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1、几种常见的平面变换几种常见的平面变换 -投影变换投影变换中午的太阳光下中午的太阳光下,一排排的树木的影子会一排排的树木的影子会投影到各自的树根。投影到各自的树根。 排球中场休息时排球中场休息时,工作人员用平地拖工作人员用平地拖把拖扫比赛场地把拖扫比赛场地.要求同时同向推动拖把要求同时同向推动拖把,把垃圾推到边界线停止。把垃圾推到边界线停止。问题情境问题情境图图2把垃圾推到边界线把垃圾推到边界线图图1树在中午的阳光下形成影子树在中午的阳光下形成影子这两个生活中事情，实质反映了平这两个生活中事情，实质反映了平面上的点在某一直线上的投影，能否用面上的点在某一直线上的投影，能否用矩阵来表示？矩阵来表示
2、？提出问题提出问题解决问题解决问题方案方案1:1:以直线为以直线为x轴轴, ,建立直角坐标系建立直角坐标系, ,设平面上的任一点的坐标为设平面上的任一点的坐标为( (x, ,y),),则投则投影后的点坐标为影后的点坐标为( (x,0).,0).xyoP(x,y)P/(x,0)故所求矩阵为故所求矩阵为解决问题解决问题方案方案2:2:以直线为以直线为y轴轴, ,建立直角坐标系建立直角坐标系, ,设平面上的任一点的坐标为设平面上的任一点的坐标为( (x, ,y),),则投则投影后的点坐标为影后的点坐标为(0,(0,y).).xyoP(x,y)P/(0, y)故所求矩阵为故所求矩阵为研究矩阵研究矩阵M
3、= 所确定的变换。所确定的变换。反思问题反思问题xyoy=x 对于平面内任意列向量对于平面内任意列向量 ，有，有 矩阵矩阵M使得平面上点的横坐标不使得平面上点的横坐标不变，纵坐标变为与横坐标相等变，纵坐标变为与横坐标相等. 该变换将平面内的点沿垂直于该变换将平面内的点沿垂直于x轴方向投影到直线轴方向投影到直线y=x上，如图。上，如图。 (1)投影变换的几何要素投影变换的几何要素: 投影方向投影方向, 投影到的某条直线投影到的某条直线L. (2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素 (3)与投影方向平行的直线投影于与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点的情
4、况是某个点 (4)投影变换是映射投影变换是映射,但不是一一映射但不是一一映射像像 这类将平面内图形投影到某条直线这类将平面内图形投影到某条直线相应的变换称做相应的变换称做投影变换投影变换.(或某个点或某个点) 上的矩阵上的矩阵,我们称之为我们称之为投影变换矩阵投影变换矩阵,建构数学建构数学研究线段研究线段AB在矩阵在矩阵得到的图形得到的图形,其中其中A(0,0),B(1,2).作用下变换作用下变换数学运用数学运用说明矩阵说明矩阵 所对应所对应的变换的几何意义。的变换的几何意义。思考：思考： 该变换将平面内的点沿垂直于直线该变换将平面内的点沿垂直于直线y=-x 方向方向投影到直线投影到直线y=-
5、x上。上。xyABB(A) A(0,0),B(1,2) 在投影矩阵在投影矩阵M作用下作用下分别分别变换变换为点为点A/(0,0),B/(1.5,1.5) 求变换对应的矩阵求变换对应的矩阵M.变式训练变式训练1xyA (A)B(1,2)B/(1.5,1.5)C(0,3) 若不是投影变换若不是投影变换,则矩阵则矩阵M有无数个有无数个.的曲线方程。的曲线方程。xy变式训练变式训练2求圆求圆x2+( y-2)2=1在矩阵在矩阵的变换下的变换下y=x (1) 说明矩阵说明矩阵 的变换作用，哪些的变换作用，哪些 (2) 矩阵矩阵 把椭圆把椭圆 变成了变成了 什么图形什么图形?其方程是什么其方程是什么? 课堂练习课堂练习变换是一一映射？变换是一一映射？生活事情数学问题变换(形)矩阵(数)课堂小结课堂小结投影变换矩阵能将平面内的点投影到平面上投影变换矩阵能将平面内的点投影到平面上任一直线吗任一直线吗?垂直且投影于垂直且投影于L(过原点过原点)的变换矩阵有何特点的变换矩阵有何特点?课后思考：课后思考：xyoP(x,y)P/(ax+by,cx+dy)L: y=kx恒成立恒成立除原点除原点课后作业课后作业完成创新课时卷完成创新课时卷L
