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1、文数课标版第二节函数的单调性与最值1.函数的单调性函数的单调性(1)单调函数的定义教材研读教材研读 增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)判断函数单调性的方法(i)定义法:利用定义判
2、断.(ii)利用函数的性质:如,若y=f(x)、y=g(x)为增函数,则a.y=f(x)+g(x)为增函数;b.y=为减函数(f(x)0);c.y=为增函数(f(x)0);d.y=f(x)g(x)为增函数(f(x)0,g(x)0);e.y=-f(x)为减函数.(iii)利用复合函数关系判断单调性法则是“同增异减”,即:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.(iv)图象法(v)导数法2.函数的最值函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0
3、I,使得f(x0)=M(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M结论M为函数y=f(x)的最大值M为函数y=f(x)的最小值判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”.()(2)函数y=的单调递减区间是(-,0)(0,+).()(3)所有的单调函数都有最值.()1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是()A.y=|x|B.y=3-xC.y=D.y=-x2+4答案答案Ay=3-x在R上递减,y=在(0,+)上递减,y=-x2+4在(0,+)上递减,故选A.2.函数y=x2-6
4、x+10在区间(2,4)上()A.递减B.递增C.先递减后递增D.先递增后递减答案答案C函数y=x2-6x+10的图象为抛物线,且开口向上,对称轴为直线x=3,函数y=x2-6x+10在(2,3)上为减函数,在(3,4)上为增函数.3.若函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,则k的取值范围是.答案答案解析解析因为函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,所以2k+10,即k-.4.若函数f(x)满足“对任意的x1,x2R,当x1f(x2)”,则满足f(2x-1)f(1)的实数x的取值范围为.答案答案(1,+)解析解析由题意知,函数f(x)在定义域内为减函数,f(2x-1)1,即x1,x的取
5、值范围为(1,+).5.已知f(x)=,x2,6,则f(x)的最大值为,最小值为.答案答案2;解析解析易知函数f(x)=在x2,6上为减函数,故f(x)max=f(2)=2,f(x)min=f(6)=.考点一函数单调性的判断考点一函数单调性的判断典例典例1(1)函数y=的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)判断函数f(x)=(a0)在x(-1,1)上的单调性.答案答案(1)2,+);(-,-3解析解析(1)令u=x2+x-6,则y=可以看作是由y=与u=x2+x-6复合而成的函数.令u=x2+x-60,得x-3或x2.易知u=x2+x-6在(-,-3上是减函数,在2,+)上是增函数,而y=在
6、0,+)上是增函数,y=的单调减区间为(-,-3,单调增区间为2,+).考点突破考点突破(2)任取x1,x2,满足-1x1x21,则f(x1)-f(x2)=-=.-1x1x20,x1x2+10,(-1)(-1)0.又a0,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数f(x)在(-1,1)上为减函数.易错警示易错警示1.利用定义判断函数单调性的步骤取值作差变形确定符号得出结论注意:函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质,所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊值x1,x2对应的函数值的大小就判断函数在该区间上的单调性,必须保证这两个值是该区间内的任意两个值.2.函数的单调性与“区间”
7、紧密相关,函数的单调区间是函数定义域的子集,所以要求函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.3.由图象确定函数的单调区间需注意:图象不连续且有多个上升段(下降段)的函数,其单调增(减)区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“”连接.4.利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定相应各函数的单调性.1-1下列四个函数中,在(0,+)上为增函数的是()A.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3xC.f(x)=-D.f(x)=-|x|答案答案Cf(x)=3-x在(0,+)上为减函数;当x时,f(x)=x2-3x为减函数,当x时,f(x)=x2-3x为增函数;f(x)=-在(0,+)上为增函数;f
