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1、制作人制作人 王王 维维1若实数若实数a，b 满足满足 ab4，证明：，证明：2a2b8. 预习导航：预习导航：问题问题1本题利用什么公式证明的？本题利用什么公式证明的？提示提示：基本不等式基本不等式问题问题2本题的证明顺序是什么？本题的证明顺序是什么？提示提示： 从已知到结论从已知到结论问题问题1本题证明是从哪里开始？本题证明是从哪里开始？提示提示：从结论开始从结论开始问题问题2 证明思路是什么？证明思路是什么？提示：提示： 寻求上一步成立的充分条件寻求上一步成立的充分条件1综合法的定义综合法的定义 利用利用_和某些数学和某些数学_、_、_等，经过一系列的等，经过一系列的_，最后推导出所要证
2、明的，最后推导出所要证明的_成立，这种证明方法叫做综合法成立，这种证明方法叫做综合法探究活动一探究活动一 何谓综合法？何谓综合法？已知条件已知条件定义定义 定理定理公理公理推理论证推理论证结论结论 (P表示表示_、已有的、已有的_、_、_等，等，Q表示表示_)已知条件已知条件定义定义定理定理公理公理所要证明的结论所要证明的结论 综合法证明问题的步骤：综合法证明问题的步骤： 第一步：第一步： 分析条件，选择方向仔细分析题分析条件，选择方向仔细分析题目的已知条件目的已知条件(包括隐含条件包括隐含条件)，分析已知与结，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、论之间的联系与区别，选择相关
3、的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法公式、结论，确定恰当的解题方法第二步第二步： 转化条件，组织过程把题目的已知条转化条件，组织过程把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化组织过程时符号、图形三种语言之间的转化组织过程时要有清晰的思路，严密的逻辑，简洁的语言要有清晰的思路，严密的逻辑，简洁的语言第三步：第三步： 适当调整，回顾反思解题后回顾解题适当调整，回顾反思解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取适当的修饰，反思总
4、结解题方法的选取例1 已知已知 ，且，且 ， 求证：求证： 方法总结：方法总结： 1. 1. 综合法是数学证明中最常用的一种方法，综合法是数学证明中最常用的一种方法，本题巧妙地应用本题巧妙地应用 了了 “1 1”的代换及基本不的代换及基本不等式等式 2 2综合法证明不等式常用综合法证明不等式常用“两个正数的算两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数术平均数不小于它们的几何平均数”这一结这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形形 3 3综合法证明不等式所依赖的主要是不等综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常式的基本性
5、质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：用的有如下几个： 1分析法的定义分析法的定义从要证明的从要证明的_，逐步寻求使它成立的，逐步寻求使它成立的_，直至最后，把要证明的结论归结为判，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公已知条件、定理、定义、公理等理等)为止，这种证明方法叫做分析法为止，这种证明方法叫做分析法探究活动二探究活动二 分析法分析法 结论出发结论出发充分条件充分条件 应用分析法证明问题的模式：应用分析法证明问题的模式： 用分析法证明命题用分析法证明命题“若若P，则，则Q”时的模式如下：时的模式如下： 为了证明命题为了证
6、明命题Q为真，为真， 只需证明命题只需证明命题P1为真，从而有为真，从而有 只需证明命题只需证明命题P2为真，从而有为真，从而有 只需证明命题只需证明命题P为真，而已知为真，而已知P为真，为真， 故故Q必为真必为真 思路点拨：思路点拨： 本题涉及到向量的模，可考虑利用本题涉及到向量的模，可考虑利用分析法加以证明分析法加以证明例2 已知非零向量已知非零向量 ，求证：，求证： 用分析法证明不等式时应注意的问题：用分析法证明不等式时应注意的问题：(1) (1) 分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；已知的重要不等式和
7、逻辑推理的基本理论；(2) (2) 分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的逐步寻求使它成立的充分条件充分条件，最后得到的充分条，最后得到的充分条件是已知件是已知( (或已证或已证) )的不等式的不等式(3) (3) 用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号推符号“ ”或或“要证明要证明”、“只需证明只需证明”、“即即证明证明”等词语等词语 特别提醒：特别提醒： 在平时的证明问题中，一般不是单纯地使在平时的证明问题中，一般不是单纯地使用某一种证明方法，更多的是综合使用几种用某一种证明
8、方法，更多的是综合使用几种方法方法 例例3 已知已知a，b，c R且不全相等，且不全相等， 求证：求证： a2b2c2abbcca. 证法一：证法一：(分析法分析法) 要证要证a2b2c2abbcca， 只需证只需证2(a2b2c2)2(abbcca)， 只需证只需证(a2b22ab)(b2c22bc)(c2a22ca) 0， 只需证只需证(ab)2(bc)2(ca)20， 因为因为a，b，cR， 所以所以(ab)20，(bc)20，(ca)20. 又因为又因为a，b，c不全相等，不全相等， 所以所以(ab)2(bc)2(ca)20. 所以原不等式所以原不等式a2b2c2abbcca成立成立
9、证法二：证法二：(综合法综合法) 因为因为a，b，cR， 所以所以(ab)20，(bc)20，(ca)20. 又因为又因为a，b，c不全相等，不全相等， 所以所以(ab)2(bc)2(ca)20. 所以所以(a2b22ab)(b2c22bc)(c2a22ca)0 所以所以2(a2b2c2)2(abbcac)， 所以所以a2b2c2abbcca. 1、用分析法证明：欲使、用分析法证明：欲使 AB，只需，只需 CD， 这里这里是是的的( ) A充分条件充分条件 B必要条件必要条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件课堂巩固练习课堂巩固练习 解析：解析：因为因为， 所以所
10、以是是的充分条件的充分条件 答案：答案： A 2下面叙述正确的是下面叙述正确的是( ) A综合法、分析法是直接证明的方法综合法、分析法是直接证明的方法 B综合法是直接证法，分析法是间接证法综合法是直接证法，分析法是间接证法 C综合法、分析法所用语气都是肯定的综合法、分析法所用语气都是肯定的 D综合法、分析法所用语气都是假定的综合法、分析法所用语气都是假定的 解析：解析： 直接证明包括综合法和分析法直接证明包括综合法和分析法 答案：答案： A 3已知已知a，b，c，d R，求证：，求证： (acbd)2(a2b2)(c2d2)证明：证明： 左边左边a2c22abcdb2d2 a2c2(a2d2b2c2)b2d2 (a2b2)(c2d2)右边，右边， (acbd)2(a2b2)(c2d2)总结概括：总结概括： 1、你这一节课的收获如何？2、 小组合作效果如何？分层作业： 1 1、必做题：教材第、必做题：教材第9191页习题页习题2.22.2第第2,32,3题题 2 2、选做题：同步练习册课后提升习题、选做题：同步练习册课后提升习题
