的概念,并会判断并会判断:极限的概念极限的概念,左右极限的概念左右极限的概念,会求一个函数在会求一个函数在某点的极限某点的极限,分段函数的左右极限分段函数的左右极限;:两个重要极限两个重要极限:无穷小量无穷小量,无穷大量的概念无穷大量的概念,等价无穷小量及其运算性等价无穷小量及其运算性质质,同阶无穷小量同阶无穷小量,高阶无穷小量高阶无穷小量,低阶无穷小量的概念低阶无穷小量的概念:掌握连续的概念掌
2、握连续的概念,初等函数的连续性初等函数的连续性,并会并会利用连续性求极限利用连续性求极限初等函数初等函数(1) 基本初等函数基本初等函数常函数、幂函数、常函数、幂函数、指数函数、指数函数、对数函数、对数函数、三角函数、三角函数、反三角函数反三角函数(2) 初等函数初等函数由六类基本初等函数由六类基本初等函数否则称为否则称为非初等函数非初等函数 . 并可用并可用一个式子一个式子表示的函数表示的函数 ,经过经过有限次有限次四则运算和复合步四则运算和复合步骤所构成骤所构成 ,称为称为初等函数初等函数 .推论推论:左右极限不存在或左右极限存在不相等左右极限不存在或左右极限存在不相等给定函数给定函数讨论
3、讨论 时时的极限是否存在的极限是否存在 . 解解: 利用定理利用定理 3 . 因为因为显然显然所以所以不存在不存在 .结论结论（a00，b00，m,n0).解：解： 1）m=n, 原式原式2）mn, 原式原式3）mn，原式，原式=.可见可见 , 函数函数在点在点一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:在在的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , 则称函数则称函数(1) 在点在点即即(2) 极限极限(3)设函数设函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;且且有定义有定义 ,存在存在 ;初等函数的连续性初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续
4、连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连续连续例如例如,的连续区间为的连续区间为(端点为单侧连续端点为单侧连续)一元初等函数在其定义域内连续，其图形是一条连续不断一元初等函数在其定义域内连续，其图形是一条连续不断的曲线；的曲线；两个重要极限两个重要极限说明利用复合函数求极限的运算法则说明利用复合函数求极限的运算法则此结论可推广到此结论可推广到例例. 求求解解: 令令则则说明说明 ：若利用若利用则则 原式原式一、一、 无穷小无穷小（极限为（极限为0的量）的量）定义定义1 . 若若时时, 函数函数
5、则称函数则称函数为为时的时的无穷小量无穷小量(dimensionless)，简称无穷小，简称无穷小 .二二:无穷大量的概念无穷大量的概念三三:无穷大量与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系根据无穷小量的定义以及极限的定义和运算法则，可以证根据无穷小量的定义以及极限的定义和运算法则，可以证明无穷小量有如下性质：明无穷小量有如下性质：性质性质1 有限个无穷小量的和、差、积以及常数与无穷小量的乘有限个无穷小量的和、差、积以及常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。积仍为无穷小量。性质性质2 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。 定义定义.若若则称则称 是比是比 高
6、阶高阶的无穷小的无穷小,若若若若若若或或设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,记作记作则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小的无穷小;则称则称 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小;则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小, 记作记作若若例如例如 , 若若或或则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小, 记作记作时时当当结合复合函数求极限的性质结合复合函数求极限的性质,我们有我们有利用等价无穷小量来计算极限利用等价无穷小量来计算极限第二章微分学第二章微分学掌握掌握:导数的概念导数的概念,导数的几何意义导数的几何意义基本初等函数的求导公式基本初等函数的求导公式微分的概念微分的概
7、念,求函数的微分求函数的微分利用洛必达法则求极限利用洛必达法则求极限利用导数判断函数的单调区间利用导数判断函数的单调区间,判断极值的两个充判断极值的两个充分条件分条件,驻点的概念驻点的概念导数的定义导数的定义定义定义1 . 设函数设函数在点在点存在存在,并称此极限为并称此极限为记作记作:即即则称函数则称函数若若的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , 在点在点处处可导可导, 在点在点的的导数导数. 右导数右导数:左导数左导数: 单侧导数单侧导数定理定理. 函数函数在点在点且且可导的可导的充分必要条件充分必要条件是是存在存在二、二、 导数的几何意义导数的几何意义曲线曲线在点在点的切线斜率为的切线斜率
8、为若若切线与切线与 x 轴垂直轴垂直 .曲线在点曲线在点处的处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:几何意义：几何意义：2024/7/25三、四则运算求导法则 定理定理1.的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且2024/7/25例. 求证求证证证: 类似可证:2024/7/25四、反函数的求导法则 2024/7/25在点 x 可导,五、复合函数求导法则定理定理3.在点可导复合函数且在点 x 可导,2024/7/25例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形此法则可推广到多个中间变量的情形.2024/7/25求解解:
9、2024/7/25六:隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数 ,隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则；直接对方程两边用复合函数求导法则；直接对方程两边求导求导.函数为隐函数隐函数 （implicit function ）.则称此隐函数求导方法求导方法: 两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )(含导数 的方程)2024/7/25例. 求求的导数 . 解解: 两边取对数 , 化为隐式两边对 x 求导七:取对数的求导2024/7/25二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用第三节第三节一、微分的概念及几何意义一、微分的概念及几何
