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1、新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习1第四单元第四单元三角函数与平面向量三角函数与平面向量2第第22讲讲简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换3能能运运用用同同角角三三角角函函数数的的基基本本关关系系、诱诱导导公公式式、两两角角和和与与差差的的三三角角公公式式进进行简单的三角恒等变换行简单的三角恒等变换.41.在在ABC中，已知中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB1，则，则ABC是是( ) AA.直角三角形直角三角形 B.锐角三角形锐角三角形C.钝角三角形钝角三角形 D.等边三角形等边三角形 由两角和的正弦公式得由两角和的正弦公式
2、得sinA1.由弦函数有界性知，由弦函数有界性知，sinA=1，得，得A=90.52.化简：化简： - =( )BA.-sin4 B.2cos4-sin4C.sin4-2cos4 D.2sin4-cos4 原式原式= -=|sin4-cos4|-|cos4|,又又sin4-cos40,cos40,所以原式所以原式=-sin4+cos4+cos4=2cos4-sin4.63.化简：化简： - cos2x+ cos4x= .sin4x 原式原式= - (2cos2x-1)+ (2cos22x-1)= -cos2x+ cos22x= -cos2x+ (2cos2x-1)2=1-2cos2x+cos4
3、x=（1-cos2x）2=sin4x.74.若若A-B= ,tanA-tanB= ,则则cosAcosB= . tan(A-B)= = ,所以所以1+tanAtanB=2，即即 =2，所以所以cosAcosB= cos(A-B)= .85.化简：化简：tan+tan+tantantan(+)= .tan(+) 由由tan(+) ,可得可得tan+tan=tan(+)(1-tantan),所以所以tan+tan+tantantan(+)=tan(+).9三三角角变变换换的的基基本本题题型型化化简简、求求值值和和证明证明(1)化简化简.三三角角函函数数式式化化简简的的一一般般要要求求：三三角角函函
4、数数种种数数尽尽量量少少；项项数数尽尽量量少少；次次数数尽尽量量低低；尽尽量量使使分分母母不不含含三三角角函函数数式式；尽尽量量使使被被开开方方数数不含三角函数式；能求出的值应尽量求出值不含三角函数式；能求出的值应尽量求出值.依依据据三三角角函函数数式式的的结结构构特特点点，常常采采用用的的变变换换方方法法：异异角角化化同同角角；异异名名化化同同名名；异异次次化同次；高次降次化同次；高次降次.10(2)求值求值.常见的有给角求值常见的有给角求值,给值求值给值求值,给值求角给值求角.给给角角求求值值的的关关键键是是正正确确地地分分析析角角（已已知知角角与与未未知知角角）之之间间的的关关系系，准准
5、确确地地选选用用公公式，注意转化为特殊值式，注意转化为特殊值.给给值值求求值值的的关关键键是是分分析析已已知知式式与与待待求求式式之之间间角角、名名称称、结结构构的的差差异异，有有目目的的地地将将已已知知式式、待待求求式式的的一一方方或或两两方方加加以以变变换换，找找出它们之间的联系，最后求待求式的值出它们之间的联系，最后求待求式的值.11给给值值求求角角的的关关键键是是求求出出该该角角的的某某一一三角函数值，讨论角的范围，求出该角三角函数值，讨论角的范围，求出该角.(3)证证明明.它它包包括括无无条条件件的的恒恒等等式式和和附附加加条条件件恒恒等等式式的的证证明明.常常用用方方法法：从从左左
6、推推到右；从右推到左；左右互推到右；从右推到左；左右互推.12题型一题型一 恒等变换下的化简求值恒等变换下的化简求值例例1 已知：已知：tan2=- ,2( ,),求求 的值的值.13 tan2=- =- ， 解得解得tan=- 或或tan= ， 因为因为2( ,),所以所以（ ， ）,所以所以tan0，所以，所以tan= . = = = = 对对于于附附加加条条件件求求值值问问题题，要要先先看看条条件件可可不不可可以以变变形形或或化化简简，然然后后看看所所求求式式子子能能否否化化简简，再再看看它它们们之之间间的的相相互互联联系系，通通过分析找到已知与所求的纽带过分析找到已知与所求的纽带.14
7、题型二题型二 恒等变换下的拆角求值恒等变换下的拆角求值例例2 已知已知cos(- )=- ，sin( -)= ,且且 ，0，求，求cos 的值的值. 抓住已知角抓住已知角(- )，( -)与目标角与目标角 的关系：的关系： =(- )-( -)，因此先求，因此先求得得sin(- )，cos( -)的值，再代公式的值，再代公式.15 因为因为 ，0，所以所以0- ，- - .又因为又因为cos(- )=- 0,所以所以 - ，0 - ，所以所以sin(- )= .16cos( -)= = = ,故故cos =cos(- )-( -)=cos(- )cos( -)+sin(- )sin( -)=(
