大学物理质点动力学

《大学物理质点动力学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学物理质点动力学（67页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 2 1 牛牛 顿顿 定定 律律第二章第二章 牛牛 顿顿 定定 律律一一 牛顿第一定律牛顿第一定律任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态,直到外直到外力迫使它改变运动状态为止力迫使它改变运动状态为止.惯性惯性: 物体都具有保持其运动状态不变的性质物体都具有保持其运动状态不变的性质,物体惯物体惯性的大小反映了物体改变运动的难易程度性的大小反映了物体改变运动的难易程度.力力: 使物体运动状态发生变化的原因使物体运动状态发生变化的原因二二 牛顿第二定律牛顿第二定律动量为动量为 的物体的物体,在合外力在合外力 的作用下的作用下,其动量其动量随时间的变化率等于作

2、用于物体的合外力随时间的变化率等于作用于物体的合外力,即即物体运动速度物体运动速度远小于光速远小于光速c:或或(1) 只适用于质点的运动只适用于质点的运动(2) 合外力与加速度之间的关系是瞬时关系合外力与加速度之间的关系是瞬时关系(3) 在直角坐标系中在直角坐标系中:(4) 质点在平面上作曲线运动质点在平面上作曲线运动,在自然坐标系中在自然坐标系中:Aa三三 牛顿第三定律牛顿第三定律两个物体之间的作用力两个物体之间的作用力 和反作用力和反作用力 ,沿同一直线沿同一直线,大小相等大小相等,方向相反方向相反,分别作分别作 用在两个物体上用在两个物体上.(1) 作用力和反作用力同时产生作用力和反作用

3、力同时产生,同时存在同时存在,同时消失同时消失.(2) 作用力和反作用力分别作用在两个物体上作用力和反作用力分别作用在两个物体上.(3) 作用力和反作用力总是属于同种性质的力作用力和反作用力总是属于同种性质的力.2 2 物理量的单位和量纲物理量的单位和量纲1、三个基本量三个基本量：长度长度 单位：米单位：米 （m） L 质量质量 单位：千克单位：千克 （kg） M时间时间 单位：秒单位：秒 （ s ） T2、导出量导出量：其他由基本量表示的力学物理量都称为：其他由基本量表示的力学物理量都称为导出量，表示为：导出量，表示为：量纲式量纲式2 - 3 几种常见的力几种常见的力 （1）万有引力：）万有

4、引力：任何两个物体间都存在着互相作用的任何两个物体间都存在着互相作用的吸引力称为万有引力。其数学表达式为：吸引力称为万有引力。其数学表达式为：地面上或地面附近的物体所受地球的引力叫重力地面上或地面附近的物体所受地球的引力叫重力 mg ，（2）弹性力：）弹性力：直接接触的物体间由于形变而产生的力。直接接触的物体间由于形变而产生的力。如绳子张力，两物体互相接触时的正压力与支持力、弹如绳子张力，两物体互相接触时的正压力与支持力、弹簧的弹力（簧的弹力（ ）。）。（3）摩擦力：）摩擦力：当两物体的接触面间有相对滑动或相当两物体的接触面间有相对滑动或相对滑动趋势时，在接触面的切向上产生阻碍物体相对对滑动趋

5、势时，在接触面的切向上产生阻碍物体相对运动的力。摩擦力可分为静摩擦力和滑动摩擦力运动的力。摩擦力可分为静摩擦力和滑动摩擦力例：例：一只猫跳起来想抓住一根用线吊在天花板上的垂直一只猫跳起来想抓住一根用线吊在天花板上的垂直杆子，在此时线断了。假使此猫沿着垂直杆子继续上爬，杆子，在此时线断了。假使此猫沿着垂直杆子继续上爬，向上爬的快慢正好使猫离地的高度保持不变，试问该杆向上爬的快慢正好使猫离地的高度保持不变，试问该杆向下运动的加速度比向下运动的加速度比 g 大还是比大还是比 g 小？（猫的质量为小？（猫的质量为M，杆的质量为，杆的质量为m）答：猫要能向上爬，必定要用爪用力地向下蹬杆子，答：猫要能向上

6、爬，必定要用爪用力地向下蹬杆子，杆产生一个反作用力杆产生一个反作用力N，作用在猫身上，现在猫相对地，作用在猫身上，现在猫相对地面高度不变时，即保持静止，作用在猫身上的合力为面高度不变时，即保持静止，作用在猫身上的合力为零，所以零，所以N应等于重力应等于重力 Mg 。式中，式中， 为静摩擦力；为静摩擦力； 为最大静摩擦力；为最大静摩擦力； 为滑动为滑动摩擦力；摩擦力；N为正压力；为正压力； 为静（滑动）摩擦系数。为静（滑动）摩擦系数。 既然杆有力既然杆有力N作用在猫身上，则杆也一定受猫的蹬作用在猫身上，则杆也一定受猫的蹬力力大小等于大小等于N，方向向下，所以杆受到的两个力，方向向下，所以杆受到的

7、两个力（mg+N）方向均向下，其向下运动的加速度就大于）方向均向下，其向下运动的加速度就大于g 。2 4 惯性参考系惯性参考系靜止靜止火车火车火车火车没问题！没问题！火车火车奇怪奇怪?AABB问题出在：在非惯性系中用了牛顿第二定律问题出在：在非惯性系中用了牛顿第二定律(1) 适用牛顿运动定律的参考系叫做惯性参考系适用牛顿运动定律的参考系叫做惯性参考系,简称惯性系；反之简称惯性系；反之,叫做非惯性系叫做非惯性系.(2) 相对于惯性系作匀速直线运动的参考系都是惯性系相对于惯性系作匀速直线运动的参考系都是惯性系.靜止靜止匀速直匀速直线运动线运动应用牛顿定律求解质点运动方程的步骤应用牛顿定律求解质点运

