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1、小学奥数5-45-4 完全平方数完全平方数教学目标教学目标完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点.知识点拨知识点拨一、完全平方数常用性质一、完全平方数常用性质1.1.主要性质主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是 2，3，7，8。2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4.若质数 p 整除完全平方数a2，则 p 能被a整除。2.2.一些重要的推论一些重要的推论1.任何
2、偶数的平方一定能被 4 整除；任何奇数的平方被 4（或 8）除余 1.即被 4 除余 2 或 3 的数一定不是完全平方数。2.一个完全平方数被 3 除的余数是 0 或 1.即被 3 除余 2 的数一定不是完全平方数。3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。6.完全平方数的个位数字为6 时，其十位数字必为奇数。7.凡个位数字是 5 但末两位数字
3、不是 25 的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。3.3.重点公式回顾：重点公式回顾：平方差公式：a2b2 (a b)(a b)例题精讲例题精讲模块一、完全平方数基本性质和概念模块一、完全平方数基本性质和概念【例【例 1 1】 (2000(2000 年年 “祖冲之杯”“祖冲之杯” 小学数学邀赛小学数学邀赛) )1234567654321(1 23 45 6 7 65 43 21)是是的平方的平方【例【例 2 2】 写出从写出从 360360 到到 630630 的自然数中有奇数个约数的数的自然数中有奇数
4、个约数的数【例【例 3 3】 从从 1 1 到到 20082008 的所有自然数中，乘以的所有自然数中，乘以 7272 后是完全平方数的数共有多少个？后是完全平方数的数共有多少个？【例【例 4 4】 已知自然数已知自然数 n n 满足：满足：12!除以除以 n n 得到一个完全平方数，则得到一个完全平方数，则 n n 的最小值是的最小值是。小学奥数小学奥数【例【例 5 5】 一个数减去一个数减去 100100 是一个平方数，减去是一个平方数，减去 6363 也是一个平方数，问这个数是多少？也是一个平方数，问这个数是多少？【例【例 6 6】 有有 5 5 个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间
5、三数的和为立方数，则这五个数中最小数的个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为最小值为【例【例 7 7】 两个完全平方数的差为两个完全平方数的差为 7777，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？【例【例 8 8】 A A 是一个两位数，是一个两位数，它的它的 6 6 倍是一个三位数倍是一个三位数 B B，如果把如果把 B B 放在放在 A A 的左边或者右边得到两个不同的五的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数 (
6、(整数的平方整数的平方) )，那么，那么 A A 的所有可能取值之和的所有可能取值之和为为【例【例 9 9】 一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于小于 7 7如果把组成它的数字都加上如果把组成它的数字都加上 3 3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数【例【例 10 10】有有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为 0 0，试求满足上述条件的最小的正整数，试求满足上述条件的
7、最小的正整数【例【例 11 11】能能够找到这样的四个正整数，够找到这样的四个正整数， 使得它们中任意两个数的积与使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由够，请举出一例；若不能够，请说明理由【例【例 12 12】( (20042004 年华杯赛年华杯赛) )三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”“美妙数” 问：所有小于问：所有小于 20082008 的美妙数的最大公约数是多少？的美妙数的最大公约数是多少？【
8、例【例 13 13】( (20042004 年南京市少年数学智力冬令营年南京市少年数学智力冬令营) )记记S (123n)(4k 3)，这里，这里n 3当当 k k 在在 1 1 至至100100 之间取正整数值时，有之间取正整数值时，有个不同的个不同的 k k，使得，使得 S S 是一个正整数的平方是一个正整数的平方【例【例 14 14】( (20072007 年“走进美妙的数学花园”年“走进美妙的数学花园”) )称能表示成称能表示成1 23 k的形式的自然数为三角数有一的形式的自然数为三角数有一个四位数个四位数N，它既是三角数，又是完全平方数则，它既是三角数，又是完全平方数则N 【例【例 15 15】A A 是由是由 20022002 个“个“4 4”组成的多位数，即”组成的多位数，即4444，A A 是不是某个自然数是不是某个自然数 B B 的平方？如果是，写出的平方？如果是，写出2002个4B B；如果不是，请说明理由；如果不是，请说明理由小学奥数
