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1、4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念1 1/16/16“ “抛硬币抛硬币抛硬币抛硬币” ” 、“ “掷骰子掷骰子掷骰子掷骰子” ”等随机试验的特征：等随机试验的特征：等随机试验的特征：等随机试验的特征：怎样计算等可能概型中事件的概率怎样计算等可能概型中事件的概率怎样计算等可能概型中事件的概率怎样计算等可能概型中事件的概率每个基本结果的出现是等可能的每个基本结果的出现是等可能的每个基本结果的出现是等可能的每个基本结果的出现是等可能的只有只有只有只有有限个基本结果有限个基本结果有限个基本结果有限个基本结果设随机试验设随机试验设随机试验设随机试验 的样本空间为的
2、样本空间为的样本空间为的样本空间为 若若若若只含有限个样本点只含有限个样本点只含有限个样本点只含有限个样本点, , , ,即即即即每个样本点的出现是等可能的每个样本点的出现是等可能的每个样本点的出现是等可能的每个样本点的出现是等可能的, , , ,即即即即则称该试验为则称该试验为则称该试验为则称该试验为等可能概型等可能概型等可能概型等可能概型古典古典古典古典概型概型概型概型, , , ,也称为也称为也称为也称为 设设设设 是等可能概型的任一事件是等可能概型的任一事件是等可能概型的任一事件是等可能概型的任一事件，则有，则有，则有，则有样本点总数样本点总数样本点总数样本点总数包含的样本点个数包含的
3、样本点个数包含的样本点个数包含的样本点个数有利场合有利场合有利场合有利场合4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念2 2/16/16样本点总数样本点总数样本点总数样本点总数包含的样本点个数包含的样本点个数包含的样本点个数包含的样本点个数样本点总数样本点总数样本点总数样本点总数包含的基本事件个数包含的基本事件个数包含的基本事件个数包含的基本事件个数样本点总数样本点总数样本点总数样本点总数的有利场合数的有利场合数的有利场合数的有利场合数4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念3 3/16/16抛两枚硬币，求出现一个正面一个反面的概
4、率抛两枚硬币，求出现一个正面一个反面的概率抛两枚硬币，求出现一个正面一个反面的概率抛两枚硬币，求出现一个正面一个反面的概率该试验的样本空间为该试验的样本空间为该试验的样本空间为该试验的样本空间为他计算得他计算得他计算得他计算得这是一个古典概型这是一个古典概型这是一个古典概型这是一个古典概型, , , ,事件事件事件事件 “ “ “ “一个正面一个反面一个正面一个反面一个正面一个反面一个正面一个反面” ”的有利的有利的有利的有利场合是场合是场合是场合是 18181818世纪著名的法国数学家达朗世纪著名的法国数学家达朗世纪著名的法国数学家达朗世纪著名的法国数学家达朗贝尔取样本空间为贝尔取样本空间为
5、贝尔取样本空间为贝尔取样本空间为这不是这不是这不是这不是等可能概型！等可能概型！等可能概型！等可能概型！4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念4 4/16/16故所求概率为故所求概率为故所求概率为故所求概率为袋中有袋中有袋中有袋中有 只白球，只白球，只白球，只白球， 只红球只红球只红球只红球. . 从袋中任取从袋中任取从袋中任取从袋中任取 只球，只球，只球，只球，求取到求取到求取到求取到 只白球的概率只白球的概率只白球的概率只白球的概率. .从从从从 只球中任取只球中任取只球中任取只球中任取 只，样本点总数为只，样本点总数为只，样本点总数为只，样本点总数为取
6、到取到取到取到 只白球的有利场合数为只白球的有利场合数为只白球的有利场合数为只白球的有利场合数为4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念5 5/16/16当当当当 时，称为全排列，计算公式为时，称为全排列，计算公式为时，称为全排列，计算公式为时，称为全排列，计算公式为从从从从 个不同的元素中个不同的元素中个不同的元素中个不同的元素中, , 任取任取任取任取 个元素个元素个元素个元素, , 按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，全部，全部，全部，全部排列个数排列个数排列个数排列个数为为为为从从从从 个不同的元素