8、- ) + = .17 根据已知角与目标角的联系，将题目根据已知角与目标角的联系，将题目中的中的“目标角整体目标角整体”变成变成“已知角整体已知角整体”之之间的间的“和、差、倍、半、余、补、负和、差、倍、半、余、补、负”，应，应用已知条件，直接解决问题用已知条件，直接解决问题.常用常用“凑角凑角”技技巧：巧： (-)+=(+)-，2+=(+)+， = + ， = - ， 2=(-)+(+)等等.18 已知已知cos= ,cos(+)=- ,且且(0， ),+( ，),求求的值的值. 因为因为(0, )，且，且cos= ，所以，所以sin= = ，又因为又因为+( ,），），cos(+)=- ，
9、所以所以sin(+)= = ，19所以所以cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=- + = .又又(0, )，+( ，），则），则(0,)，所以，所以= . 在在给给角角求求角角的的式式子子中中,发发现现目目标标角角与与已已知知角角的的联联系系,将将目目标标角角用用已已知知角角表表示示,求求得得其其某某一一名名三三角角函函数数值值.但但对对于于在在(0，180)间间的的角角,选选用用余余弦弦或或正正切切比比选选用用正正弦弦好好,在在(-90,90)间间的的角角，宜选用正弦宜选用正弦.注意避开讨论，减少失误注意避开讨论，减少失误.20题型三题型三 恒等变换下的三角证明恒
10、等变换下的三角证明例例3 (1)已知已知2sin=sin+cos,sin2=2sincos.求证求证:cos2=2cos2；(2)已知已知5sin=3sin(-2),求证求证:tan(-)+4tan=0.21 (1)4sin2=1+2sincos, 所以所以4sin2=1+sin2， 所以所以1-sin2=2-4sin2=2（1-2sin2）, 即即cos2=2cos2. (2)因为因为5sin=3sin(-2), 所以所以5sin(-)+=3sin(-)-所以所以5sin(-)cos+5cos(-)sin =3sin(-)cos-3cos(-)sin, 所以所以2sin(-)cos+8cos
11、(-)sin=0，依题意，依题意知知,k+ ,-k+ ,kZ. 所以所以tan(-)+4tan=0. (1)结结论论中中不不含含，所所以以从从条条件件中中消消去去即即可可.(2)把把条条件件中中的的角角进进行行拆拆拼拼，使使出出现现-，实实现现已已知知角角向向未未知知角角转转化化即可即可.22 等比数列等比数列 an中，中，a2=sin+cos，a3=1+sin2，其中，其中 . 求求:(1)2sin2- cos4+ 是数列是数列an的第几项的第几项? (2)若若tan(-)= ,求数列求数列an的前的前n项和项和Sn.23 设数列设数列an的公比为的公比为q，则则q= = = =sin+co
12、s,所以所以a1= =1.所以所以an=(sin+cos)n-1(nN*).(1)2sin2 - cos4+ = (4sin2-cos4+3) = 4sin2-（1-2sin22）+3 = (2sin22+4sin2+2)=(1+sin2)2 =(sin+cos)4=a5,所以所以2sin2- cos4+ 是数列是数列an中的第中的第5项项.24(2)由由tan(-)= ，得，得tan=- ，又又 ，所以，所以sin= ,cos=- ，所以所以q=sin+cos= ，所以，所以an=( )n-1，故故Sn= = - ( )n-1.25三三角角恒恒等等变变形形的的实实质质是是对对角角、函函数数名
13、名称称及及运运算算结结构构的的转转化化，而而转转化化的的依依据据就就是是一一系系列列的的三三角角公公式式，因因此此对对三三角角公公式式在在实实现现这种转化中的应用应有足够的了解：这种转化中的应用应有足够的了解：(1)同同角角三三角角函函数数关关系系可可实实现现函函数数名名称的转化称的转化.(2)诱诱导导公公式式及及和和、差差、倍倍角角的的三三角角函函数数可以实现角的形式的转化可以实现角的形式的转化.(3)倍倍角角公公式式及及其其变变形形公公式式可可实实现现三三角角函函数数的的升升幂幂或或降降幂幂的的转转化化,同同时时也也可可完完成成角的转化角的转化.26学例1 (2009上海卷上海卷)函数函数
14、y=2cos2x+sin2x的最小值是的最小值是 .1-f(x)=cos2x+sin2x+1= sin(2x+ )+1，所以最小值为所以最小值为1- .27学例2 (2009山东卷山东卷)设函数设函数f(x)=cos(2x+ )+sin2x.(1)求函数求函数f(x)的最大值和最小正周期的最大值和最小正周期;(2)设设A,B,C为为ABC的的三三个个内内角角，若若cosB= ,f( )=- ,且且C为锐角为锐角,求求sinA.28 (1)f(x)=cos(2x+ )+sinx=cos2xcos -sin2xsin += - sin2x.所以所以,当当2x=- +2k(kZ)，即即x=- +k(kZ)时，时，函数函数f(x)取得最大值，为取得最大值，为 ；同时同时,f(x)的最小正周期为的最小正周期为.29(2)因为因为f( )= - sinC=- ,所以所以sinC= .因为因为C为锐角为锐角,所以所以C= .又因为在又因为在ABC中中,cosB= ,所以所以sinB= .所以所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC = + = .30本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来