8、动方程的步骤: (1) 认真分析题意认真分析题意,根据题意作一简图根据题意作一简图,把把所有物理量所有物理量标出标出. (2) 正确选定对象正确选定对象,使用分割物体法使用分割物体法.(3) 受力分析受力分析,先找重力先找重力,再在其他物体与隔离体接触的再在其他物体与隔离体接触的地方去找隔离体所受的张力、压力和摩擦力地方去找隔离体所受的张力、压力和摩擦力,并把这些力并把这些力按方向标在隔离图上按方向标在隔离图上,不要虚构出力来不要虚构出力来(追问施力者是谁追问施力者是谁). (4) 分析物体运动情况分析物体运动情况(是静止的还是运动的是静止的还是运动的).(5) 写出每一个隔离体的牛顿运动方程

9、写出每一个隔离体的牛顿运动方程(矢量的矢量的),一般一般取加速度方向为坐标轴正向取加速度方向为坐标轴正向(坐标系不能建在加速运动坐标系不能建在加速运动物体上物体上),写出分量式写出分量式.当方程式数少于末知量数当方程式数少于末知量数,加速度加速度变换关系式可作为辅助方程变换关系式可作为辅助方程.(6) 解方程解方程.先用符号计算先用符号计算,最后代入数字最后代入数字,以便于检查以便于检查.所以所以,在考虑了惯性系后在考虑了惯性系后,牛顿第二定律应理解为牛顿第二定律应理解为牛顿第二定律应用举例牛顿第二定律应用举例: 一辆质量一辆质量m=4kg的雪撬的雪撬,沿着与水平面夹角沿着与水平面夹角=36.

10、90的的斜坡向下滑斜坡向下滑动,所受空气阻力与速度成正比所受空气阻力与速度成正比,比例系数比例系数k未知未知.今今测得雪撬运得雪撬运动的的vt关系如关系如图曲曲线所示所示.曲曲线与与v轴交点交点处的切的切线通通过B点点,随着随着t的增加的增加,v趋近于近于10m/s.求阻力系数求阻力系数k及雪橇与斜坡及雪橇与斜坡间的滑的滑动摩擦系数摩擦系数(sin36.90=0.6,cos36.90=0.8).0t(s)v(m/s)24651015B(4,14.8)解解: 画受力图画受力图mgf1f2aN在直角坐标系下写出牛顿运动方在直角坐标系下写出牛顿运动方程的分量式程的分量式 mgsin-mgcos-kv

11、=mat=0时时,v0=5,a0=(14.8-5)/4=2.45 时时,v=10,a=0. 代入上式得代入上式得k=ma0 /(v-v0)=1.96 N.s/m =(mgsin-kv)/mgcos=0.125 所以所以a表示的是表示的是vt曲线上切线的斜率曲线上切线的斜率 例例: 一细绳跨过光滑的定滑轮，一端挂一细绳跨过光滑的定滑轮，一端挂M，另一端被，另一端被 人用双手拉着，人的质量人用双手拉着，人的质量m=M/2，若人相对于绳以，若人相对于绳以加速度加速度 a0 向上爬，则人相对于地的加速度（向上为正）向上爬，则人相对于地的加速度（向上为正）是：是： （2a0+g)/3解解: 画受力图画受

12、力图mgTMgTa0aMam对每一隔离体写出牛顿运动方程对每一隔离体写出牛顿运动方程M: T-Mg=MaMm: T-mg=mam末知量末知量T、aM和和am共三个共三个,多于方程数多于方程数由加速度变换式由加速度变换式am = a0 - aM联解上面二式得联解上面二式得am = g +2aM am = (2a0+g)/3最后解得最后解得a绳地绳地=aM 方向如图所示方向如图所示.a绳地绳地所以分量式为所以分量式为 例例3：一光滑的劈，质量为一光滑的劈，质量为 M ，斜面倾角为，斜面倾角为 ， 并位于光滑的水平面上，另一质量为并位于光滑的水平面上，另一质量为 m 的小块物的小块物 体，沿劈的斜面

13、无摩擦地滑下，体，沿劈的斜面无摩擦地滑下， 求劈对地的加速度。求劈对地的加速度。解解：研究对象：研究对象：m 、M设设M对对地地的加速度的加速度 受力分析：如图受力分析：如图m 对对M的加速度的加速度m 对对地地的加速度的加速度因此因此 运动方程：运动方程：对对m：对对M：以以地地为参照系，建立坐标如图为参照系，建立坐标如图矢量式矢量式:联解后得联解后得: 例例4：质量为质量为m的子弹以速度的子弹以速度 v0 水平射入沙土中，水平射入沙土中， 设子弹所受的阻力与速度反向、大小与速度成正设子弹所受的阻力与速度反向、大小与速度成正 比，比例系数为比，比例系数为 k ，忽略子弹的重力。求：，忽略子弹

14、的重力。求：（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；（2）子弹进入沙土的最大深度。）子弹进入沙土的最大深度。解：解：（1）根据牛顿第二定律，根据牛顿第二定律，等式两边积分等式两边积分积分得积分得速度随时间的函数式是速度随时间的函数式是（2）两边积分两边积分得出子弹进入沙土的最大深度是：得出子弹进入沙土的最大深度是： 例例5：如图所示，已知如图所示，已知 F=4N ，m1=0.3kg ， m2=0.2kg ，两物体与水平面的摩擦系数均为，两物体与水平面的摩擦系数均为0.2 。求物体求物体m2的加速度及绳子对它的拉力（绳子和滑轮的质的加速度及绳子对它

15、的拉力（绳子和滑轮的质量均不计）。量均不计）。m1m2Fm1gT1N1Fm2gT2N2 解：解：m1 ，m2的受力情况如的受力情况如图所示，对图所示，对m1所以所以两个方程有三个（两个方程有三个（T1，a1，a2）未知数，须增加新方程，）未知数，须增加新方程，一般从加速度之间找新方程。一般从加速度之间找新方程。m1m2Fx1x2x如右图所示建立如右图所示建立 x坐标，轮的坐标，轮的坐标为坐标为x1，m2的坐标为的坐标为x2，绳，绳长为长为L，轮的半径为，轮的半径为R，则，则等式两边对时间等式两边对时间 t 求导求导 式联立方程求解，可得式联立方程求解，可得(轮与物体轮与物体m1的加速度相同）的

