《20222023高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《20222023高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.1.2圆的一般方程1.1.方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示的图形表示的图形方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0变为变为: : (1)(1)当当D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0时时, ,方程表示圆方程表示圆, ,圆心为圆心为 半径为半径为 (2)(2)当当D D2 2+E+E2 2-4F=0-4F=0时时, ,方程表示点方程表示点 . .(3)(3)当当D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0-4F0时才表示圆时才表示圆. .2.2.圆的一般方程圆的一般方程当当D D2 2+E+E2 2-4F0-
2、4F0时时, ,方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方称为圆的一般方程程. .【思考思考】(1)(1)圆的一般方程有什么特征圆的一般方程有什么特征? ?提示提示: :(1)x(1)x2 2和和y y2 2的系数相同且不为的系数相同且不为0;(2)0;(2)没有没有xyxy项项. .(2)(2)如果点如果点P(xP(x0 0,y,y0 0) )在圆在圆x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0内内, ,那么应满那么应满足什么关系式足什么关系式? ?圆外呢圆外呢? ?提示提示: :若点若点P P在圆内在圆内, ,则则 +Dx
3、+Dx0 0+Ey+Ey0 0+F0;+F0.+F0.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)圆的标准方程与一般方程可以互化圆的标准方程与一般方程可以互化. .( () )(2)(2)方程方程2x2x2 2+2y+2y2 2-3x=0-3x=0不是圆的一般方程不是圆的一般方程. . ( () )(3)(3)方程方程x x2 2+y+y2 2-x+y+1=0-x+y+1=0表示圆表示圆. .( () )提示提示: :(1).(1).圆的标准方程与一般方程可以互化圆的标准方程与一般方程可以互化. .(2).(2).方程方程2x2
4、x2 2+2y+2y2 2-3x=0-3x=0即即x x2 2+y+y2 2- x=0,- x=0,是圆的一般是圆的一般方程方程. .(3).(3).因为因为(-1)(-1)2 2+1+12 2-41=-20,-41=-20,5-5k0,解得解得k1,k0-4F0来判断二元二次方程是否表示来判断二元二次方程是否表示圆时圆时, ,务必注意务必注意x x2 2及及y y2 2的系数的系数. .【习练习练破破】1.(20191.(2019青岛高一检测青岛高一检测) )方程方程x x2 2+y+y2 2-ax+2y+1=0-ax+2y+1=0不能表不能表示圆示圆, ,则实数则实数a a的值为的值为(
5、() )A.0A.0B.1B.1C.-1C.-1D.2D.2【解析解析】选选A.A.方程方程x x2 2+y+y2 2-ax+2y+1=0-ax+2y+1=0转换为标准方程是转换为标准方程是 +(y+1)+(y+1)2 2= ,= ,由于该方程不能表示圆由于该方程不能表示圆, ,故故a=0.a=0.2.2.方程方程x x2 2+y+y2 2-ax+by+c=0-ax+by+c=0表示圆心为表示圆心为(1,2),(1,2),半径为半径为1 1的圆的圆, ,则则a,b,ca,b,c的值依次为的值依次为( () )A.-2,-4,4A.-2,-4,4 B.2,-4,4B.2,-4,4C.2,-4,-
6、4C.2,-4,-4D.-2,4,-4D.-2,4,-4【解析解析】选选B.B.根据题意根据题意, ,圆心为圆心为(1,2),(1,2),半径为半径为1 1的圆的圆, ,则则 解得解得: : 【加练加练固固】若方程若方程x x2 2+y+y2 2+2mx-2y+m+2mx-2y+m2 2+5m=0+5m=0表示圆表示圆, ,求求: :(1)(1)实数实数m m的取值范围的取值范围. .(2)(2)圆心坐标和半径圆心坐标和半径. .【解析解析】 (1) (1)据题意知据题意知D D2 2+E+E2 2-4F=(2m)-4F=(2m)2 2+(-2)+(-2)2 2-4(m-4(m2 2+5m)0
