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1、第三章 恒定电场什么是恒定电场？静电场：静止电荷产生的电场静态平衡恒定电流：电荷的流动不随时间改变动态平衡恒定电场：维持恒定电流的电场为恒定电场传导电流导电煤质中传导电流是指大量排列在一起的电荷在受到外电场力外电场力的作用之下，朝着一个固定的方向移动，因而实现电能的传导电能的传导的。每一个电荷位移十分微小的，仅仅在平衡位置附近运动平衡位置附近运动。但由于电荷排列的紧密，受力电荷通过与相邻电荷的碰撞，将能量传导给下一个电荷，瞬时传到很远的地方。运流电流真空或空气中运流电流是真空或自由空间的电荷在电场力电场力的作用下运动而产生的电流。从宏观上来看，电荷是从一个地方移动到另一个地方。电荷是从一个地方
2、移动到另一个地方。由于它不需要提供大量排列紧密的电荷，因此不需要导体来维持电荷的流动恒定电场实例不接导电媒质时，在外源中非静电力作用下，正负电荷不断地移向正负极板PN。极板上的电荷形成电场E，其方向由正极板指向负极板，而且随着极板上电荷的增加不断增强。由极板上电荷产生的电场力阻止电荷继续移动，极板电荷产生的电场力等于外源中的非电力时，外源的电荷运动方才停止，极板上的电荷也就保持恒定。E导电媒质PNE外 源 若外源的极板之间接上导电媒质，正极板上的正电荷通过导电媒质移向负极板；负极板上的负电荷通过导电媒质移向正极板。因而导致极板上电荷减少，使得外源中由极板电荷形成的电场E小于外电场，外电场又使外
3、源中的正负电荷再次移动，外源不断地向正极板补充新的正电荷，向负极板补充新的负电荷。当达到动态平衡时，极板上的电荷分布保持不变。这样，极板电荷在外源中以及在导电媒质中产生恒定电场，且在外源内部保持，在包括外源及导电媒质的整个回路中维持恒定的电流。注意：极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的电荷并不是静止的。它们是在不断地更替中保持分布特性不变，因此，这种电荷称为驻立电荷。驻立电荷是在外源作用下形成的，一旦外源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。恒定电场动态平衡的电荷静电场静态平衡的电荷I 是通量,是平均概念,并不反映电流在每一点的流动情况。 1.2 1.2 恒定电场的基本物理量恒定电场的基本物理量电
4、流密度电流密度 J J称为该点上的电流体密度矢量矢量。1.11.1电流强度电流强度1 1 导电媒质中的电流导电媒质中的电流图1.1 电流面密度矢量单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。 在导体中流动的电流任一点上，若正电荷运动的方向（即电流方向）为n n，S为该点上垂直于n n的面元， I为面元上通过的电流，则定义矢量：1. 1. 体电流密度矢量体电流密度矢量 (3)(3)运动电荷的体电流运动电荷的体电流: :已知运动电荷的体密度v及运动速度v，如果在电流区域某点取一面元dS垂直于电流方向，则在dt时间内，穿过dS的电荷为：(2)(2)电流强度与电流密度的关系电流强度与电流密度的关系:
5、:则：说明说明(1) (1) 在恒定电场中，J J不是时间的函数，一般是空间坐标的函数。它的分布 反映了电流场的分布。恒定电场中也可以用J J矢量线来描绘电流场。2. 2. 面电流密度矢量面电流密度矢量 在工程中常遇到电流在厚度可以忽略的薄层中流动的情况，这时引入面电流概念来描述。若某点电流方向为n n，l为该点上垂直于n n的线元， I为线元上通过的电流，则：或 交变电场的集肤效应，即高频情况下，电流 趋於表面分布，可用面电流密度表示。 媒质的磁化，其表面产生磁化电流可用面电 流密度表示,如图示；工程意义：工程意义：媒质的磁化电流 电流线密度及其通量 3 3、线电流、线电流 如果电流沿细导线
6、或空间一线形区域流动，则这样的电流可近似看作是沿截面为0的几何线流动的线电流I。 电流密度 vs 电荷密度 体 面 线1.3 1.3 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式式中 为电导率，单位s/m（ 西门子/米）。思考：此处的电流密度是体密度还是面密度？于是:在金属导体内部取一小的圆柱体欧姆定律的内容：说明说明材 料 电导率/(S/m) 铁(99.98%) 107 黄铜 1.46107 铝 3.54107 金 3.10107 铅 4.55107 铜 5.80107 银 6.20107 硅 1.5610-3 常用材料的电导率常用材料的电导率 恒定电流场与恒定
7、电场相互依存。电流J与电场E方向一致。 电路理论中的欧姆定律由它积分而得，即 U=RI 欧姆定律的积分形式只适用于稳恒情况，而欧姆定律的微分形式不仅对 稳恒情况，而且对非稳恒情况也适用。 有些金属和化合物在降到接近绝对零度时，它们的电阻率突然减小到零，这种现象叫超导超导.例例3-13-1：运用欧姆定理的微分形式推导图中均匀导电材料(长度为L,导电率为，横截面为S)中的电压与电流关系式。SL解：在导电材料内部，有：J=E，J与E的方向均与电流方向一致。在导体两端点之间有：即即: :(电路中的欧姆定律)内容回顾内容回顾电流密度、欧姆定律、焦耳定律电流密度、欧姆定律、焦耳定律 电流密度 vs 电荷密