16、加速度相同） 例例6：桌上有一质量桌上有一质量M=1 kg的板，板上放一质量的板，板上放一质量m=2 kg的物体，物体和板之间、板和桌面之间的滑动的物体，物体和板之间、板和桌面之间的滑动摩擦系数均为摩擦系数均为=0.25，最大静摩擦系数均为，最大静摩擦系数均为0=0.30，以水平力以水平力F作用于板上，如图所示。求作用于板上，如图所示。求：（1）若物体若物体与板一起以与板一起以a=1 m/s-2 的加速度运动，试计算物体与板的加速度运动，试计算物体与板以及板与桌面之间相互作用的摩擦力。以及板与桌面之间相互作用的摩擦力。（2）若欲使板若欲使板从物体下抽出，问力从物体下抽出，问力F至少要加到多大？

17、至少要加到多大？MmaF解解：（1）物体与板一起运动）物体与板一起运动时，选整体为研究对象，它时，选整体为研究对象，它们对桌面的压力的大小等于们对桌面的压力的大小等于重力，即重力，即 NM=(m+M)g ，故，故板与桌面间的摩擦力大小为板与桌面间的摩擦力大小为由于物体由于物体m与板一起以加速度与板一起以加速度a=1 m/s-2 运动，故运动，故物体与板之间的摩擦力大小为物体与板之间的摩擦力大小为F（2）欲使板从物体下面抽出，物体）欲使板从物体下面抽出，物体m所受的摩擦力必须所受的摩擦力必须达到最大静摩擦力，即达到最大静摩擦力，即 ，并获得最大的加，并获得最大的加速度速度 ，板也必须获得不小于，

18、板也必须获得不小于 a0 的加速度。的加速度。板的受力情况如右图所示，对板有板的受力情况如右图所示，对板有将将代入可得代入可得即欲使板从物体下面抽出，力即欲使板从物体下面抽出，力F至少要加到至少要加到16.17N 。例例7：绳长为绳长为L，摆锤质量为，摆锤质量为m的一单摆，如图所示，单的一单摆，如图所示，单摆的运动方程摆的运动方程 ， 为细线与铅直线所成的为细线与铅直线所成的角，角， 和和 均为常数，求绳子的张力均为常数，求绳子的张力T。解：解：当摆运动到图示角的位置当摆运动到图示角的位置时，小球时，小球m受重力及绳子受重力及绳子的张力的张力T，取自然坐标，其法向分量的合力，取自然坐标，其法向

19、分量的合力OTmg 例例8:可以看作非弹性金属环组成的均质链条，堆放在可以看作非弹性金属环组成的均质链条，堆放在 光滑的水平作面上（其堆放体的体积可忽略不计），光滑的水平作面上（其堆放体的体积可忽略不计），它的一端从光滑的小孔由静止自由下落，没有进入小孔的它的一端从光滑的小孔由静止自由下落，没有进入小孔的链条在桌面上保持静止，试求下落的端点的运动学方程。链条在桌面上保持静止，试求下落的端点的运动学方程。y分析：分析：链条落下部分质量是变化的，即链条落下部分质量是变化的，即 ，链条所受和，链条所受和 外力仅为外力仅为 用，用，由牛顿定律由牛顿定律 通过积分运算通过积分运算即可求即可求 。解：解：

20、设链条落下部分的长度为设链条落下部分的长度为y，只有这一，只有这一部分有加速度，其余部分仍为静止，根据部分有加速度，其余部分仍为静止，根据牛顿定律并注意到此时落下部分质量是变牛顿定律并注意到此时落下部分质量是变化的，设链条的线密度为化的，设链条的线密度为 ，则有，则有即即上式两边同乘以上式两边同乘以 2y 化简得化简得即即由题意由题意 y=0时，时，v=0 积分上式积分上式即即而而 ，因此，因此t=0时，时，y=0 积分上式积分上式得链条下落端点的运动方程为得链条下落端点的运动方程为 例例9:一桶内盛水一桶内盛水,系于绳的一端系于绳的一端,并绕并绕O点以角速度点以角速度w在在 竖直平面内匀速旋

21、转。设水的质量为竖直平面内匀速旋转。设水的质量为m，桶的质量为，桶的质量为M，圆周半径为，圆周半径为R，问，问w应为多大时才能保证水不流出来应为多大时才能保证水不流出来？又问在最高点和最低点时绳中的张力为多大？又问在最高点和最低点时绳中的张力为多大？解：解：选水为研究对象，水受力如图。选水为研究对象，水受力如图。OOPN（1）如图，对水受力分析有）如图，对水受力分析有令令N=0，此时水恰好不能流出来，此时水恰好不能流出来，得，得当当 时，水不会流出来。时，水不会流出来。（2）把水和桶看作一个整体，其受力如图：）把水和桶看作一个整体，其受力如图：ONP1P1T最最高高点点最最低低点点解得最高点和

22、最低点绳中的张力分别是解得最高点和最低点绳中的张力分别是第三章第三章 动量守恒定律和能量守恒定律动量守恒定律和能量守恒定律3 1 质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理一一 冲量冲量 质点的动量定理质点的动量定理由牛顿第二定律由牛顿第二定律积分得：积分得：物体所受合外力的冲量物体所受合外力的冲量,等于等于物体动量的增量物体动量的增量质点的动量定质点的动量定理理 2. 冲量是矢量冲量是矢量,其方向为其方向为:1) 恒力的冲量与该力的恒力的冲量与该力的方向一致方向一致.2) 合外力的冲合外力的冲量的方向与物量的方向与物体动量增量的体动量增量的方向相同方向相同. 1. 冲量是力对时间的累冲量是

