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1、 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章第三章第三章第四章第四章第五章第五章第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型1、传递函数（定义、性质、典型环节的传递函数）、传递函数（定义、性质、典型环节的传递函数）2、动态结构图（动态结构图的建立、等效变换、动态结构图（动态结构图的建立、等效变换、化简）化简）3、梅逊公式、梅逊公式4、反馈控制系统的传递函数：、反馈控制系统的传递函数：开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数多个输入时总输出和总误差以及相应的传递函数多个输入时总输出和总误差以及相应的传递函数系统结构系统结构列写微分方程组，列写微分方程组，
2、消去中间变量，消去中间变量，得到输入输出的得到输入输出的关系式关系式传递传递函数函数动态结构图动态结构图（框图）（框图）等效变换等效变换梅逊公式梅逊公式开环传开环传递函数递函数闭环传闭环传递函数递函数误差传误差传递函数递函数多个输入时总输出和总误差以及相应的传递函数多个输入时总输出和总误差以及相应的传递函数零初始条件零初始条件拉氏变换拉氏变换例例1求下图所示系统的传递函数求下图所示系统的传递函数例例2 r（t）、）、n（t）分别为给定输入和扰动分别为给定输入和扰动输入，输入，c（t）为输出，）为输出，其他为中间变量其他为中间变量 框图的等效变换和化简框图的等效变换和化简遵循的原则：遵循的原则：
3、转换前后保持信号的“等效性”。分两类：分两类：1、环节的合并（串联、并联、反馈） 2、信号的分支点或相加点的移动一般化简步骤一般化简步骤：a、先将能合并的环节合并，b、适当移动分支点或相加点，使其能再进行环节的合并分支点和相加点的移动规则总结分支点和相加点的移动规则总结分支点：分支点：前前移，移，“乘乘”越过的传函；越过的传函； 后后移，移，“除除”越过的传函；越过的传函；相加点：相加点：前前移，移，“除除”越过的传函；越过的传函； 后后移，移，“乘乘”越过的传函。越过的传函。负号在支路上的移动G(s)G(s)H(s)H(s)E(s)E(s)B(s)B(s)R(s)R(s)C(s)C(s)例例
4、3 3 简简化化下下图图所所示示多多回回路路系系统统，并并求求系系统统的的传传递函数递函数C(s)/R(s)C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)R(s)C(s)分析分析 这是一个没有交叉现象的多环系统，内回路称为局部反这是一个没有交叉现象的多环系统，内回路称为局部反馈回路，外回路称为主反馈回路。简化时不需要将分支点和相馈回路，外回路称为主反馈回路。简化时不需要将分支点和相加点作前后移动。可按简单串、并联和反馈连接的简化规则，加点作前后移动。可按简单串、并联和反馈连接的简化规则，从内部开始，由内向外逐步简化。从内部开始，由内向外逐步简化。G1(s)G2
5、(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)C(s)(a)(c)G6(s)R(s)C(s)(b)G1(s)G6(s)R(s)C(s)例例4 4 用框图等效变换法用框图等效变换法用框图等效变换法用框图等效变换法求取如下图所示系统的传递函数求取如下图所示系统的传递函数求取如下图所示系统的传递函数求取如下图所示系统的传递函数。 -解解. . 方框图变换方框图变换, , 原方框图可变换为原方框图可变换为分支点前乘后除分支点前乘后除分支点前乘后除加并联相加点前除后乘 梅逊公式 输入与输出两个节点间的总传输（或叫总增益），输入与输出两个节点间的总传输（或叫总增益），可用下面的梅逊公式来求取：可
6、用下面的梅逊公式来求取：式中式中 n ： 前向通路总条数前向通路总条数 Pk： 第第k条前向通路的传递函数条前向通路的传递函数 ： 特征式特征式 k： 在在中除去与第中除去与第k条前向通路相接触的各回路的传递函条前向通路相接触的各回路的传递函数（即将其置数（即将其置0），称为第），称为第k条前向通路特征式的余因子条前向通路特征式的余因子 La：所有回路的传递函数之和：所有回路的传递函数之和 LbLc：两两互不接触回路的传递函数乘积之和：两两互不接触回路的传递函数乘积之和 LdLeLf：三个互不接触回路的传递函数乘积之和：三个互不接触回路的传递函数乘积之和 解题步骤：一一、先分析系统有几个前向通