7、,+5m)0,即即4m4m2 2+4-4m+4-4m2 2-20m0,-20m0,解得解得m ,m0),4F0),圆过三点圆过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),A(1,3),B(4,2),C(1,-7),可得可得 解方程可得解方程可得 即圆的方程为即圆的方程为x x2 2+y+y2 2-2x+4y-20=0.-2x+4y-20=0.【内化内化悟悟】圆有标准方程、一般方程两种形式圆有标准方程、一般方程两种形式, ,本例中设哪一种本例中设哪一种形式解题更为简便形式解题更为简便? ?提示提示: :设一般方程解题更简便设一般方程解题更简便. .【类题类题通通】待定系数法求圆的一般方程的步
8、骤待定系数法求圆的一般方程的步骤(1)(1)根据题意设所求的圆的一般方程为根据题意设所求的圆的一般方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey +Dx+Ey +F=0.+F=0.(2)(2)根据已知条件根据已知条件, ,建立关于建立关于D,E,FD,E,F的方程组的方程组. .(3)(3)解此方程组解此方程组, ,求出求出D,E,FD,E,F的值的值. .(4)(4)将所得的值代回所设的圆的方程中将所得的值代回所设的圆的方程中, ,就得到所求的就得到所求的圆的一般方程圆的一般方程. .【习练习练破破】经过三点经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2)A(-1,0),B(3,0),C(1
9、,2)的圆与的圆与y y轴交于轴交于M,NM,N两两点点, ,则则|MN|=|MN|=( () )A.2 A.2 B.2 B.2 C.3C.3D.4D.4【解析解析】选选A.A.设圆的一般方程为设圆的一般方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0,+Dx+Ey+F=0,圆圆经过点经过点A(-1,0),B(3,0),C(1,2),A(-1,0),B(3,0),C(1,2),故故 解得解得 故圆的方程为故圆的方程为x x2 2+y+y2 2-2x-3=0,-2x-3=0,整理得整理得(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=4,=4,令令x=0,x=0,得得y y2 2=3,=3,所以所
10、以y= ,y= ,所以所以|MN|=2 .|MN|=2 .【加练加练固固】已知已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1),A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求求ABCABC的外接圆的方程的外接圆的方程. .【解题指南解题指南】先设出圆的一般方程先设出圆的一般方程, ,根据点在圆上列方根据点在圆上列方程组程组, ,解方程组求出待定系数解方程组求出待定系数, ,得外接圆方程得外接圆方程. .【解析解析】设设ABCABC外接圆的方程为外接圆的方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0,+Dx+Ey+F=0,由题意得由题意得 解得解得 即即ABCABC的外接圆方程为的外接圆方程
11、为x x2 2+y+y2 2-8x-2y+12=0.-8x-2y+12=0.类型三求动点的轨迹方程类型三求动点的轨迹方程角度角度1 1代入法求方程代入法求方程【典例典例】(2019(2019朝阳高一检测朝阳高一检测) )已知动点已知动点A A在圆在圆x x2 2+y+y2 2 =1=1上移动上移动, ,点点B(3,0),B(3,0),则则ABAB的中点的轨迹方程是的中点的轨迹方程是 ( () )A.(x+3)A.(x+3)2 2+y+y2 2=4=4B.(x-3)B.(x-3)2 2+y+y2 2=1=1C. +yC. +y2 2= = D. +yD. +y2 2= = 【思维思维引引】利用要
12、求的中点坐标表示点利用要求的中点坐标表示点A A的坐标的坐标, ,代代入圆的方程入圆的方程. .【解析解析】选选C.C.设设A(xA(x0 0,y,y0 0),AB),AB的中点的坐标为的中点的坐标为(x,y),(x,y),由由中点坐标公式得中点坐标公式得 即即 因为动点因为动点A A在在圆圆x x2 2+y+y2 2=1=1上移动上移动, ,所以所以 =1.=1.则则(2x-3)(2x-3)2 2+(2y)+(2y)2 2=1,=1,整理得整理得:(2x-3):(2x-3)2 2+4y+4y2 2=1.=1.即即 【素养素养探探】利用代入法求轨迹时利用代入法求轨迹时, ,常常用到核心素养中的
