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1、二阶常系数二阶常系数(xsh)齐次线性微齐次线性微分方程分方程:和它的导数只差常数(chngsh)因子,代入得称为微分方程(wi fn fn chn)的特征方程,1. 当时, 有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为( r 为待定常数 ),所以令的解为 则微分其根称为特征根.第1页/共20页第一页，共21页。特征方程2.当当时, 特征方程有两个(lin )相等实根则微分方程(wi fn fn chn)有一个特解设另一特解( u (x) 待定)代入方程(fngchng)得:是特征方程的重根取 u = x , 则得因此原方程的通解为第2页/共20页第二页，共21页。特征方程3.当当
2、时, 特征方程有一对(y du)共轭复根这时原方程有两个(lin )复数解: 利用(lyng)解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为第3页/共20页第三页，共21页。小结小结(xioji):特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广(tugung)到高阶常系数线性微分方程 .第4页/共20页第四页，共21页。若特征方程含 k 重复(chngf)根若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解(tngji)中必含对应项则其通解(tngji)中必含对应项特征方程: 推广推广:第5页/共20页第五页，共21页。例例1.的通解(tngji).解: 特征方程特征(tzhng)根:因
3、此原方程(fngchng)的通解为例2. 求解初值问题解: 特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为第6页/共20页第六页，共21页。例例3.解:质量(zhling)为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由(zyu)运动,初始(ch sh)求物体的运动规律 立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建 因此定解问题为由第六节例1 (P323) 知, 位移满足第7页/共20页第七页，共21页。方程(fngchng):特征方程:特征(tzhng)根:利用(lyng)初始条件得:故所求特解:方程通解:1)无阻尼自由振动情况无阻尼自由
4、振动情况(n=0)第8页/共20页第八页，共21页。解的特征解的特征(tzhng):简谐振动(zhndng) A: 振幅(zhnf), : 初相,周期: 固有频率 (仅由系统特性确定)第9页/共20页第九页，共21页。方程(fngchng):特征方程:特征(tzhng)根:小阻尼(zn): n k临界阻尼: n = k 解的特征解的特征解的特征第10页/共20页第十页，共21页。例例4.的通解(tngji). 解: 特征方程特征(tzhng)根:因此(ync)原方程通解为例5.解: 特征方程:特征根 :原方程通解:(不难看出, 原方程有特解第14页/共20页第十四页，共21页。例例6.解: 特
5、征方程:即其根为方程(fngchng)通解 :第15页/共20页第十五页，共21页。例例7.解: 特征方程:特征(tzhng)根为则方程(fngchng)通解 :第16页/共20页第十六页，共21页。内容内容(nirng)小结小结特征(tzhng)根:(1) 当时, 通解(tngji)为(2) 当时, 通解为(3) 当时, 通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .第17页/共20页第十七页，共21页。思考思考(sko)与与练习练习 求方程(fngchng)的通解(tngji) .答案:通解为通解为通解为作业 P340 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) ,
6、(6) ; 3第八节 第18页/共20页第十八页，共21页。备用备用(biyng)题题为特解的 4 阶常系数(xsh)线性齐次微分方程,并求其通解(tngji) .解: 根据给定的特解知特征方程有根 :因此特征方程为即故所求方程为其通解为第19页/共20页第十九页，共21页。感谢您的欣赏(xnshng)！第20页/共20页第二十页，共21页。内容(nirng)总结二阶常系数齐次线性微分方程:。第2页/共20页。特 征 根。若特征方程含 k 重复根。解: 特征方程。质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,。由第六节例1 (P323) 知, 位移满足。 : 初相,。随时间 t 的增大(zn d)物体。1) 无振荡现象。即随时间 t 的增大(zn d)物体总趋于平衡位置.。最多只与 t 轴交于一点。2) 无振荡现象。解: 特征方程:。时, 通解为。为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,。感谢您的欣赏第二十一页，共21页。