7、道几个回路，分先分析系统有几个前向通道几个回路，分别写出它们的传递函数；别写出它们的传递函数；二、看系统是否有互不接触的回路，是否存在二、看系统是否有互不接触的回路，是否存在前向通道和回路互不接触，从而确定特征式前向通道和回路互不接触，从而确定特征式和余因子式；和余因子式；三、利用梅逊公式计算系统的传递函数三、利用梅逊公式计算系统的传递函数例例5 用梅逊公式求其传递函数用梅逊公式求其传递函数分析：分析：2前前5回环回环一、一、 系统的开环传递函数系统的开环传递函数定义定义 反馈信号反馈信号B(s)B(s)与偏差信号与偏差信号E(s)E(s)之比，称为闭之比，称为闭环系统的开环传递函数，（简称开
8、环传递函数）。环系统的开环传递函数，（简称开环传递函数）。G(s)H(s)R(s)C(s)E(s)B(s)G (s) = B(s) / E(s) = G(s) H(s)反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数二、二、 闭环传递函数闭环传递函数 1. 1. r ( t ) 作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数令令 n ( t ) = 0r ( t ) 作作用用下下系系统统的的误差传递函数为：误差传递函数为：G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)B(s)N(s)C(s)(a)G1(s)H(s)G2(s)R(s)B(s)CR(s)(b)ER(s)在在r(t)作用下作用下系统的误
9、差输出为系统的误差输出为 在在r(t)作用下作用下系统的输出为系统的输出为 2.2.扰动扰动 n(t) 作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数令令r(t)=0 C(s)系统输出为：系统输出为：G1(s)H(s)R(s)E(s)N(s)G2(s)系统误差输出为：系统误差输出为：G1(s)G2(s)H(s)Cn(s)N(s)En(s)-1扰动误差传递函数为：扰动误差传递函数为：3 3、给定输入和扰动输入信号同时作用下的输出、给定输入和扰动输入信号同时作用下的输出系统总的输出系统总的输出C(s)为为系统总的误差输出系统总的误差输出E(s)为为常用的单位负反馈系统开环传递函数、闭环传递函数之
10、间的关系例例6 求对应框图的各类传递函数求对应框图的各类传递函数第三章 时域分析法1、时域性能指标时域性能指标2、一阶系统的时域分析（简单）、一阶系统的时域分析（简单）3、二阶系统的时域分析（欠阻尼状态下的暂态指标）、二阶系统的时域分析（欠阻尼状态下的暂态指标）4、高阶系统的时域分析、高阶系统的时域分析5、系统的稳定性分析（劳斯判据及其特殊情况）、系统的稳定性分析（劳斯判据及其特殊情况）6、稳态特性分析（给定及扰动输入作用下系统的稳、稳态特性分析（给定及扰动输入作用下系统的稳态误差）态误差）开环传开环传递函数递函数暂态性能指标暂态性能指标（利用公式）（利用公式）闭环传闭环传递函数递函数特征方特
11、征方程式程式劳斯判据劳斯判据稳定性稳定性终值定理终值定理静态误差系数法静态误差系数法框图框图（二阶系统）（二阶系统）给定信号作用下给定信号作用下扰动信号作用下扰动信号作用下定义法定义法（终值定理）（终值定理）阶跃响应的时域性能指标阶跃响应的时域性能指标 时时时时域域域域中中中中评评评评价价价价系系系系统统统统的的的的暂暂暂暂态态态态性性性性能能能能，通通通通常常常常以以以以零零初初始始条条件件 下下单位阶跃输入信号的暂态响应为依据。单位阶跃输入信号的暂态响应为依据。单位阶跃输入信号的暂态响应为依据。单位阶跃输入信号的暂态响应为依据。1. 延迟时间延迟时间td （Delay Time） ：输出响
12、应第一输出响应第一次达到稳态值次达到稳态值50%所需所需的时间。的时间。2. 上升时间上升时间tr （Rise Time） ：响应第一次达到稳响应第一次达到稳态值态值c（）的时间。）的时间。无超调时无超调时为响应从为响应从稳态值的稳态值的10%到到90%的时间。的时间。3. 峰值时间峰值时间tp （Peak Time）：响应超过稳态值响应超过稳态值c（）达到第一个达到第一个峰值（最大超调）峰值（最大超调）的时间。的时间。tr0.1C()0.9C()4. 调节时间调节时间ts （Settling Time） ：响应与稳态值之间的响应与稳态值之间的偏差达到允许范围偏差达到允许范围，并维持在此范围内
