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1、第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数第一节第一节 常数项级数常数项级数一一常数项级数的概念及基本性质常数项级数的概念及基本性质二二正项级数及其判敛法正项级数及其判敛法三三任意项级数任意项级数1 1第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数一一 常数项级数的概念及基本性质常数项级数的概念及基本性质1 常数项级数的概念常数项级数的概念 引例引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次
2、作圆内接正依次作圆内接正边形边形, , 这个和逼近于圆的面积这个和逼近于圆的面积 A .设设 a0 表示表示即即内接正三角形面积内接正三角形面积, ak 表示边数表示边数增加时增加的面积增加时增加的面积, 则则圆内接正圆内接正2 2第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数引例引例2.小球从小球从 1 米高处自由落下米高处自由落下, 每次跳起的高度每次跳起的高度减减少一半少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理说明道理.由自由落体运动方程由自由落体运动方程知知则小球运
3、动的总时间为则小球运动的总时间为设设 tk 表示第表示第 k 次小球落地的时间次小球落地的时间, 第第 k 次小球跳起的次小球跳起的高度为高度为米，米， 因此因此3 3第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数定义定义： 给定一个数列给定一个数列将各项依将各项依即即称上式为称上式为无穷级数无穷级数， 其中第其中第 n 项项叫做级数的叫做级数的一般项一般项,级数的前级数的前 n 项和项和称为称为级数的部分和级数的部分和.次相加次相加, 简记为简记为收敛收敛 ,则称无穷级数则称无穷级数并称并称 S 为级数的为
4、级数的和和, 记作记作4 4第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数当级数收敛时当级数收敛时, 称差值称差值为级数的为级数的余项余项.则称无穷级数则称无穷级数发散发散 .显然显然5 5第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数例例1. 讨论等比级数讨论等比级数 (又称几何级数又称几何级数)( q 称为公比称为公比 ) 的敛散性的敛散性. 解解: 1) 若若从而从而因此级数收敛因此级数收敛 ,从而从而则部分和则部分和
5、因此级数发散因此级数发散 .其和为其和为6 6第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数2). 若若因此级数发散因此级数发散 ;因此因此n 为奇数为奇数n 为偶数为偶数从而从而综合综合 1)、2)可知可知,时时, 等比级数收敛等比级数收敛 ;时时, 等比级数发散等比级数发散 .则则级数成为级数成为不存在不存在 , 因此级数发散因此级数发散.此时此时7 7第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数如果级数如果级数是发散
6、的。是发散的。解解例例2. 说明调和级数说明调和级数:是收敛的，是收敛的，则则但但所以，所以， 级数级数是发散的是发散的8 8第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数例例3. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:解解: (1) 所以级数所以级数 (1) 发散发散 ;技巧技巧:利用利用 “拆项相消拆项相消” 求求和和9 9第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数(2) 所以级数所以级数 (2) 收敛收敛, 其
7、和为其和为 1 .技巧技巧:利用利用 “拆项相消拆项相消” 求求和和1010第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数 例例4. 判别级数判别级数的敛散性的敛散性 .解解:故原级数收敛故原级数收敛 , 其和为其和为1111第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数2 无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质 性质性质1 若级数若级数收敛于收敛于 S ,则各项则各项乘以常数乘以常数 c 所得级数所得级数也收敛也收敛 ,证证
8、: 令令则则这说明这说明收敛收敛 , 其和为其和为 c S . 说明说明: 级数各项乘以级数各项乘以非零常数非零常数后其敛散性不变后其敛散性不变 .即即其和为其和为 c S .即即1212第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数性质性质2 设有两个收敛级数设有两个收敛级数则级数则级数也收敛也收敛, 其和为其和为证证: 令令则则这说明级数这说明级数也收敛也收敛, 其和为其和为即即1313第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级
9、级级数数数数说明说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散 , 则则必发散必发散 . 但若二级数都发散但若二级数都发散 ,不一定发散不一定发散.例如例如, (1) 性质性质2 表明收敛级数可逐项相加或减表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证用反证法可证)1414第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数例例5判别下列级数的敛散性，如果收敛，求其和判别下列级数的敛散性，如果收敛，求其和解解（1） 因为因为均收敛，均收敛， 所以所以收敛，收敛， 且且（2）因为因为收敛，收敛，发散
10、，发散，发散。发散。1515第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数性质性质3. 在级数前面加上或去掉在级数前面加上或去掉有限项有限项, 不会影响级不会影响级数的敛散性数的敛散性.证证: 将级数将级数的前的前 k 项去掉项去掉,的部分和为的部分和为数敛散性相同数敛散性相同. 当级数收敛时当级数收敛时, 其和的关系为其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同极限状况相同, 故新旧两级故新旧两级所得新级数所得新级数1616第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级
