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1、定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用(1) 上页 下页 返回 结束 一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线设曲线及及 x 轴所轴所围曲边梯形面积为围曲边梯形面积为 A .取取 x 为积分变量，其变化区间为为积分变量，其变化区间为a, b，取任一小区间，取任一小区间 x , x + dx ,从而从而此区间的窄曲边梯形面积可以由底为此区间的窄曲边梯形面积可以由底为dx 、高为高为 f (x) 的窄矩形面积的窄矩形面积 f (x)dx 近似表示近似表示, 所以面积元素为所以面积元素为 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 上页
2、下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 利用对称性知利用对称性知解解:例例5.5. 上页 下页 返回 结束 二、体积二、体积1. 旋转体的体积旋转体的体积圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体线旋转一周而成的立体. 直线叫做旋转轴直线叫做旋转轴. 上页 下页 返回 结束 xyo旋转体体积求法旋转体体积求法 上页 下页 返回 结束 旋转体的体积为旋转体的体积为类似地，类似地， 上页 下页 返回 结束 解解:例例6.6.xx 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返
3、回 结束 解解:例例7.7. 上页 下页 返回 结束 于是旋转椭球体的体积为于是旋转椭球体的体积为 上页 下页 返回 结束 解解:例例8.8. 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 2. 2. 平行截面面积已知的立体的体积平行截面面积已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算体积也可用定积分来计算.xyo 上页 下页 返回 结束 特别特别 , 考虑连续曲线段考虑连续曲线段考虑连续曲线段考虑连续曲线段绕绕 y 轴旋转一周围成
4、的立体体积轴旋转一周围成的立体体积为为轴旋转一周围成的立体体积为轴旋转一周围成的立体体积为 上页 下页 返回 结束 解解:例例9.9.如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系. 上页 下页 返回 结束 解解:例例10.10. 上页 下页 返回 结束 三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长并依次连接相邻分点得一内接折线，并依次连接相邻分点得一内接折线， 当分点的数目当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 若折线的长若折线的长的极限存在，则称此极限为曲线弧的极限存在，则称此极限为曲线弧的弧长，的弧长， 并称并称 是可求长的是可求长的.定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的任意光滑曲线弧都是可求长的. 上页 下页 返回 结束 1.1.直角坐标系情形直角坐标系情形弧长的计算弧长的计算 上页 下页 返回 结束 所求弧长为所求弧长为解解:例例11.11. 上页 下页 返回 结束 2. 2. 参数方程情形参数方程情形 上页 下页 返回 结束 弧长元素为弧长元素为从而从而, 所求弧长所求弧长解解:例例12.12. 上页 下页 返回 结束 3. 3. 极坐标系情形极坐标系情形ox ) 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 解解:例例13.13.