8、度 体 面 线欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式导电煤质中导电煤质中焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式 ? ? 恒定电场vs静电场 传导电流vs运流电流 1.4 1.4 焦尔定律的微分形式焦尔定律的微分形式（W） 对导体中的传导电流，电子在运动中不断地和原子发生碰撞从而传递能量 动能传递给原子温度升高能量损耗-焦耳热焦耳热 焦耳定律的积分积分形式在导体中，沿电流线方向取一长度为l、截面为S的体积元，该体积元内消耗的功率为 当V0，取P/V的极限， 焦耳定律的微分微分形式思考思考：焦耳定律是否适用于运流电流？不不行行！因为对于运流电流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电
9、荷与晶格碰撞的热能! 它表示某点的功率损耗等于该点的电场强度与电流密度的标积。 解法一例例3-23-2 一内、外半径分别为R1和R2的金属圆筒，长度为l ,其电阻率，若筒内外电势差为U，且筒内缘电势高，圆柱体中径向的电流强度及焦耳功率密度。先求IJP解法二I，J，E，P先假定IJP2.1 2.1 电流连续性方程电流连续性方程: :电荷守恒散度定理2 2 恒定电场的基本性质恒定电场的基本性质从任一闭合面流出的总电流闭合面所包围的体积中单位时间电荷的减少量电流连续性方程电流连续性方程在恒定电场中恒定电场是一个无散场，电流线是连续的。恒定电场是一个无散场，电流线是连续的。故 2. 2. E的旋度的旋
10、度恒定电场是无旋场。恒定电场是无旋场。 所取积分路径不经过电源不经过电源，则 斯托克斯1. 1. J J的散度的散度2.2 2.2 恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程 E导电媒质PN E外 源 动态平衡时，驻立电荷不变，其产生的恒定电场与静止电荷产生的静电场一样，也是一种保守场。因此，它沿任一闭合回路的线积分应为零，即思考思考：既是无散场，又是无旋场，可能吗？：既是无散场，又是无旋场，可能吗？3. 3. 恒定电场的电位表示恒定电场的电位表示2.2 2.2 恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程 在电源外部在电源外部, ,电位满足拉普拉斯方程电位满足拉普拉斯方程在电源内部，是否满足？在电源内部，
11、是否满足？4. 4. 恒定电场（电源外）的基本方程恒定电场（电源外）的基本方程当为无穷大时，导体称为理想导体, 此时导体内电场才为零，而在静电场中所有导体内部电场为零当为0时，导体称为理想介质例例3-33-3: : 证明在稳恒状态下理想导体中不存在自由电荷。证明在稳恒状态下理想导体中不存在自由电荷。为弛豫时间证明：由电流连续性方程可知：因为：所以：对理想导体，对理想导体， = =无穷大，所以无穷大，所以 =0=0，即在理想导体中不存在自由电荷。，即在理想导体中不存在自由电荷。当导体接上电源开始充电时，电流密度随时间变化，一段时间后趋于稳定，则没有体电荷存在，这个趋于稳定的时间叫驰豫时间驰豫时间
12、驰豫时间定义为电荷密度下降到原来的1/e的时间2.3 2.3 分界面的边界条件分界面的边界条件2.3 2.3 分界面的边界条件分界面的边界条件说明分界面上电场强度的切向分量是连续的，电流密度法向分量是连续的。说明分界面上电场强度的切向分量是连续的，电流密度法向分量是连续的。折射定律把恒定电场的基本方程用在两种煤质的分界面上分界面上E线的折射1） 两种不同导电媒质的分界面上一般有自由电荷分布。如在第一媒质（1、1）和第二媒质（2、2）的分界面上，自由面电荷密度为：2） 若两种导电媒质是金属媒质，则12 ，s=(2/1-1)E2n,由于21，即s0。故恒定电场中不同导电媒质的分界面上是有自由面电荷
13、存在的。这些电荷是在电场、电流进入稳恒之前的过渡过程中积累的。例3-4：电压U加于面积为S的平行板电容器上，两块极板之间的空间填充两种有损电介质，它们的厚度、介电常数、电导率分别为和 ，如图3-4所示。求：（1）极板间的电流密度J；（2）在两种电介质中的电场强度 和 ；（3）极板上和介质分界面的 。解解 （1）显然，极板的电导率远大于有损介质的电导率，忽略边缘效应，介质中的电流应垂直于导板面，又由J的法向分量连续性保证了两种媒质中的电流密度相同，即（3）上下极板的面电荷密度介质分界面上有：从这些结果可以看出：从这些结果可以看出：（2）两种电介质中的电场强度分别为2.4 2.4 恒定电场的边值问
14、题恒定电场的边值问题分界面的边界条件： 很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下，求出拉普拉斯方程的解答（边值问题）。拉普拉斯方程由恒定电场的性质可知： 2.5 2.5 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟表2 两种场对应物理量 静电场导电媒质中恒定电场（电源外）E EE ED DJ JI q表1 两种场所满足的基本方程和重要关系式 恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）静电场静电场 两种场各物理量所满足的方程一样，若边界条件也相同，那么，通过对两种场各物理量所满足的方程一样，若边界条件也相同，那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。一个场的求解或实