10、意义 函数的微分2024/7/25的微分微分,定义定义2.7: 若函数若函数在点 的增量可表示为( A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数)则称函数而 称为记作即在点可微可微,2024/7/25定理 : 函数函数在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导, 且即2024/7/251. .基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式dc =微分的基本公式及其运算法则微分的基本公式及其运算法则0.dx = x - -1dx.dex =exdx.dax = axlnadx.dsin x = cos xdx.dcos x = - - sin xdx.dtan x = sec2 xdx.dcot x
11、=- - csc2 xdx.dsec x =sec xtan xdx.dcsc x =- - csc xcot xdx.2024/7/252024/7/25三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式导数的应用导数的应用洛必达法则 2024/7/25一、存在 (或为 )定理定理1 型未定式型未定式(洛必达法则) 2024/7/25二、型未定式型未定式存在 (或为)定理定理 2.(洛必达法则)2024/7/25用洛必达法则应注意的事项用洛必达法则应注意的事项只要是只要是则可一直用下去则可一直用下去; ;(3) (3) 每用完一次法则每用完一次法则, ,要将式
12、子整理化简要将式子整理化简; ;(5) (5) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限的其它性质结合使用限的其它性质结合使用. .(2) (2) 在用法则之前在用法则之前, ,式子是否能先化简式子是否能先化简; ;(4) (4) 运算过程中有非零极限因子，可先算出极限运算过程中有非零极限因子，可先算出极限; ;2024/7/25三、其他未定式:解决方法解决方法:通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化例例. 求解解: 原式洛洛2024/7/25通过通过将三种不定式转化为将三种不定式转化为0.型。型。例例解解2024/7/25练习练习解解2024/7/25第三
13、节第三节 函数的单调性函数的单调性 与极值与极值一、单调性的判别法二、函数的极值及其求法2024/7/25确定某个函数单调性的一般步骤是确定某个函数单调性的一般步骤是：（1）确定函数的定义域确定函数的定义域。这些点为分界点，将定义域分为若干个区间这些点为分界点，将定义域分为若干个区间。（3）确定）确定在各个子区间内的符号，从而判断在各个子区间内的符号，从而判断2024/7/25定理 1 (极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1) “左左正正右右负负” ,(2) “左左负负右右正正” ,(3) 的符号保持不变的符号保持不变,2024/7/25求极值的步骤求极值的步骤: :( (不是极值点情形
14、不是极值点情形) )2024/7/25定理定理4(4(第二充分条件第二充分条件) )第三章积分学第三章积分学:原函数的概念原函数的概念;:不定积分的概念不定积分的概念;:会用换元积分法会用换元积分法,分部积分法分部积分法;:定积分的概念定积分的概念,性质性质,几何意义几何意义;:微积分基本公式微积分基本公式;:定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法;2024/7/25一、 原函数与不定积分的概念定义定义3. 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)满足在区间 I 上的一个原函数 .则称 F (x) 为f (x) 存在原函数 . 定理定理 2024
15、/7/25定义3. 2. 在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中若则( C 为任意常数 )C 称为积分常数积分常数,不可丢不可丢 !记作2024/7/25(2)（4）（3）不定积分与导数的关系2024/7/25基基本本积积分分表表是常数是常数);2024/7/25不定积分不定积分掌握第一类,第二类换元法;掌握分部积分法2024/7/25第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法）说明：使用此公式的目的在于化难为易定理定理1 1难难易易2024/7/25常用的几种配元形式: 2024/7/25例 求求解解: 原式 =2024/7/25定理定理2 2注：注：1）保证代换）保证代换x= (t)
16、的单调连续（有反函数）；的单调连续（有反函数）；第二类积分换元公式第二类积分换元公式代换代换 x= (t)，一起换。，一起换。2024/7/25小结:1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: 令令令令令2024/7/252. 常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充 7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换倒代换 令2024/7/252024/7/25分部积分公式分部积分公式分部积分法 “ 反对幂指三反对幂指三” ）据定积分的定义，在）据定积分的定义，在a，b上连续非负函数的定积上连续非负函数的定积分总表示由分总表示由y=f(x)，x=a，x=b与与x轴围成的单曲边梯形的轴围成的
17、单曲边梯形的面积，即面积，即的几何意义是由的几何意义是由y=f(x)，x=a，x=b与与x轴围成区域的轴围成区域的代数面积代数面积）定积分是一个数，定积分是一个数，不定积分是一个函数的原函数的全体不定积分是一个函数的原函数的全体 因此，定积分和不定积分是两个完全不同的概念因此，定积分和不定积分是两个完全不同的概念定积分存在定理定积分存在定理定理定理3.4定理定理3.5且只有有限个间断点 (证明略)定积分的性质(设所列定积分都存在)则3: 若在 a , b 上( 牛顿牛顿 - 莱布尼茨公式莱布尼茨公式) 记作定理定理3.6.函数 , 则计算函数算函数在在上的定上的定积分分,就是就是计算算的任一原
18、函数在的任一原函数在上的增量上的增量.从而将计算定积分转化为求原函数从而将计算定积分转化为求原函数. 分段函数积分；与去绝对值积分分段函数积分；与去绝对值积分2024/7/25一、换元公式一、换元公式2024/7/25应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意: :(1):(2):(3):2024/7/25可得可得: 由定积分的几何意义由定积分的几何意义(面积的代数和面积的代数和)也可得也可得.奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质且有且有则则则则2024/7/25定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式二、定积分的二、定积分的分部积分分部积分法法设设有有连续的导数连续的导数,则则definite integral by parts定理定理2由不定积分的分部积分法由不定积分的分部积分法及及N-L公式公式.yxoab注注 当两条直线其中之一或两条缩为点时当两条直线其中之一或两条缩为点时, ,仍可用公式仍可用公式(1).(1).平面图形的面积平面图形的面积