8、(x)=-|x|在(0,+)上为减函数.1-2(2017黑龙江、吉林八校联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且x0时,f(x)=log2(x+1)+3x,则满足f(x)-4的实数x的取值范围是()A.(-2,2)B.(-1,1)C.(-1,+)D.(1,+)答案答案Cf(x)为定义在R上的奇函数,f(0)=0,当x0,f(-x)=log2(-x+1)-3x,f(x)=-f(-x)=-log2(-x+1)+3x(x-4;当x-4可得f(x)f(-1),x-1,-1x-1.故选C.考点二函数的最值考点二函数的最值(值域值域)典例典例2(1)函数y=x+的最小值为.(2)函数y=的值域为.(
9、3)函数f(x)=的最大值为.答案答案(1)1(2)(3)2解析解析(1)解法一:令t=,则t0,且x=t2+1,原函数变为y=t2+1+t,t0.配方得y=+,又t0,y+=1.故函数y=x+的最小值为1.解法二:因为函数y=x和y=在定义域内均为增函数,故函数y=x+在1,+)内为增函数,所以ymin=1.(2)y=2+=2+.+,22+2+=,故函数的值域为.(3)当x1时,函数f(x)=为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.方法技巧方法技巧求函数最值的五种常用方
10、法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.(5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.2-1对于任意实数a,b,定义mina,b=函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=minf(x),g(x)的最大值是.答案答案1解析解析依题意,h(x)=当02时,h(x)=3-x是减函数,则h(x)max
11、=h(2)=1.2-2(1)求函数y=的值域.(2)已知-k,求函数y=的值域.解析解析(1)因为y=-+,因为0,所以y-,所以函数y=的值域为.(2)y=3-,因为-k,所以1k2+14,所以-3-,所以03-,所以0yx11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)abB.cbaC.acbD.bac答案答案D解析解析由f(x)的图象关于直线x=1对称可得f=f.由当x2x11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)0恒成立,知f(x)在(1,+)上单调递减.12ff(e),即f(2)ff(e),bac.3-1若函数f(x)=x2+a|x-2|在(0,+)上单调递增,则实数a的取值范围是()
12、A.-4,0B.0,4C.(-,-4D.0,+)答案答案Af(x)=x2+a|x-2|,f(x)=又f(x)在(0,+)上单调递增,解得-4a0,即实数a的取值范围是-4,0.3-2已知函数f(x)=x3+3x,对任意的m-2,2,f(mx-2)+f(x)0恒成立,则实数x的取值范围是.答案答案解析解析易知函数f(x)=x3+3x为奇函数,f(mx-2)+f(x)0可化为f(mx-2)f(-x),又函数f(x)单调递增,mx-2-x,即mx+x-20,-2x.命题角度二解不等式命题角度二解不等式典例典例4已知f(x)是定义在(0,+)上的单调增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)
13、=1,当f(x)+f(x-8)2时,x的取值范围是()A.(8,+)B.(8,9C.8,9D.(0,8)答案答案B解析解析2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由题意及f(x)+f(x-8)2,可得fx(x-8)f(9),因为f(x)是定义在(0,+)上的单调增函数,所以有解得8x9.典例典例5已知函数f(x)=满足对任意的实数x1x2都有0成立,则实数a的取值范围为()A.(0,1)B.C.D.答案答案C解析解析根据题意知函数f(x)在定义域R上为减函数,则解得a.故选C.命题角度三求参数命题角度三求参数方法技巧方法技巧函数单调性应用的技巧函数单调性的应用比较广泛,主要用来比较函数值的大
14、小、解函数不等式、求相关参数的范围、求函数的最值等.(1)比较两个函数值的大小若f(x)在给定的区间A上是递增的,任取x1,x2A,则x1x2f(x1)f(x2);若f(x)在给定的区间A上是递减的,任取x1,x2A,则x1f(x2).若给定的两个自变量在同一单调区间上,可直接比较大小,否则,要先根据奇偶性或周期性把它们转化到同一单调区间上,再利用单调性比较大小.(2)利用函数单调性解函数不等式解函数不等式的关键是利用函数的单调性去掉函数符号“f”,变函数不等式为一般不等式.去掉“f”时,要注意f(x)的定义域的限制.(3)利用函数的单调性求参数的取值范围依据函数单调性的定义,对给定区间内的任意两个不相等的自变量对应的函数值作差(满足函数关系式的自变量必须在定义域内,这是一个容易被忽视的问题),通过构造关于参数的不等式进行求解.在求抽象函数中参数的范围时,往往是利用函数的单调性将符号“f”去掉,得到关于参数的不等式.(4)利用函数的单调性求解函数的最值步骤:判断函数的单调性;计算端点处的函数值;确定最大值和最小值.