11、数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数性质性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和数的和.证证: 设收敛级数设收敛级数若按某一规律加括弧若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列则新级数的部分和序列 为原级数部分和为原级数部分和序列序列 的一个子序列的一个子序列,推论推论: 若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散, 则原级数必发则原级数必发散散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但但发散发散.因此必有因此必有例如，例如，用反证法可证用反证法可
12、证例如例如1717第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数例例6.判断级数的敛散性判断级数的敛散性:解解: 考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数发散发散 ,从而原级数发散从而原级数发散 .1818第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数设收敛级数设收敛级数则必有则必有证证: 可见可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .性质性质5. 收敛级数的必要条件收敛级数的必要条件注
13、意注意:并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.例如例如, 调和级数调和级数虽然虽然但此级数发散但此级数发散 .1919第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数例例7.说明下列级数是发散的说明下列级数是发散的解解（1）所以原级数是发散的所以原级数是发散的（2）所以原级数是发散的所以原级数是发散的（3）级数是发散级数是发散2020第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数（4）故故从而从而这说明级数这说明级数(
14、1) 发散发散.2121第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数二二 正项级数及其判敛法正项级数及其判敛法若若基本定理基本定理 收敛的充要条件是收敛的充要条件是 部分和部分和有界有界 .若若收敛收敛 , 部分和数列部分和数列有界有界, 故故从而从而又已知又已知故有界故有界.则称则称为为正项级数正项级数 .单调递增单调递增, 收敛收敛 , 也收敛也收敛.证证: “ ”“ ”正项级数正项级数序列序列2222第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无
15、无无无穷穷穷穷级级级级数数数数都有都有定理定理2 (比较审敛法比较审敛法) 设设且存在且存在对一切对一切有有(1) 若级数若级数则级数则级数(2) 若级数若级数则级数则级数证证:设对一切设对一切则有则有收敛收敛 ,也收敛也收敛 ;发散发散 ,也发散也发散 .分别表示级数分别表示级数是两个正项级数是两个正项级数, (常数常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故故不妨不妨部分和部分和, 则有则有2323第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数(1) 若
16、级数若级数则有则有因此对一切因此对一切有有由定理由定理 1 可知可知,则有则有(2) 若级数若级数因此因此这说明级数这说明级数也发散也发散 .也收敛也收敛 .发散发散, ,收敛收敛,级数级数2424第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数例例8.8. 讨论讨论p- -级数级数的收敛性的收敛性解解: 1) 若若因为对一切因为对一切而调和级数而调和级数由比较审敛法可知由比较审敛法可知 p 级数级数发散发散 .发散发散 ,2525第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十
17、十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数因为当因为当故故考虑级数考虑级数的部分和的部分和故级数故级数时时,2) 若若p 级数收敛级数收敛 .收敛收敛 , 由比较审敛法知由比较审敛法知2626第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, , p- -级数级数, , 调和级数调和级数. .例例9. 9. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性 解解 (1) 而而 发散发散, 所以所以 原级数发散原级数发散2727第一节第一节第一节第一节 常数项级数
18、常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数(2)收敛，收敛， 所以所以收敛收敛.(3)收敛，收敛， 所以所以收敛收敛.(4) 所以所以 原级数收敛原级数收敛收敛收敛2828第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数例例10. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性解解(1)当当时，时，则级数则级数发散，发散，所以级数所以级数发散发散.2929第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷
19、穷穷穷级级级级数数数数(2)时，时，对于级数对于级数由于由于则收敛，则收敛， 所以级数所以级数收敛收敛.3030第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数定理定理3. (比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式)则有则有两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当当 l = 0 (3) 当当 l = 证证: 据极限定义据极限定义,设两正项级数设两正项级数满足满足(1) 当当 0 l 时时,3131第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章