23、力对时间的累积效应积效应.其中力其中力 不一定不一定是合外力是合外力,但在动量定理但在动量定理中中 一定是合外力一定是合外力. 定义定义: 为力为力 的冲量的冲量因此因此3. 直角坐标系下分量式直角坐标系下分量式二二 质点系的动量定理质点系的动量定理将两式相加将两式相加,得得12推广到由推广到由n个质点组成的系统个质点组成的系统合外力合外力合内力合内力总动量总动量内力总是成对出现内力总是成对出现,且大小相等且大小相等,方向相反方向相反,其矢量和必为零其矢量和必为零.因因此此,或或作用于系统的合外力的冲作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量量等于系统动量的增量.质点系的动量定理质点系的动量定

24、理对于无限小的时间间隔对于无限小的时间间隔或或3 2 动量守恒定律动量守恒定律=恒矢量恒矢量,即即动量守恒定律在直角坐标系中的分量式可表示为：动量守恒定律在直角坐标系中的分量式可表示为：*系统根本不受外力或合外力为零系统根本不受外力或合外力为零注意注意 （1） 动量守恒定律成立的条件：动量守恒定律成立的条件： （2） 系统在某一方向所受合外力为零，系统在该方向系统在某一方向所受合外力为零，系统在该方向动量守恒。（总动量不一定守恒）动量守恒。（总动量不一定守恒）（3） 系统的总动量不变是指系统内各物体动量的矢系统的总动量不变是指系统内各物体动量的矢量和不变，而不是指其中某一个物体的动量不变。量和

25、不变，而不是指其中某一个物体的动量不变。（4）在实际应用中，有时系统所受的合外力虽不为零，）在实际应用中，有时系统所受的合外力虽不为零，但与系统的内力相比较，外力远小于内力，这时可但与系统的内力相比较，外力远小于内力，这时可略去外力对系统的作用，认为系统的动量的是守恒略去外力对系统的作用，认为系统的动量的是守恒的。像的。像碰撞、打击、爆炸碰撞、打击、爆炸等快速的相互作用问题中，等快速的相互作用问题中，重力、空气阻力以及弹簧的弹性力都可略去不计。重力、空气阻力以及弹簧的弹性力都可略去不计。（5）动量定理和动量守恒定律只在）动量定理和动量守恒定律只在惯性系惯性系中才成立，中才成立， 而且各物体的动

26、量必须都应相对于同一惯性系。而且各物体的动量必须都应相对于同一惯性系。（6）动量守恒定律是物理学最基本、最普遍的定理之）动量守恒定律是物理学最基本、最普遍的定理之一。它在一。它在宏观宏观和和微观微观领域中都适用。领域中都适用。解题指导：解题指导： （1）求冲量的两种方法：）求冲量的两种方法： 力力 是时间的函数，根据定义式求冲量，即是时间的函数，根据定义式求冲量，即若不知道若不知道 的函数形式，而知道物体的质量及在力的函数形式，而知道物体的质量及在力作用下物体的初、末速度作用下物体的初、末速度 ，可根据动量定律求冲，可根据动量定律求冲量，量， 即即但要注意：但要注意： 是两矢量相减，绝对不能用

27、代是两矢量相减，绝对不能用代数相减。数相减。（3）利用动量守恒定律时的注意事项：）利用动量守恒定律时的注意事项：（2）利用动量定理可求得作用力的平均值）利用动量定理可求得作用力的平均值 例例、一吊车底板上放一质量为、一吊车底板上放一质量为10kg的物体，若吊车的物体，若吊车 底板加速上升，加速度大小为底板加速上升，加速度大小为a=3+5t（SI），则开始），则开始 2秒内吊车底板给物体的冲量大小秒内吊车底板给物体的冲量大小IN= ，开始，开始2 秒内，物体动量增量的大小秒内，物体动量增量的大小 P= aNmg解解: 根据质点的动量定理根据质点的动量定理垂直向下垂直向下 mv/t300300A解

28、解: 根据题意根据题意,设管壁对水设管壁对水的平均冲力为的平均冲力为 ,它是水对它是水对管壁平均冲力的反作用力管壁平均冲力的反作用力.根据动量原理根据动量原理分量式为分量式为y: Fy t = mvsin300 m( - v sin300)= mv例例: 一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着,绳的下绳的下端刚好触到水平桌面上端刚好触到水平桌面上.如果把细绳上端放开如果把细绳上端放开,绳将落到绳将落到桌面上桌面上.试证明试证明,在绳下落的过程中在绳下落的过程中,任意时刻作用于桌任意时刻作用于桌面面 的压力的压力,等于己落到桌面上的绳重量的三倍等于己落到桌面上的

29、绳重量的三倍.xyx: Fx t = mvcos300 - mvcos300= 0 如图所示如图所示,有有m千克的水以初速度千克的水以初速度 进入弯管进入弯管,经经t秒秒 后流出时的速度为后流出时的速度为 ,且且v1=v2=v,在管子转弯处在管子转弯处,水对水对管壁的平均冲力大小是管壁的平均冲力大小是 ,方向方向 .(管管内水受到的重力不考虑内水受到的重力不考虑)证证: 取如图所示坐标取如图所示坐标.设在时刻设在时刻t已有已有x长的柔绳落至桌长的柔绳落至桌面面,此时质点系此时质点系(柔绳柔绳)的总动量为的总动量为mv其中其中m=(L-x).根据根据质点系点系动量原理的微分形式量原理的微分形式代

30、入代入(1)式得式得(1)正是已落到桌面上的绳重量正是已落到桌面上的绳重量,证毕证毕.而而Lxx0GN 例例: 如图如图,矿砂从传送带矿砂从传送带A落到另一传送带落到另一传送带B,已知已知 v1=4m/s,v2=2m/s.若传送带的运送量若传送带的运送量qm=2000kg/h,求矿砂求矿砂作用在传送带作用在传送带B上的力的大小和方向上的力的大小和方向(不计相对传送带静止的不计相对传送带静止的矿砂矿砂).v1v2300150BA解解: 研究对象研究对象: 时间时间内落到内落到B上的矿砂上的矿砂根据质点的动量定理的根据质点的动量定理的微分形式微分形式,150300由牛顿第三定律由牛顿第三定律,所求