13、所并维持在此范围内所需的最小时间。需的最小时间。 通常，该偏差范通常，该偏差范围称作围称作误差带误差带，一般，一般取稳态值取稳态值c（）的的 2%或或 5%，用符号，用符号表示，即表示，即: =2%或或 =5%5. 最大超调量最大超调量响应的最大值响应的最大值 超过稳态值超过稳态值c()的的数，常用百分数数，常用百分数表示，又称百分表示，又称百分比超调，即比超调，即最大超调量最大超调量（Maximum Overshoot） 稳态性能指标稳态性能指标 稳稳态态误误差差ess：对对单单位位负负反反馈馈系系统统，当当时时间间t趋趋于于无无穷穷大大时时，系系统统对对输输入入信信号号响响应应的的实实际际
14、值值与与期期望望值值即即输输入入量量之之差差的的极极限限值值，定定义义为为稳态误差，即稳态误差，即 稳态误差是描述系统稳态性能的唯一指标，稳态误差是描述系统稳态性能的唯一指标，它反映系统复现输入信号的（稳态）精度。它反映系统复现输入信号的（稳态）精度。 在上述几项指标中，峰值时间tp、上升时间tr和延迟时间td均表征系统响应初始阶段的快慢；调节时间ts表征系统过渡过程（暂态过程）的持续时间，从总体上反映了系统的快速性；而超调量Mp标志暂态过程的稳定性；稳态误差反映系统复现输入信号的最终精度。 可用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。典型可用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。典型可用二阶微分方
15、程描述的系统称为二阶系统。典型可用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。典型二阶系统的结构图如图所示，系统的闭环传递函数为二阶系统的结构图如图所示，系统的闭环传递函数为 其中：其中： 为无阻尼自然振荡角频率，为无阻尼自然振荡角频率， 为为阻尼比阻尼比，是二阶系统两个重要参数，系统响应特性完全由这是二阶系统两个重要参数，系统响应特性完全由这两个参数决定。两个参数决定。 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析特征根特征根一对实部为负的共轭复数根一对实部为负的共轭复数根(1) (1) 欠阻尼状态欠阻尼状态(2) (2) 临界阻尼状态临界阻尼状态两个相等的负实根两个相等的负实根（3 3）过阻尼状态）过阻尼
16、状态两个不相等的负实根两个不相等的负实根(4)(4)无阻尼状态无阻尼状态一对纯虚根一对纯虚根系统的特征方程为：系统的特征方程为：系统的特征方程为：系统的特征方程为：值越小振荡性越强；值越小振荡性越强；值越大振荡性越弱值越大振荡性越弱 在在欠阻尼情况下欠阻尼情况下二阶系统的暂态性能指标二阶系统的暂态性能指标 系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为C(t)C(t)上升时间上升时间峰值时间峰值时间调节时间调节时间误差带误差带稳态误差稳态误差0 01.01.0t t控制系统性能指标控制系统性能指标超调量超调量C() (1)上升时间上升时间 (2)峰值时间峰值时间(3)超调
17、量超调量(4)调节时间调节时间例例1：如图所示的单位反馈随动系统，如图所示的单位反馈随动系统，K=16，T = 0.25s。试求（试求（1）特征参数）特征参数和和n； （2）计算计算 Mp 和和 ts ； 解（解（1 1）系统闭环传递函数为）系统闭环传递函数为 （2 2）例例2 单位反馈的二阶系统，单位反馈的二阶系统，其单位阶跃输入下的响应曲其单位阶跃输入下的响应曲线如下图示：线如下图示：1、求系统的阻尼比、无阻尼、求系统的阻尼比、无阻尼自振频率自振频率2、确定系统的闭环传递函数、确定系统的闭环传递函数劳斯劳斯 ( (RouthRouth) ) 稳定判据稳定判据 系统稳定的必要条件是其特征方程
18、的各项系数均为正，即系统稳定的必要条件是其特征方程的各项系数均为正，即 根根据据必必要要条条件件，在在判判别别系系统统的的稳稳定定性性时时，可可事事先先检检查查系系统统特特征征方方程程的的系系数数是是否否都都大大于于零零，若若有有任任何何系系数数是是负负数数或或等等于于零零，则则系系统统是是不不稳稳定定的的。但但是是，当当特特征征方方程程满满足足稳稳定定的的必必要要条条件件时时，并并不不意意味味着着系系统统一一定定是是稳稳定定的的，为为了了进进一一步步确确定定系系统统的的稳稳定定性性，可以使用劳斯判据可以使用劳斯判据。劳斯稳定判据劳斯稳定判据（1）劳斯表第一列所有系数均不为零的情况劳斯表第一列
