《51定积分的概念》由会员分享，可在线阅读，更多相关《51定积分的概念（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分定积分 第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、 定积分的定义定积分的定义三、三、 定积分的性质定积分的性质定积分的概念 第五五章 一、定积分问题举例一、定积分问题举例1. 1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成 ,求其面积 S .矩形面积矩形面积梯形面积梯形面积第一步：分割第一步：分割任意引入分点称为区间的一个分法 T第二步：近似代替第二步：近似代替第二步：近似代替第二步：近似代替对每个小曲边梯形均作上述的代替对每个小曲边梯形均作上述的代替第三步：求和第三步：求和第四步：取极限第四步：取极限2. 2.
2、变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动设某物体作直线运动,且且求在运动时间求在运动时间 内物体所经过的路程内物体所经过的路程 S .解决步骤解决步骤:1) 分割分割将它分成将它分成在每个小段上物体经在每个小段上物体经2) 近似代替近似代替得得已知速度已知速度n 个小段个小段过的路程为过的路程为3) 求和求和4) 取极限取极限 上述两个问题的上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同解决问题的方法步骤相同 : 所求量极限结构式相同所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限二、定积分定义二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限 I , 则称此极限值 I 为函数在区间上的定
3、积分定积分,即此时称 f ( x ) 在 a , b 上可可积积 .记作积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和关于定积分定义的几点说明定积分的几何意义： 在区间a，b上，当f(x)0时，积分在几何上表示由曲线yf (x)、两条直线xa、xb 与x 轴所围成的曲边梯形的面积；ba y = f(x)x yO 当f(x)0时，由曲线y f (x)、两条直线xa、xb 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，x yO y = - f(x)ba y = f(x)定积分在几何上表示上述曲线边梯形面积的负值：- S- 我们对面积赋以正负号：在x轴上方的图形面积赋以正号，在 x 轴下方的图形面积赋
4、以负号它是介于x 轴、函数 f(x)的图形及两条直线 xa、xb之间的各部分面积的代数和abO y x+-+ y = f(x) 在一般情形下，定积分的几何意义为：例例1. 利用定义计算定积分解解: 将 0,1 n 等分, 分点为取喂！请问什么样的函数可积？喂！请问什么样的函数可积？下面是几个关于函数可积性的定理. 运用定积分的概念及定积分的几何意义, 由函数的极限运算性质容易证明它们, 所以我们在这里不进行证明. 喂!且只有有限个且只有有限个间断点间断点,四、定积分的性质四、定积分的性质 可以推广至有限个可积函数的情形可以推广至有限个可积函数的情形. .1证证证证所以则由性质性质7 可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.证证证证说明： 该性质的几何意义是：该性质的几何意义是： 可把可把故它是有限个数的平均值概念的推广故它是有限个数的平均值概念的推广.例6解内容小结内容小结1. 定积分的定义定积分的定义 乘积和式的极限乘积和式的极限2. 定积分的性质定积分的性质3. 积分中值定理积分中值定理矩形公式矩形公式 梯形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算近似计算作业作业 P267 1 (2)(4) , 2