31、力的大小为所求力的大小为2.21N,方向偏离竖直方向方向偏离竖直方向10向左向左下下. 力对质点所作的功是力对质点所作的功是:力在质点位移方向的分量与位移大力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积小的乘积.恒力的功恒力的功变力的功：变力的功：3 4 动动 能能 定定 理理一一 功功在线元在线元 上变力上变力 对质点所作的元功为对质点所作的元功为 变力变力 将质点由将质点由 a 移动移动 到到b, 所作的所作的总功总功1. 在直角坐标系中在直角坐标系中此式为变力作功的一般表达式此式为变力作功的一般表达式.,2. 若有几个力同时作用在质点上若有几个力同时作用在质点上,合力合力即即合力对质点所作的功合

32、力对质点所作的功,等于各分力所作的功的代数和等于各分力所作的功的代数和3. 功率功率二二. 质点的动能定理质点的动能定理abFdr质点的动能质点的动能,用用 Ek 表示表示,则上式为则上式为合外力对质点所作的功合外力对质点所作的功,等于质点动能的增量等于质点动能的增量. 10功是能量变化的量度功是能量变化的量度,是一过程量是一过程量,动能是质点具有作功的本领动能是质点具有作功的本领. 30动能定理只适用于惯性系动能定理只适用于惯性系. 将将 称作称作 20功是力对空间的累积效应功是力对空间的累积效应,其中的力其中的力 不一定是合外力不一定是合外力,但动能但动能定理中一定是合外力的功定理中一定是

33、合外力的功. 例：例：一沿一沿x轴正方向的力作用在一质量为轴正方向的力作用在一质量为3.0kg的质的质 点上。已知质点的运动学方程为点上。已知质点的运动学方程为 x = 3t-4t2+t3 （SI），），试求：试求：（1）力在最初）力在最初 4 s 内作的功；内作的功； （2）在）在 t = 1 s 时，力的瞬时功率。时，力的瞬时功率。 解解:（1）由运动学方程先求出质点的速度，依题意有）由运动学方程先求出质点的速度，依题意有质点的动能为质点的动能为根据动能定理，根据动能定理，力在最初力在最初 4 s 内作的功为内作的功为功率为功率为（2）所以在所以在 t = 1 s 时，时，力的瞬时功率力的

34、瞬时功率为为3 5 保守力与非保守力保守力与非保守力 势能势能一一 万有引力、重力、弹性力作功的特点万有引力、重力、弹性力作功的特点1. 万有引力作功万有引力作功万有引力作的功只取决于质点万有引力作的功只取决于质点m的起始和终点的位置的起始和终点的位置,而与所经过的路径无关而与所经过的路径无关.2. 重力作功重力作功重力作的功只取决于质点重力作的功只取决于质点m的的起始和终点的位置起始和终点的位置,而与所经过的路径无关而与所经过的路径无关.3. 弹性力弹性力作功作功弹性力作的功只取决于质点弹性力作的功只取决于质点m的起始和终点的位置的起始和终点的位置,而与所经过的路径无关而与所经过的路径无关.

35、二二 保守力与非保守力保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式保守力作功的数学表达式1. 保守力作功的特点保守力作功的特点: 保守力作功只与物体的始、末保守力作功只与物体的始、末位置位置有关有关,与路径无关与路径无关.具有相对性具有相对性.如重力、弹性力和万有引力等如重力、弹性力和万有引力等. 2. 保守力作功的数学表达式保守力作功的数学表达式保守力将质点由保守力将质点由 a 沿任意路径移动到沿任意路径移动到 b 再由再由 b 沿任意路径移回到沿任意路径移回到 a 点点,3. 作功与路径有关的力叫做非保守力，也称耗散力作功与路径有关的力叫做非保守力，也称耗散力. 如摩擦力等如摩擦力等.三三 势

36、能势能由于保守力作功只与物体的始、末位置有关由于保守力作功只与物体的始、末位置有关,为此为此,引入引入势能概念势能概念.把与物体位置有关的能量称作物体的势能把与物体位置有关的能量称作物体的势能.重力势能重力势能引力势能引力势能弹性势能弹性势能保守力对物体作的功等保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值于物体势能增量的负值.讨论讨论: (1) 势能的相对性势能的相对性,势能的值与势能零点的选取势能的值与势能零点的选取有有 关关.势能零点可以任意选取势能零点可以任意选取,但在上述势能的表达式但在上述势能的表达式中中,引力势能的零点在无限远处引力势能的零点在无限远处,弹性势能的零点取在弹性势能的零点

37、取在弹簧原长时物体的位置弹簧原长时物体的位置.注意注意:任意两点的势能差具有任意两点的势能差具有绝对性绝对性. (2) 当势能的零点确定后当势能的零点确定后(例如在例如在 b 点点),质点在任一位置质点在任一位置(设为设为 a 点点)的势能的势能,等于把质点由该位置移到势能为零的等于把质点由该位置移到势能为零的参考点的过程中保守力所作的功参考点的过程中保守力所作的功.因为因为(3) 势能是属于系统的势能是属于系统的.例如例如,重力势能是属于地球和物重力势能是属于地球和物体组成的系统的体组成的系统的,常说物体的重力势能只是为叙述上的方常说物体的重力势能只是为叙述上的方便便.3 6 功能原理功能原

