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1、2 以 2l 为周期的函数的展开式 返回返回返回返回一、以 2l 为周期的函数的傅里叶级数 二、偶函数与奇函数的傅里叶级数一、以2l为周期的函数的傅里叶级数 设设 f 是以是以 2l 为周期的函数为周期的函数, , 通过变量替换通过变量替换: : 若若在在上可上可积, 则在在 上也可上也可积, 这时函数函数 F 的傅里叶的傅里叶级数展开式是数展开式是: 就可以将就可以将 f 变换成以变换成以 为周期的关于变量为周期的关于变量 t 的函数的函数 其中其中 (2) (2)因因为, 所以所以于是由于是由(1)与与 (2)式分别得式分别得 与与这里这里(4)式是以式是以2l 为周期的函数为周期的函数
2、f 的傅里叶系数的傅里叶系数, (3) 式是式是 f 的傅里叶级数的傅里叶级数. . 若函数若函数 f 在在上按段光滑上按段光滑, 则同同样可由收可由收敛定理定理 知道知道 例例1 将函数将函数展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数. .里叶级数里叶级数. .根据根据 (4) 式式, ,有有 代入代入(5)式式, , 得得这里里 当当和和5 时级数收数收敛于于 二、偶函数与奇函数的傅里叶级数 的的偶函数偶函数, 则在在上上, 是偶函数是偶函数, 是奇函数是奇函数. 因此因此, f 的傅里叶系数的傅里叶系数(4)是是 设设 f 是以是以 2l 为周期的偶函数为周期的偶函数, , 或是定义在或是定义在
3、上上于是于是 f 的傅里叶级数只含有余弦函数的项的傅里叶级数只含有余弦函数的项, , 即即其中如其中如 (6) 式所示式所示 (7) 式右边的级数称为余弦级数式右边的级数称为余弦级数. .同理同理, 若若 f 是以是以 2l 为周期的奇函数为周期的奇函数, , 或是定义在或是定义在 上的奇函数上的奇函数, 类似可推得似可推得 所以当所以当 f 是奇函数时是奇函数时, 它的傅里叶级数只含有正弦它的傅里叶级数只含有正弦 函数的项函数的项, , 即即 其中其中如如 (8) 式所示式所示. (9) 式右式右边的的级数称数称为正弦正弦级 数数. . 若若, 则偶函数偶函数 f 所展开成的余弦函数所展开成
4、的余弦函数为其中其中当且当且 f 为奇函数时为奇函数时, , 则它展成的正弦级数为则它展成的正弦级数为 其中其中注注 如何将定如何将定义在在上上(或更一般地或更一般地上上)的函的函 数展开成余弦级数或正弦级数数展开成余弦级数或正弦级数? 方法如下方法如下: : 首先将首先将 定定义在在上的函数作偶式延拓或奇式延拓到上的函数作偶式延拓或奇式延拓到 上上(如如图15-8(a)或或(b). 然后求延拓后函数的然后求延拓后函数的 傅里叶级数傅里叶级数, , 即得即得(10)或或(12)形式形式. . 图图15- -8也可以不作延拓直接使用公式也可以不作延拓直接使用公式(11)或或(12), 计算出它计
5、算出它 的傅里叶系数的傅里叶系数, , 从而得到余弦级数或正弦级数从而得到余弦级数或正弦级数. .例例2 设函数设函数求求 f 的傅里叶级数展开式的傅里叶级数展开式. .解解 f 是是上的上的 偶函数偶函数 , , 图图15-9 是是这函数及其周期延这函数及其周期延 拓的图形拓的图形. .由于由于 f 是是 按段光滑函数按段光滑函数, , 因此可以展开成傅里叶级数因此可以展开成傅里叶级数, , 而且而且 这个级数为余弦级数这个级数为余弦级数. . 由由(10)式式(这时可把其中这时可把其中“”其中其中改为改为“ ”“ ”)知道知道 所以所以当当时, 有有由此可得由此可得解解 函数函数 f 如图
6、如图15-10所示所示, ,它是按段光滑函数它是按段光滑函数, , 因而因而 可以展开成正弦级数可以展开成正弦级数(12), ,其系数其系数 例例3 求定义在求定义在 上的函数上的函数( (其中其中0 h ) )的正弦展开式的正弦展开式. .15-10图图所以所以当当时, 级数的和数的和为0; 当当时, 有有 若令若令, 则有有例例4 把把 在在内展开成内展开成:(i) 正弦级数正弦级数; (ii)余弦级数余弦级数. 解解 ( (i) )为了把为了把 f 展开展开为正弦级数为正弦级数, ,对对f f做奇式周期延做奇式周期延 拓拓(图图15-11), , 并由公式并由公式(8)(8)有有当当,
7、时, 级数收数收敛于于0. 所以当所以当时, 由由(9) 及收及收敛定理得到定理得到但当但当 x=0, 2 时, 右右边级数收数收敛于于0.(ii)为了将为了将f 展开成余弦级数展开成余弦级数, , 对对f f做偶式延拓做偶式延拓( 图图 15-12).由公式由公式(6)得得 f 的傅里叶系数为的傅里叶系数为 或或所以当所以当时, 由由(7)及收及收敛定理得到定理得到读者由例读者由例4 可以看到可以看到, , 同样一个函数在同样的区间同样一个函数在同样的区间 上可以用正弦级数表示上可以用正弦级数表示 , , 也可以用余弦级数表示也可以用余弦级数表示, , 甚至作适当延拓后甚至作适当延拓后, ,可以用更一般的形式可以用更一般的形式(5)来表示来表示. .