19、所有系数均不为零的情况 如如果果劳劳斯斯表表中中第第一一列列的的系系数数均均为为正正值值，则则系系统统是是稳稳定定的的，否否则则系系统统是是不不稳稳定定的的, ,且且不不稳稳定定根根（在在s s平平面面右右半半部部分分）的的个个数数等等于于劳劳斯斯表表中中第第一列系数符号改变的次数。一列系数符号改变的次数。(2) (2) 劳斯表某行的第一列系数等于零，而其余各劳斯表某行的第一列系数等于零，而其余各 项不全为零的情况项不全为零的情况 当劳斯表某一行的第一列系数为零，而其余项不当劳斯表某一行的第一列系数为零，而其余项不为零或不全为零，可用一个很小的正数为零或不全为零，可用一个很小的正数 代替第一列
20、代替第一列的零项，然后按照通常方法计算劳斯表中的其余项。的零项，然后按照通常方法计算劳斯表中的其余项。 若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在次数就等于该方程在S S右半平面上根的数目，相应的右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列上面的系数与下面的系系统为不稳定。如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，属于临界稳定系统，也属于不稳定系统。属于临界稳定系统，也属于不稳定系统。 例如例如 ， ， 等等。显然，系统是不等等。显然，系统是不 稳定
21、的。此时，为了确定根的分布情况，可按下稳定的。此时，为了确定根的分布情况，可按下列步骤处理：列步骤处理： (3)(3)劳斯表某行所有系数均为零的情况劳斯表某行所有系数均为零的情况 如果劳斯表中某一行各项为零，这说明在如果劳斯表中某一行各项为零，这说明在S S平面内平面内存在存在大小相等符号相反的大小相等符号相反的实根和（或）共轭虚根实根和（或）共轭虚根，或或共轭复根共轭复根。这样的系统也是不稳定的。这样的系统也是不稳定的。 利用该行上面一行的系数构造辅助方程。利用该行上面一行的系数构造辅助方程。 求求辅辅助助方方程程对对s s的的导导数数，将将其其系系数数代代替替原原全全部为零的行，继续计算劳
22、斯表。部为零的行，继续计算劳斯表。 特征方程中大小相等符号相反的根可由辅助方程特征方程中大小相等符号相反的根可由辅助方程 求得，求得，且其根的数目总是偶数且其根的数目总是偶数 。稳态误差稳态误差稳态误差的定义稳态误差的定义 稳定稳定的系统，其误差的终值称为稳态误差，记作的系统，其误差的终值称为稳态误差，记作e essss，用式子表示为，用式子表示为给定输入作用下稳态误差的计算给定输入作用下稳态误差的计算两种计算稳态误差的方法：两种计算稳态误差的方法：1 1、定义法、定义法 2 2、稳态误差系数法、稳态误差系数法1 1、定义法、定义法 利用稳态误差的公式利用稳态误差的公式（不计扰动输入的影响（不
23、计扰动输入的影响: :N(sN(s)=0)=0）E(s)R(s)B(s)G(s)H(s)C(s)（1 1）系统的分类（系统类型）系统的分类（系统类型） 根据开环传递函数中串联的积分个数，将系统分为根据开环传递函数中串联的积分个数，将系统分为几种不同类型。把系统几种不同类型。把系统开环传递函数开环传递函数表示成表示成时间常数时间常数形式（尾形式（尾1 1型）型）K为系统的为系统的开环增益开环增益，为开环传递函数中为开环传递函数中积分环节的个数积分环节的个数,通常通常又称为系统的又称为系统的无差度阶数，无差度阶数，并将系统并将系统按无差度阶数进行分类按无差度阶数进行分类。=0，1，2时，系统分别称
24、为时，系统分别称为0型型、型和型和型系统。型系统。 2 2、静态误差系数法、静态误差系数法（2 2）阶跃输入时的稳态误差阶跃输入时的稳态误差令令 称为静态位置误差系数。称为静态位置误差系数。稳态误差可表示为稳态误差可表示为因此给定稳态误差决定于系统的位置误差系数。因此给定稳态误差决定于系统的位置误差系数。对对型系统及型系统及型以上的系统型以上的系统 =1，2，Kp=，ess=0。 对于阶跃输入对于阶跃输入对于阶跃输入对于阶跃输入r r r r（t t t t）= = = =A A A A*1*1*1*1（t t t t），），），），R(sR(sR(sR(s)=)=)=)=A A A A/s,