38、理 机械能守恒定律机械能守恒定律一一 质点系的动能定理质点系的动能定理设一系统内有设一系统内有n个质点个质点,作用于各质点的力所作的功分别为作用于各质点的力所作的功分别为W1,W2,使各质点由初动能使各质点由初动能Ek10,Ek20变为末动能变为末动能Ek1,Ek2,由质点的动能定理可得由质点的动能定理可得W1=Ek1-Ek10W2=Ek2-Ek20将各将各式相式相加得加得W外外+W内内系统动能系统动能即即质点系的动能的增量等于作用于质点系的外力的功与内力质点系的动能的增量等于作用于质点系的外力的功与内力的功之和的功之和 - 质点系的动能定理质点系的动能定理二二 质点系的功能原理质点系的功能原

39、理W内内=W保内保内+W非保内非保内动能和势能动能和势能统称机械能统称机械能初机械能初机械能:末机械能末机械能:W外外+W内内W保内保内W外外+W非保内非保内质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力作功之和质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力作功之和. 质点系的功能原理质点系的功能原理:*非保守内力的功非保守内力的功若把若把M、m看成一系统看成一系统,则则摩擦力摩擦力 、 和正和正压力压力 、 都是系统的内都是系统的内力力,以摩擦力以摩擦力 和和 为例为例,计算非保守内力的功计算非保守内力的功.由于内力总是成对出现由于内力总是成对出现,上式可用来计算一般内力作功上式可用来计算一般内力作功.

40、W外外+W非保内非保内=E E0注意：注意： 范围：惯性系、宏观低速运动（只有动量守恒、范围：惯性系、宏观低速运动（只有动量守恒、 角动量守恒、能量守恒对宏观、微观都适用）角动量守恒、能量守恒对宏观、微观都适用） 10 各定理、定律的表达式，适用条件，适用范围。各定理、定律的表达式，适用条件，适用范围。三三 机械能守恒定律机械能守恒定律则有则有当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时,质点系质点系的总机械能保持不变的总机械能保持不变.-机械能守恒定律机械能守恒定律(1) 质点系机械能守恒条件质点系机械能守恒条件:(2) 机械能守恒是指质点系内的动能和势能

41、之和保持不机械能守恒是指质点系内的动能和势能之和保持不变变,但动能和势能之间可以相互转换但动能和势能之间可以相互转换,这种转换是通过这种转换是通过质点系内的保守力作功来实现的质点系内的保守力作功来实现的.若若 W外外+W非保内非保内= 0W外外+W非保内非保内 = 0 40 有些力学问题涉及临界现象（如弹簧下面的板刚好有些力学问题涉及临界现象（如弹簧下面的板刚好提离地面，小球刚好脱离圆形轨道，木块刚好不下滑等）提离地面，小球刚好脱离圆形轨道，木块刚好不下滑等）解题时先建立解题时先建立运动运动满足的满足的方程方程，再加上，再加上临界条件临界条件（往往（往往是某些力为零或是某些力为零或 v 、a

42、为零等）为零等）50 特别注意用特别注意用高等数学高等数学来解的问题，凡有来解的问题，凡有极值极值问题问题要用要用求导求导的方法的方法。动能定理动能定理机械能守恒定律机械能守恒定律功能原理功能原理 解决问题的思路按此顺序倒过来，解决问题的思路按此顺序倒过来，首先考虑用守恒定首先考虑用守恒定 律解决问题律解决问题。若要求力的细节则必须用牛顿第二定律。若要求力的细节则必须用牛顿第二定律。 30 有些综合问题，既有重力势能，又有弹性势能，有些综合问题，既有重力势能，又有弹性势能，注注意各势能零点的位置意各势能零点的位置，不同势能零点位置可以相同，不同势能零点位置可以相同， 也也可以不同。可以不同。

43、20 由牛顿第二定律推出：由牛顿第二定律推出：动量定理动量定理动量守恒定律动量守恒定律3-7 完全弹性碰撞完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 （1）完全弹性碰撞）完全弹性碰撞：在碰撞后，两物体的：在碰撞后，两物体的动能之和动能之和完全没有损失的碰撞。完全没有损失的碰撞。（2）非弹性碰撞）非弹性碰撞：在两物体碰撞时，由于：在两物体碰撞时，由于非保守力非保守力作用，作用，致使机械能转换为热能、声能、化学能等其他形式的能致使机械能转换为热能、声能、化学能等其他形式的能量，或者其他形式的能量转换为机械能，这种碰撞就是量，或者其他形式的能量转换为机械能，这种碰撞就是非弹性碰撞。非弹性碰撞。（3）

44、完全非弹性碰撞）完全非弹性碰撞：两物体在非弹性碰撞后以：两物体在非弹性碰撞后以同一速同一速度运动度运动的这种碰撞。的这种碰撞。碰撞问题的特点是：碰撞瞬间外力冲量可被忽略，碰碰撞问题的特点是：碰撞瞬间外力冲量可被忽略，碰撞前后的动量守恒。撞前后的动量守恒。3-8能量守恒定律能量守恒定律 对于一个与自然界无任何联系的系统来说，系统内各种对于一个与自然界无任何联系的系统来说，系统内各种 形式的能量是可以相互转化的，但是不论如何转化，形式的能量是可以相互转化的，但是不论如何转化， 能量既不能产生，也不能消灭。能量既不能产生，也不能消灭。能量守恒定律能量守恒定律 例例、在光滑的水平桌面上，固定着如图所示

45、的半圆、在光滑的水平桌面上，固定着如图所示的半圆 形屏障形屏障,质量为质量为 m 的滑块以初速的滑块以初速V1 沿屏障一端的切沿屏障一端的切线方向进入屏障内滑块与屏障间的摩擦系数为线方向进入屏障内滑块与屏障间的摩擦系数为 . 求：求：当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力对它所作的功当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力对它所作的功俯视图俯视图解：研究对象解：研究对象 滑块滑块建立坐标：自然坐标建立坐标：自然坐标运动方程：运动方程：法向法向切向切向联立：联立：分析：变力作功，分析：变力作功， 用动能用动能定理必须先找出末态的定理必须先找出末态的V2请思考：能否请思考：能否 在此分离变在此分离变量量 ，积分