7、中个不同的元素中个不同的元素中个不同的元素中, , 任取任取任取任取 个元素个元素个元素个元素并并并并成一组成一组成一组成一组，全部，全部，全部，全部组合数组合数组合数组合数为为为为取数与次序有关取数与次序有关取数与次序有关取数与次序有关取数与次序无关取数与次序无关取数与次序无关取数与次序无关4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念6 6/16/16第一类方法有第一类方法有第一类方法有第一类方法有 种方法种方法种方法种方法第二类方法有第二类方法有第二类方法有第二类方法有 种方法种方法种方法种方法 第第第第 类方法有类方法有类方法有类方法有 种方法种方法种方法种
8、方法做一件事共有做一件事共有做一件事共有做一件事共有 类方法类方法类方法类方法完成这件事的方法总数完成这件事的方法总数完成这件事的方法总数完成这件事的方法总数4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念7 7/16/16第一步有第一步有第一步有第一步有 种方法种方法种方法种方法第二第二第二第二步步步步有有有有 种方法种方法种方法种方法 第第第第 步步步步有有有有 种方法种方法种方法种方法做一件事共有做一件事共有做一件事共有做一件事共有 个步骤个步骤个步骤个步骤完成这件事的方法总数完成这件事的方法总数完成这件事的方法总数完成这件事的方法总数4 4 等可能概型等可能概
9、型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念8 8/16/16 将将将将 只球随机地放入只球随机地放入只球随机地放入只球随机地放入 个盒子中去个盒子中去，试，试，试，试求每个盒子至多有一只球的概率。求每个盒子至多有一只球的概率。求每个盒子至多有一只球的概率。求每个盒子至多有一只球的概率。 任一只球进任一盒子是等可能的任一只球进任一盒子是等可能的任一只球进任一盒子是等可能的任一只球进任一盒子是等可能的, , , , 故这是古故这是古故这是古故这是古典概型问题典概型问题典概型问题典概型问题故所求概率为故所求概率为故所求概率为故所求概率为样本点总数为样本点总数为样本点总数为样本点总数为“ “每个
10、盒子至多有一只球每个盒子至多有一只球每个盒子至多有一只球每个盒子至多有一只球” ”的有利场合数为的有利场合数为的有利场合数为的有利场合数为基本事件基本事件基本事件基本事件4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念9 9/16/16球球球球 - - - - 粒子，盒子粒子，盒子粒子，盒子粒子，盒子 - - - - 相空间中的小区域相空间中的小区域相空间中的小区域相空间中的小区域, , , , 则这则这则这则这个问题相应于统计物理学中的马克斯威尔个问题相应于统计物理学中的马克斯威尔个问题相应于统计物理学中的马克斯威尔个问题相应于统计物理学中的马克斯威尔波尔茨波尔茨波
11、尔茨波尔茨曼（曼（曼（曼（Maxwell-BoltzmannMaxwell-BoltzmannMaxwell-BoltzmannMaxwell-Boltzmann）统计）统计）统计）统计概率论历史上有名的问题概率论历史上有名的问题概率论历史上有名的问题概率论历史上有名的问题 - 生日问题生日问题生日问题生日问题参加某次聚会共参加某次聚会共参加某次聚会共参加某次聚会共 个人个人个人个人, , 求没有两人生日相同的概率求没有两人生日相同的概率求没有两人生日相同的概率求没有两人生日相同的概率只只只只球球球球个人个人个人个人个人生日各不相同个人生日各不相同个人生日各不相同个人生日各不相同, , , ,
12、则则则则天天天天个盒子个盒子个盒子个盒子至少有两人生日相同至少有两人生日相同至少有两人生日相同至少有两人生日相同结果有点出结果有点出结果有点出结果有点出乎人们意料乎人们意料乎人们意料乎人们意料4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念1010/16/16注记注记注记注记 在实际应用中，概率非常接近在实际应用中，概率非常接近在实际应用中，概率非常接近在实际应用中，概率非常接近 1 1 的事件可近似地的事件可近似地的事件可近似地的事件可近似地看成必然事件，称为看成必然事件，称为看成必然事件，称为看成必然事件，称为几乎必然事件几乎必然事件几乎必然事件几乎必然事件概率非
13、常小的事件，称为概率非常小的事件，称为概率非常小的事件，称为概率非常小的事件，称为小概率事件小概率事件小概率事件小概率事件4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念1111/16/16 ( ( ( (匹配问题匹配问题匹配问题匹配问题) ) ) ) 将四把能打开四间不同房门的钥匙随将四把能打开四间不同房门的钥匙随将四把能打开四间不同房门的钥匙随将四把能打开四间不同房门的钥匙随机发给四个人机发给四个人机发给四个人机发给四个人, , , ,试求至少有一人能打开门的概率试求至少有一人能打开门的概率试求至少有一人能打开门的概率试求至少有一人能打开门的概率. .由对称性及乘