15、验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。 当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度场的分布与电位移强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情况下，恒定电流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为静电比拟。 例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示： PN电流场PN静电场那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。 3.1 3.1 电导的计算电导的计算1.1.直接用电流场计算直接用电流场计算3.3.电导与接地电阻的计算（静电比拟法应用实例）电导与接地电阻的计算（静
16、电比拟法应用实例） 2.2.静电比拟法静电比拟法设设即即 例例3-53-5：求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为R1、R2，长度为，长度为 , ,中间媒中间媒质的电导率为质的电导率为 ，介电常数为，介电常数为 。解法一解法一 直接用电流场的计算方法直接用电流场的计算方法设电导：绝缘电阻解法二解法二 静电比拟法静电比拟法由静电场解得则根据关系式得同轴电缆电导绝缘电阻图2.5.1 同轴电缆横截面3.2 3.2 接地电阻接地电阻深埋球形接地器 接地电阻 安全接地：为了保证人员及设备的安全而与大地相连 工作接地：为了消除设备的导电部分对地电压的升高而与大地相
17、连接地体电阻接地体与大地的接触电阻电流在土壤中流散的土壤电阻 （接地电阻以此电阻为主）接地电阻越大越好吗？接地体：将金属导体埋入地内，需接地的部分与该导体相连问题问题1. 1. 深埋球形接地器：深埋球形接地器： 解：深埋接地器可不考虑地面影响,其电流场可与无限大区域 的孤立圆球的电流场相似。接地电阻的计算接地电阻的计算图2.5.3深埋球形接地器解法一解法一 直接用电流场的计算方法直接用电流场的计算方法解法二解法二 静电比拟法静电比拟法实际电导 接地器接地电阻 问题问题2.2.浅埋半球形接地器浅埋半球形接地器解：可考虑用解：可考虑用静电比拟法进行求觖静电比拟法进行求觖：图2.5.6 浅埋半球形接
18、地器为保护人畜安全起见（危险电压取40V)在电力系统的接地体附近，要注意危险区要注意危险区。相应为危险区半径3.3 3.3 跨步电压跨步电压 半球形接地器的危险区以浅埋半球接地器为例如何计算危险区域？如何计算危险区域？屏蔽室接地电阻（深度20米）高压大厅网状接地电阻（深度1米）地阻测试仪本章小结本章小结电流密度、欧姆定律、焦耳定律电流密度、欧姆定律、焦耳定律 电流密度 vs 电荷密度 体 面 线欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式导电煤质中导电煤质中焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式 恒定电场vs静电场 传导电流vs运流电流 本章小结本章小结基本方程与边界条件基本方程与边界条件恒定电场（电源
19、外）的基本方程恒定电场（电源外）的基本方程边界条件与基本方程边界条件与基本方程拉普拉斯方程恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟接地电阻接地电阻作作 业业1.课本第课本第109109页：页：3-63-6题题2.2.课本第课本第109109页：页：3-83-8题题3.3.课本第课本第109109页：页：3-93-9题题 例例 3-63-6 设同轴线的内导体半径为a, 外导体的内半径为b，内、 外导体间填充电导率为的导电媒质，如下图所示，求同轴线单位长度的漏电电导。 解法一解法一：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体， 设流过半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内任一点的电流密度
20、和电场为 内、外导体间的电压为 漏电电导为 解法二解法二：也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P=I2R求出漏电电阻R： 例3-7 已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图示。其介电常数分别为 1 和 2 ，电导率分别为 1 和 2 ，厚度分别为 d1 和 d2 。当外加恒定电压为 V 时，试求两层介质中的电场强度，单位体积中的电场储能及功率损耗。 1 1 2 2d1d2U解 由于电容器外不存在电流，可以认为电容器中的电流线与边界垂直，求得 又由此求出两种介质中的电场强度分别为 两种介质中电场储能密度分别为 两种介质中单位体积的功率损耗分别为 两种特殊情况值得注意：当 时，当 时，d1d2 1= 0E 2= 0UE 1= 0 2= 0U例3-8 设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面之间的电阻。 Uyxtabr0(r,)0解 选用圆柱坐标系求解方便。设两个端面之间的电位差为U，且令 当角度 时，电位 。当角度 时，电位 。那么，由于导电媒质中的电位 仅与角度 有关，因此电位满足的方程式为此式的通解为 利用给定的边界条件，求得 导电媒质中的电流密度 J 为 那么由 的端面流进该导电媒质的电流 I 为 因此该导电块的两个端面之间的电阻 R 为