46、？，积分？受力分析：受力分析：因合外力的功只有摩擦力的功因合外力的功只有摩擦力的功, N 不作功，根据动能定理不作功，根据动能定理 由于末态的时刻由于末态的时刻 t 未知未知,然而末态时物体走过的路程然而末态时物体走过的路程 S 为为 已知已知,所以在微分形式时就应进行变量代换所以在微分形式时就应进行变量代换,即即 例：例：一质量一质量M=10kg 的物体放在光滑的水平桌面的物体放在光滑的水平桌面 上，并与一水平轻弹簧相连，弹簧的弹性系数上，并与一水平轻弹簧相连，弹簧的弹性系数 k=1000 N/m 。今有一质量。今有一质量 m=1 kg 的小球以水平速度的小球以水平速度 v0=4m/s 飞来

47、，与物体飞来，与物体M相撞后以相撞后以v1=2m/s 的速度弹回。的速度弹回。 试问：试问：（1）弹簧被压缩的长度为多少？）弹簧被压缩的长度为多少？（2）小球）小球m与物体与物体M的碰撞是完全弹性碰撞吗？的碰撞是完全弹性碰撞吗？（3）如果小球上涂有黏性物质，相撞后可与）如果小球上涂有黏性物质，相撞后可与M粘在粘在一起，则（一起，则（1）、（）、（2）所问的结果又如何？）所问的结果又如何？解：解：碰撞过程物体、弹簧、小球组成系统的动量守恒碰撞过程物体、弹簧、小球组成系统的动量守恒（1）对物体）对物体M应用动能定理应用动能定理所以弹簧被压缩的长度为：所以弹簧被压缩的长度为：（2）碰撞中动能有损失，

48、说明碰撞中动能有损失，说明是非弹性碰撞是非弹性碰撞（3）小球与物体碰撞后粘在一起，以共同的速度）小球与物体碰撞后粘在一起，以共同的速度u 运动。根据动量守恒定理，有运动。根据动量守恒定理，有根据动能定理，有根据动能定理，有此时，此时，弹簧被压缩的长度为弹簧被压缩的长度为 x=0.04m碰撞为完全非弹性碰撞。碰撞为完全非弹性碰撞。例例: 如图所示如图所示,已知已知m、M、h和和k以及小球的水平初速以及小球的水平初速 , 小球小球与平板与平板PQ的碰撞为弹性碰撞的碰撞为弹性碰撞,求弹簧的最大压缩量求弹簧的最大压缩量?解解: 小球刚要与小球刚要与PQ碰撞时的速度碰撞时的速度竖直方向竖直方向: vy

49、= (2gh)1/2水平方向水平方向: vx = v0以以m和和M为一系统为一系统,碰撞时满足动量守恒和动能守恒碰撞时满足动量守恒和动能守恒联解得联解得: mPQhy竖直竖直:水平水平:例例: 己知己知m1=10kg, 链条质量链条质量m=10kg, 长长 l=40cm.开始时开始时 l1=l2=20cm l3, 速度为零速度为零,不计摩擦及绳与滑轮的不计摩擦及绳与滑轮的质量质量,绳不伸长绳不伸长,求当链条全部滑到求当链条全部滑到桌面上时桌面上时,系统的速度和加速度系统的速度和加速度.m1l3l2l1 (其中其中 y0=Mg/k)解得弹簧的最大压缩量解得弹簧的最大压缩量 碰撞后碰撞后,以地球、

50、弹簧和木板为一系统以地球、弹簧和木板为一系统,机械能守恒机械能守恒, 设木板下降设木板下降y为最大压缩量为最大压缩量,则则 解解: 将地球、将地球、m和和m1作为一系统作为一系统,则系统的机械能守则系统的机械能守 恒恒.设设m1开始在桌面下开始在桌面下 l0 处处, 后来下降了后来下降了x, 若设桌面若设桌面 处重力势能为零处重力势能为零,则有则有将将v对对t求导求导,得得将将x=l1代入代入,解得解得 1. 质量为质量为0.25kg的质点的质点,受力受力 (SI)的作用的作用.t=0时该时该质质 点以点以 的速度通过坐标原点的速度通过坐标原点,则该质点任意时刻的则该质点任意时刻的位置矢量是位

51、置矢量是 .2. 水平地面上放一物体水平地面上放一物体A,它与地面之间的滑动摩擦系数为它与地面之间的滑动摩擦系数为,欲使物欲使物体体A有最大加速度有最大加速度,则恒力恒力 与水平方向与水平方向夹角角应满足足 .mgNFf水平水平: Fcos-f=ma (f= N)竖直直: N+Fsin-mg=0 联解得联解得: a=F(cos+ sin)/m- g令令 da/d=0时a有最大有最大值,解得解得: -sin+ cos=0 即即t g = 3.用一斜向上的力用一斜向上的力F(与水平成与水平成300角角),将一重物为将一重物为G的木的木块块 压靠在竖直壁面上压靠在竖直壁面上,如果不论用怎样大的力如果

52、不论用怎样大的力F,都不能使木都不能使木 块向上滑动块向上滑动,则说明木块与壁面间的静摩擦系数则说明木块与壁面间的静摩擦系数的大小的大小 为 .300GFN水平水平: N - Fcos300=0竖直竖直: Fsin300 G f 0 (f=N) 联解得联解得: (F 2G)/ Ff4.质点从静止开始沿光滑球面的质点从静止开始沿光滑球面的A点点 下滑下滑到到B点时，点时，法向法向: mgcos N = man切向切向: mgsin = matmgN 该方程组该方程组 只能求出只能求出at, an由于由于N未知因而不能求出未知因而不能求出,利用机械能利用机械能 守恒定律守恒定律, 0= - mgR