14、法原理得由对称性及乘法原理得由对称性及乘法原理得由对称性及乘法原理得不妨给门和钥匙编上号不妨给门和钥匙编上号不妨给门和钥匙编上号不妨给门和钥匙编上号. .则所求概率为则所求概率为则所求概率为则所求概率为记记记记第第第第 把钥匙打开把钥匙打开把钥匙打开把钥匙打开 号门号门号门号门4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念1212/16/16 50505050只铆钉随机地取来用在只铆钉随机地取来用在只铆钉随机地取来用在只铆钉随机地取来用在10101010个部件上个部件上个部件上个部件上, , , ,其中有其中有其中有其中有3 3 3 3个铆钉强度太弱个铆钉强度太弱个
15、铆钉强度太弱个铆钉强度太弱, , , ,每个部件用每个部件用每个部件用每个部件用3 3 3 3个铆钉个铆钉个铆钉个铆钉. . . . 若将若将若将若将3 3 3 3只只只只强度太弱的铆钉都装在一个部件上强度太弱的铆钉都装在一个部件上强度太弱的铆钉都装在一个部件上强度太弱的铆钉都装在一个部件上, , , ,则这个部件强度就太则这个部件强度就太则这个部件强度就太则这个部件强度就太弱弱弱弱. . . .问发生一个部件强度太弱的概率是多少？问发生一个部件强度太弱的概率是多少？问发生一个部件强度太弱的概率是多少？问发生一个部件强度太弱的概率是多少？记记记记第第第第 个部件强度太弱个部件强度太弱个部件强度
16、太弱个部件强度太弱因只有因只有因只有因只有 个铆钉强度太弱个铆钉强度太弱个铆钉强度太弱个铆钉强度太弱, , 故故故故 互不相容互不相容互不相容互不相容故发生一个部件强度太弱的概率是故发生一个部件强度太弱的概率是故发生一个部件强度太弱的概率是故发生一个部件强度太弱的概率是按古典概型公式怎样计算按古典概型公式怎样计算按古典概型公式怎样计算按古典概型公式怎样计算任选任选任选任选 个个个个铆钉铆钉铆钉铆钉装在一个部件上作为基本事件装在一个部件上作为基本事件装在一个部件上作为基本事件装在一个部件上作为基本事件故样本点总数为故样本点总数为故样本点总数为故样本点总数为而有利场合数为而有利场合数为而有利场合数
17、为而有利场合数为故所求概率为故所求概率为故所求概率为故所求概率为 先从先从先从先从10101010个部件选出个部件选出个部件选出个部件选出一个一个一个一个, , , , 再将再将再将再将3 3 3 3个强个强个强个强度太弱的铆钉全装度太弱的铆钉全装度太弱的铆钉全装度太弱的铆钉全装上上上上4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念1313/16/16古典概型的特点：古典概型的特点：古典概型的特点：古典概型的特点：基本事件的等可能性基本事件的等可能性基本事件的等可能性基本事件的等可能性有限个样本点有限个样本点有限个样本点有限个样本点 怎样推广到怎样推广到怎样推广到怎
18、样推广到“无限个样本点无限个样本点无限个样本点无限个样本点”而又而又而又而又有某种有某种有某种有某种“等可能性等可能性等可能性等可能性” ？ 认为认为认为认为任一点能钻探到石油是等可能的任一点能钻探到石油是等可能的任一点能钻探到石油是等可能的任一点能钻探到石油是等可能的, , 则所求概则所求概则所求概则所求概率为率为率为率为 某某某某5 5 5 5万平方公里的海域中，大约有万平方公里的海域中，大约有万平方公里的海域中，大约有万平方公里的海域中，大约有40404040平方公里的平方公里的平方公里的平方公里的大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探，大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行
19、钻探，大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探，大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探，问能够发现石油的概率是多少？问能够发现石油的概率是多少？问能够发现石油的概率是多少？问能够发现石油的概率是多少？4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念1414/16/16发生的概率定义为发生的概率定义为发生的概率定义为发生的概率定义为如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则 “面积面积面积面积” ” ” ” 改为改为改为改为“长度长度长度长
