《可用数学归纳法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《可用数学归纳法（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个天先生教他个“一一”字。第二天先生又教了个字。第二天先生又教了个“二二”字。第三天，他想先生一定是教字。第三天，他想先生一定是教“三三”字了，并字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三三”字。字。于是他得了一个结论：于是他得了一个结论：“四四”一定是四横，一定是四横，“五五”一定是五横，以此类推，一定是五横，以此类推，从此，他不再去上学，从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：“我都我都会了会了”。家
2、长要他写出自己的名字，。家长要他写出自己的名字，“万百千万百千”写写名字结果可想而知。名字结果可想而知。” ” 犯了不完全归纳法的错误,一一二三的写法只是特殊情况，并不二三的写法只是特殊情况，并不是所有的字都是这样写的，他根是所有的字都是这样写的，他根据这几个特殊字的写法推断出所据这几个特殊字的写法推断出所有的字都这样写就错了。有的字都这样写就错了。万百千在学习上万百千在学习上犯了什么错误犯了什么错误? ?骨牌倒下用不骨牌倒下用不用一块一块人用一块一块人工推倒？工推倒？第一，必须推倒第一，必须推倒第一块第一块，第二第二, ,假如假如前面一块前面一块倒下，要保证它倒下，要保证它倒下时会倒下时会撞
3、倒下一块撞倒下一块。 要保证这个游要保证这个游戏成功，必须戏成功，必须满足什么满足什么条件条件？ 像这种由一像这种由一像这种由一像这种由一系列有限的系列有限的系列有限的系列有限的特殊事例特殊事例特殊事例特殊事例得得得得出出出出一般结论一般结论一般结论一般结论的推理方法，的推理方法，的推理方法，的推理方法，通常叫做通常叫做通常叫做通常叫做归归归归纳法纳法纳法纳法。一、复习与引入一、复习与引入1、在等差数列、在等差数列 中，已知首项为中，已知首项为 ，公差为，公差为 d，2、粉笔盒内的粉笔是什么颜色的？、粉笔盒内的粉笔是什么颜色的？（完全归纳法）（完全归纳法）结论：结论：盒内粉笔都是白色的盒内粉笔
4、都是白色的（不不完完全全归归纳纳法法）（1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论）不完全归纳法有利于发现问题，但结论 不一定正确。不一定正确。（2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。例：例：说说 明：明：由两种归纳法得出的结论一定正确吗？由两种归纳法得出的结论一定正确吗？想 一 想 ：这种证明方法叫做这种证明方法叫做（一）、数学归纳法的定义（原理）一）、数学归纳法的定义（原理）数学归纳法数学归纳法。然后假设当然后假设当 时命题成立，时命题成立，先证明当先证明当 取第一个值取第一个值 例例 时命题成立时命题成立,并证明当并证明当 时命题也成立，时命题也成立，
5、那么就证明了这个命题成立。那么就证明了这个命题成立。因为证明了这一点，就可断定这个命题对于因为证明了这一点，就可断定这个命题对于 取取第一个值后面的所有正整数也都成立。第一个值后面的所有正整数也都成立。多米诺骨牌游戏原理多米诺骨牌游戏原理数学归纳法证明步骤数学归纳法证明步骤(2)假设假设n = k ,时命题成立，时命题成立，证明当证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立。（1）第一块骨牌倒下。）第一块骨牌倒下。（1）当）当n=1时猜想成立。时猜想成立。（2）假设第）假设第k块倒下时，则块倒下时，则相邻的第相邻的第k+1块也倒下。块也倒下。根据（根据（1）和）和 （2），可知不论有），可知不论有
6、多少块骨牌都能全部倒下。多少块骨牌都能全部倒下。根据（根据（1）和（）和（2），可知对所），可知对所有的自然数有的自然数n，猜想都成立。猜想都成立。分析：分析：综综(1)(2)(1)(2)知命题成立。知命题成立。即即（2 2）假设当）假设当 时命题成立，时命题成立，即即 成立吗？成立吗？那么当那么当 时命题成立吗？时命题成立吗？（1 1）当）当 时，时， 成立吗？成立吗？等差数列等差数列 的通项公式为的通项公式为 。例：用数学归纳法证明首项为例：用数学归纳法证明首项为 ，公差为，公差为 的的根据根据(1)(2)知当对任意的知当对任意的 命题成立。命题成立。 （1）当）当 时，左边时，左边 ，右
7、边，右边 ，证明：证明：命题成立。命题成立。（2）假设当）假设当 时命题成立，即时命题成立，即那么当那么当 时，时， 即当即当 时命题成立。时命题成立。（依据）（依据）（结论）（结论）（传递性）（传递性）（二）、数学归纳法的步骤（二）、数学归纳法的步骤根据根据(1)(2)知对任意的知对任意的 时命题成立。时命题成立。注：注：（1）证明当证明当 取第一个值取第一个值 或或 时结论正确时结论正确（2）假设当假设当 时结论正时结论正确，并证明当确，并证明当 时结论也正确。时结论也正确。两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失论
8、的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失去了去了递推的依据递推的依据。只有把第一、二步的结论结合在一起才能得只有把第一、二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要做一个做一个总的结论总的结论。（3 3）数学归纳法用来证明与）数学归纳法用来证明与正整数正整数有关的命题。有关的命题。（1）（2）（三）数学归纳法的应用举例（三）数学归纳法的应用举例135（2n1）例例1 1、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明n2即当即当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。根据（根据（1 1）和（）和（2 2）可知，等式对任何都成立。）可知，等式对任何都成立。
9、证明：证明：135（2k1）+2(k+1)1那么当那么当n=k+1时时（2）假设当）假设当nk时，等式成立，即时，等式成立，即（1）当）当n=1时，左边时，左边1，右边，右边1，等式成立。，等式成立。135（2k1） k2 + 2(k+1)1k2 2k1k2 （k+1）2（假设）（假设）（利用假设）（利用假设）练习：练习：用数学归纳法证明用数学归纳法证明3、1、2、首项是首项是 ，公比是，公比是 的等比数列的通项公式是的等比数列的通项公式是三、小结三、小结归纳法：归纳法：由特殊到一般由特殊到一般，是数学发现的重要方法。，是数学发现的重要方法。数学归纳法的数学归纳法的原理原理与与科学性科学性：基础正确；可递推。：基础正确；可递推。数学归纳法的步骤：数学归纳法的步骤：两个步骤，一个结论两个步骤，一个结论。事物事物由特殊到一般、由有限到无限。由特殊到一般、由有限到无限。数学归纳法的数学归纳法的优点优点：可以帮助我们可以帮助我们由简到繁、由简到繁、认识认识四、作业四、作业习题习题2.1 1、（、（1）（）（2）第第二二步步第第二二步步第第二二步步