13、数学运算常常用到核心素养中的数学运算和数据分析和数据分析, ,通过坐标表示通过坐标表示, ,代入化简、变形求出动点代入化简、变形求出动点的轨迹方程的轨迹方程. .将本例的条件改为将本例的条件改为“过点过点A A作作x x轴的垂线轴的垂线, ,垂足为垂足为C,C,点点P P在线段在线段ACAC上上, ,且且2|AP|=|PC|”,2|AP|=|PC|”,求点求点P P的轨迹方程的轨迹方程. .【解析解析】设设A(xA(x0 0,y,y0 0),),点点P P的坐标为的坐标为(x,y),(x,y),因为点因为点P P在线在线段段ACAC上上, ,且且2|AP|=|PC|,2|AP|=|PC|,所以
14、所以 则则 因为点因为点A A在圆在圆x x2 2+y+y2 2=1=1上上, ,所以所以x x2 2+ y+ y2 2=1.=1.角度角度2 2定义法求方程定义法求方程【典例典例】已知圆已知圆x x2 2+y+y2 2=1,=1,点点A(1,0),ABCA(1,0),ABC内接于圆内接于圆, ,且且BAC=60,BAC=60,当当B,CB,C在圆上运动时在圆上运动时,BC,BC中点中点D D的轨迹方程的轨迹方程是是 ( () )A.xA.x2 2+y+y2 2= = B.xB.x2 2+y+y2 2= = C.xC.x2 2+y+y2 2= = D.xD.x2 2+y+y2 2= = 【思维
15、思维引引】利用圆周角与圆心角的关系利用圆周角与圆心角的关系, ,求出求出BCBC中点中点到原点的距离到原点的距离, ,从而确定轨迹及方程从而确定轨迹及方程. .【解析解析】选选D.D.如图所示如图所示, ,因为因为BAC=60,BAC=60,又因为圆周角等于圆心角的一半又因为圆周角等于圆心角的一半, ,所以所以BOC=120,BOC=120,又又D D为为BCBC中点中点,OB=OC,OB=OC,所以所以BOD=60,BOD=60,在直角三角形在直角三角形BODBOD中中, ,有有OD= OB= ,OD= OB= ,故故中点中点D D的轨迹方程是的轨迹方程是:x:x2 2+y+y2 2= ,=
16、 ,如图如图, ,由由BACBAC的极限的极限位置可得位置可得,x .,x .【类题类题通通】求与圆有关的轨迹问题的方法求与圆有关的轨迹问题的方法(1)(1)直接法直接法: :直接根据题目提供的条件列出方程直接根据题目提供的条件列出方程. .(2)(2)定义法定义法: :根据圆、直线等定义列方程根据圆、直线等定义列方程. .(3)(3)代入法代入法: :若动点若动点P(x,y)P(x,y)依赖圆上的某一个动点依赖圆上的某一个动点Q(xQ(x0 0,y,y0 0) )而运动而运动, ,找到两点的关系找到两点的关系, ,把把x,yx,y用用x x0 0,y,y0 0表示表示, ,再将点再将点Q Q
17、的坐标代入到已知圆的方程中得的坐标代入到已知圆的方程中得P P点的轨迹方点的轨迹方程程. .提醒提醒: :注意注意“求轨迹求轨迹”与与“求轨迹方程求轨迹方程”是不同的是不同的. .【习练习练破破】长度为长度为6 6的线段的线段ABAB的两个端点的两个端点A A和和B B分别在分别在x x轴和轴和y y轴上滑轴上滑动动, ,则线段则线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方程为的轨迹方程为_._.【解析解析】设设M(x,y),M(x,y),因为因为AOBAOB是直角三角形是直角三角形, ,所以所以|OM|= |AB|=3|OM|= |AB|=3为定值为定值, ,故故M M的轨迹为以的轨迹为以O O为
18、圆心为圆心,3,3为半为半径的圆径的圆, ,故故x x2 2+y+y2 2=9=9即为所求即为所求. .答案答案: :x x2 2+y+y2 2=9=9【加练加练固固】点点P(4,-2)P(4,-2)与圆与圆x x2 2+y+y2 2=4=4上任一点连线的中点的轨迹方程上任一点连线的中点的轨迹方程是是( () )A.(x-2)A.(x-2)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1=1B.(x-2)B.(x-2)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4=4C.(x+4)C.(x+4)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4=4D.(x+2)D.(x+2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1【解析解析】选选A.A.设圆上任一点为设圆上任一点为Q(xQ(x0 0,y,y0 0),),PQPQ的中点为的中点为M(x,y),M(x,y),则则 解得解得 因为点因为点Q Q在圆在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上上, ,所以所以 =4,=4,即即(2x-4)(2x-4)2 2+(2y+2)+(2y+2)2 2=4,=4,即即(x-2)(x-2)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1.=1.