20、度”、“体积体积体积体积”设随机试验的样本空间为有界区域设随机试验的样本空间为有界区域设随机试验的样本空间为有界区域设随机试验的样本空间为有界区域 事件事件事件事件试验结果落在区域试验结果落在区域试验结果落在区域试验结果落在区域 中中中中的面积的面积的面积的面积的面积的面积的面积的面积称为称为称为称为几何概型几何概型几何概型几何概型事件事件事件事件 发生的概率与位置无关发生的概率与位置无关发生的概率与位置无关发生的概率与位置无关, , , ,只与只与只与只与 的面积有关，的面积有关，的面积有关，的面积有关，这体现了某种这体现了某种这体现了某种这体现了某种“等可能性等可能性等可能性等可能性” ”
21、 ” ” 4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念1515/16/16 ( ( ( (约会问题约会问题约会问题约会问题) ) ) ) 两人相约两人相约两人相约两人相约7 7 7 7点到点到点到点到8 8 8 8点在某地会面，先点在某地会面，先点在某地会面，先点在某地会面，先到者等候另一人到者等候另一人到者等候另一人到者等候另一人20202020分钟，过时离去。试求这两人能会面分钟，过时离去。试求这两人能会面分钟，过时离去。试求这两人能会面分钟，过时离去。试求这两人能会面的概率的概率的概率的概率。这是一个几何概型，所求概率是这是一个几何概型，所求概率是这是一个几
22、何概型，所求概率是这是一个几何概型，所求概率是 设设设设 分别表示两人达到的时间，分别表示两人达到的时间，分别表示两人达到的时间，分别表示两人达到的时间， 则两人能会面的充要条件是则两人能会面的充要条件是则两人能会面的充要条件是则两人能会面的充要条件是4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念1616/16/16蒲丰投针问题 平面上画有间隔为d 的等距平行线， 向平面任意投掷一枚长为l 的针， 求针与平行线相交的概率.4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念1717/16/16蒲丰投针问题(续1)解： 以x表示针的中点与最近一条
23、平行线的距离， 又以表示针与此直线间的交角. 易知样本空间满足： 0 x d/2; 0 . 形成x-平面上的一个矩形，其面积为：S = d( /2). 4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念1818/16/16蒲丰投针问题(续2) A = “针与平行线相交” 的充要条件是: x l sin ( /2). 针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法 求解得4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念1919/16/16购买：从01，35 中选7个号码.开奖：7个基本号码，1个特殊号码. 彩票问题幸运35选74 4 等可能概型等可能概
24、型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念2020/16/16中奖规则 1) 7个基本号码 2) 6个基本号码 + 1个特殊号码 3) 6个基本号码 4) 5个基本号码 + 1个特殊号码 5) 5个基本号码 6) 4个基本号码 + 1个特殊号码 7) 4个基本号码，或 3个基本号码 + 1个特殊号码 4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念2121/16/16中奖概率 中所含样本点个数:将35个号分成三类： 7个基本号码、 1个特殊号码、 27个无用号码记 pi 为中i 等奖的概率。那么： 4 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念2222/16/16中奖概率如下：不中奖的概率为： p0=1p1p2p3p4p5p6 p74 4 等可能概型等可能概型第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念2323/16/16例:甲掷硬币n+1次，乙掷n次. 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率. 解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数. 甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数.因为 P(甲正乙正)= P(n+1-甲反 n-乙反)= P(甲反-1乙正) (对称性)所以 2P(甲正乙正)=1, 由此得 P(甲正乙正)=1/2