25、 /s, /s, /s, 求得系统的稳态误求得系统的稳态误求得系统的稳态误求得系统的稳态误差为差为差为差为对于对于0 0型系统，型系统，（3 3）斜坡输入时的稳态误差）斜坡输入时的稳态误差令令称为静态速度误差系数静态速度误差系数。 于是稳态误差可表示为 因此，在单位斜坡输入下，给定稳态误差决定于速度误差系数。对对0型系统型系统 =0，Kv=0，ess=对对型系统型系统 =1，Kv=K，ess =A/ Kv=A/K对对型或高于型或高于型系统型系统 =2，3，Kv=，ess=0对对于于斜斜坡坡输输入入 r r（t t）= =A At t，R(sR(s)=)=A A/s/s2 2 ，此此时时系系统统
26、的的稳态误差为稳态误差为稳态误差可表示为稳态误差可表示为（4 4）抛物线输入时的稳态误差）抛物线输入时的稳态误差令令称为称为静态加速度误差系数静态加速度误差系数。对对0型系统型系统 =0，Ka=0， ess= 对对型系统型系统 =1，Ka =0，ess =对对型系统型系统 =2，Ka =K， ess =A/K对对型或高于型或高于型系统型系统 =3，4,，Ka=，ess =0对于抛物线输入对于抛物线输入r r（t t）= =A At t2 2/2/2，R(sR(s)=)=A A/s/s3 3 ，此时系统的，此时系统的稳态误差为稳态误差为 稳态误差可表示为稳态误差可表示为 系统的稳态误差系统的稳态
27、误差系统型号系统型号误差系数误差系数Kp Kv Ka单位阶跃单位阶跃输入输入单位速度单位速度输入输入单位加速单位加速度输入度输入l1. 1. 稳态误差与输入、系统结构有关稳态误差与输入、系统结构有关. .2. 2. 减小或消除稳态误差的方法：减小或消除稳态误差的方法： a、增加开环放大系数增加开环放大系数K K； b b、提高系统的型号数提高系统的型号数; ;（五）典型信号合成输入（五）典型信号合成输入 典型信号合成输入时，稳态误差应典型信号合成输入时，稳态误差应分别求出，分别求出， 然后叠加。然后叠加。（六）稳态误差分析中应（六）稳态误差分析中应注意注意的几项：的几项：a)只有对稳定的系统，
28、计算稳态误差才有意义；只有对稳定的系统，计算稳态误差才有意义；b)系统的稳态误差仅和三个参数有关，即开环增益系统的稳态误差仅和三个参数有关，即开环增益K，系统的，系统的型和典型输入信号；型和典型输入信号；c)静态误差系数法只适用于三种典型参考输入及其线性组合静态误差系数法只适用于三种典型参考输入及其线性组合情况下的稳态误差计算，不适用于扰动输入下的稳态误差情况下的稳态误差计算，不适用于扰动输入下的稳态误差计算；计算；d)稳态误差系数针对三种典型参考输入有不同的名称，但均稳态误差系数针对三种典型参考输入有不同的名称，但均指稳态情况下输出与输入在位置上的误差。三个稳态误差指稳态情况下输出与输入在位
29、置上的误差。三个稳态误差系数不能串用。系数不能串用。例例3 已知单位负反馈系统的开环传递函数为已知单位负反馈系统的开环传递函数为解：解： 先判断系统是稳定的。由于系统为先判断系统是稳定的。由于系统为型系统，所型系统，所以对阶跃输入和斜坡输入下的稳态误差均为零，对加速以对阶跃输入和斜坡输入下的稳态误差均为零，对加速度输入度输入所以稳态误差为所以稳态误差为当参考输入为当参考输入为r(t)=4 + 6t + 3t2 时，试求系统的稳态误差时，试求系统的稳态误差注意：先把开环传函转换成注意：先把开环传函转换成“尾尾1 1型型”，再得到开环增，再得到开环增益益扰动作用下稳态误差的计算扰动作用下稳态误差的
30、计算 扰动输入作用下系统的误差传递函数。扰动输入作用下系统的误差传递函数。 扰动稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力。扰动稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力。系统系统对于某种形式的给定输入的稳态误差为零，但对同一形式的对于某种形式的给定输入的稳态误差为零，但对同一形式的扰动输入其稳态误差则不一定为零扰动输入其稳态误差则不一定为零。设设r(t)=0，扰动作用下的，扰动作用下的误差称为扰动误差，用误差称为扰动误差，用en(t)表示，其拉氏变换为表示，其拉氏变换为 H(s)R(s)=0B(s)N(s)C(s)E(s)参考课后参考课后习题习题3.10第四章 根轨迹法1、根轨迹的基本条件和规则2、参量根轨迹和零度根轨迹3、根轨迹分析系统的性能（稳定性、动态性能）开环传开环传递函数递函数闭环系统的闭环系统的根轨迹根轨迹分析系分析系统性能统性能第五章 频率分析法