53、(1 - cos)+mv2/2 以及以及an=v2/R可得可得an 5. 水星半径是地球半径的水星半径是地球半径的0.4倍，质量为地球的倍，质量为地球的0.04倍，倍， 地球上重力加速度为地球上重力加速度为g ，则水星表面的重力加速度是，则水星表面的重力加速度是0.25g6、一质点在如图所示的坐标平面内作一质点在如图所示的坐标平面内作 圆周运动，有一力圆周运动，有一力 作用在质点上，在该质点从坐标原点运动作用在质点上，在该质点从坐标原点运动到（到（O，2R）位置的过程中，力）位置的过程中，力 对它所对它所作的功为：作的功为：a1 = GM1/R 12 = G 0.04M2/(0,4R2)2=0

54、.25GM2/R22 7. 一质点在力一质点在力F=5m(5-2t) (SI)的作用下的作用下,从静止开始从静止开始(t=0)作直线运动作直线运动,式中式中m为质点的质量为质点的质量.当当t=5s时时,质点的速率质点的速率为为 .0 8. 静水中停泊着两只质量均为静水中停泊着两只质量均为M的小船的小船.甲船上质量为甲船上质量为m 的人以水平速度的人以水平速度v跳到乙船跳到乙船,然后又以方向相反的速度然后又以方向相反的速度v跳跳 回甲船上回甲船上.此后此后(1) 甲船的速度甲船的速度 v1= . (2) 乙船的速度乙船的速度 v2 = .(水的阻力不计水的阻力不计,所有速度都相对地面而言所有速度

55、都相对地面而言)第一次第一次,甲船和人甲船和人: 0=mv+MV1 乙船和人乙船和人: mv=(m+M)V2第二次第二次, 甲船和人甲船和人: -mv+MV1=-mv-mv=(m+M)v1 乙船和人乙船和人: (m+M)V2 =-mv+Mv2-2mv/(m+M)2mv/M 9. 外力外力F通过不可伸长的绳子和一倔强系数通过不可伸长的绳子和一倔强系数k=200N/m的的 轻弹簧缓慢地拉地面上的物体轻弹簧缓慢地拉地面上的物体.物体的质量物体的质量 M=2kg,忽略滑轮质量及摩擦忽略滑轮质量及摩擦.刚开始拉时刚开始拉时 弹簧为自然长度弹簧为自然长度,当将绳子拉下当将绳子拉下20cm的过的过 程中程中

56、F所做的功所做的功 .20cmFx0 = Mg/k = 2 10/200 = 0.1 m所以所以 W=kx02/2+Mg(0.2 x0) =200 (0.1)2/2 + 2 10(0.2-0.1) 3 J 10.子弹的速度为子弹的速度为v时时,打穿一块木板后速度变为零打穿一块木板后速度变为零,设木设木板板 对子弹的阻力是恒定的对子弹的阻力是恒定的.那么那么,当子弹射入木板的深度等当子弹射入木板的深度等 于厚度的一半时于厚度的一半时,子弹的速度是子弹的速度是 .根据质点的动能定理根据质点的动能定理, -FS =- mv2/2 因为子弹所受阻力是恒定的因为子弹所受阻力是恒定的,则则 -FS/2=m

57、v12/2-mv2/2联解得联解得 - mv2/4 = mv12/2-mv2/2 因此因此 11. 质量为质量为m=0.5 kg 的质点的质点,在在XOY坐标平面内运动坐标平面内运动,其运动其运动 方程为方程为 x=5t, y=0.5t2 (SI),从从 t=2s 到到 t=4s 这段时间内这段时间内,外力外力对对 质点作的功为质点作的功为 .因为因为 vx = 5 vy = t 所以所以 v2 = 25+t2当当 t = 2时时, Ek2 = 29/4 t = 4 时时, Ek4 = 41/4因此因此 W = Ek4 Ek23 J 12. 质量分别为质量分别为m1、m2的两个物体用一倔强系数

58、为的两个物体用一倔强系数为k的轻的轻 弹簧相连弹簧相连,放在水平光滑桌面上放在水平光滑桌面上,当两物体相距当两物体相距x时时,系统系统由由 静止释放静止释放.己知弹簧的自然长度为己知弹簧的自然长度为x0,则当物体相距则当物体相距x0时时,m1的的 速度大小为速度大小为 .m1m2k 将将m1、m2和弹簧作为一系统和弹簧作为一系统,系统动量守恒和机械能守系统动量守恒和机械能守恒恒. m1v1+m2v2=0 ; k(x-x0)2/2=m1v12/2+m2v22/2 .ACBRO WBC= - (EpC - EpB) = - k(2R l0)2/2+k(21/2R- l0)2/2 13. 一弹簧原长

59、一弹簧原长l0=0.1m,倔强系数倔强系数k=50N/m, 其一端固定在半径为其一端固定在半径为R=0.1m的半圆环的的半圆环的 端点端点A,另一端与一套在半圆环上的小另一端与一套在半圆环上的小 环相连环相连.在小环由半圆环中点在小环由半圆环中点B移到另移到另 一端一端C的过程中的过程中,弹簧的拉力对小环所作的功为弹簧的拉力对小环所作的功为 J.解解：（1）某一时刻链条下落）某一时刻链条下落 x 的的长度时的摩擦力为长度时的摩擦力为A 14.一条质量为一条质量为 m 长为长为 的均匀链条，放在一摩擦系数的均匀链条，放在一摩擦系数 为为 的水平桌面上，链子的一端有一段长度为的水平桌面上，链子的一端有一段长度为 a 的部分的部分 被推出桌子的边缘在重力作用下由静止开始下落，试求被推出桌子的边缘在重力作用下由静止开始下落，试求（1） 链条刚刚离开桌面时的速度；（链条刚刚离开桌面时的速度；（2）到链条离开桌边的过程）到链条离开桌边的过程 中，摩擦力对链条作了多少功？中，摩擦力对链条作了多少功？摩擦力的功为：摩擦力的功为：xO（2）将地球、链条和桌子看作系统，桌面处视为重）将地球、链条和桌子看作系统，桌面处视为重力势能零点，根据功能原理，得力势能零点，根据功能原理，得即即解之得解之得 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！