20、章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数由定理由定理 2 可知可知同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散 ;(3) 当当l = 时时,即即由定理由定理2可知可知, 若若发散发散 , (1) 当当0 l 时时,(2) 当当l = 0时时,由定理由定理2 知知收敛收敛 , 若若3232第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数特别取特别取推论推论（极限判别法极限判别法） 设设为正项级数，为正项级数，如果如果则级数则级数收敛；收敛；如果如果则级数则级数发散；发散；3333第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数
21、常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数例例11 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性解解 (1)根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知(2)根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知收敛收敛3434第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数(3)根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知(4) 根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知3535第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第
22、第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数例例12 判别级数判别级数的敛散性的敛散性.解解当当时时当当时，时，当当时时发散，发散，当当时，时，收敛收敛根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知3636第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数定理定理4 . 比值审敛法比值审敛法 ( Dalembert 判别法判别法)设设 为正项级数为正项级数, 且且则则(1) 当当(2) 当当证证: (1)收敛收敛 ,时时, 级数收敛级数收敛 ;或或时时, 级数发散级数发散 .由比较审敛法
23、可知由比较审敛法可知3737第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数因此因此所以级数发散所以级数发散.时时(2) 当当说明说明: 当当时时, ,级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散. .例如例如, , p 级数级数但但级数收敛级数收敛 ;级数发散级数发散 .从而从而3838第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数注意注意 (1) 当当时比值审敛法失效时比值审敛法失效; ;条件是充分的条件是充分的,而非必要
24、而非必要. (2)3939第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数(3)在判别收敛时，在判别收敛时，求极限过程不可缺，求极限过程不可缺，而而事实上事实上4040第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数例例13 13 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性: :(1)(2) (3)解解(1)所以所以收敛收敛.4141第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章
25、 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数比值审敛法失效比值审敛法失效, , 改用比较审敛法改用比较审敛法(2)所以所以发散发散4242第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数的敛散性的敛散性 .解解: 根据定理根据定理4可知可知:级数收敛级数收敛 ;级数发散级数发散 ;例例14. 讨论级数讨论级数4343第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数对任意给定的正数对任意给定的正数 定理定理5. 根值审敛法根值审敛法 ( C
26、auchy判别法判别法)设设 为正为正则则证明提示证明提示: 即即分别利用上述不等式的左分别利用上述不等式的左,右部分右部分, 可推出结论正确可推出结论正确.项级项级数数, 且且4444第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数例例15. 证明级数证明级数收敛于收敛于S ,近似代替和近似代替和 S 时所产生的误差时所产生的误差 . 解解: : 由定理由定理5可知该级数收敛可知该级数收敛 . 令令则所求误差为则所求误差为并估计以部分和并估计以部分和 Sn4545第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数
27、常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数三三 任意项级数任意项级数则各项符号正负相间的级数则各项符号正负相间的级数称为称为交错级数交错级数 .定理定理6 . ( Leibnitz 判别法判别法 ) 若交错级数满足条件若交错级数满足条件:则级数则级数收敛收敛 , 且其和且其和 其余项满足其余项满足1 交错级数交错级数4646第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数证证: 是单调递增有界数列是单调递增有界数列,又又故级数收敛于故级数收敛于S, 且且故故4747第
28、一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数例例1616 判别级数判别级数的收敛性的收敛性. .解解 (1)且且所以所以收敛收敛.(2)(2)原级数收敛原级数收敛. .4848第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数2、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数对任意项级数若若若原级数收敛若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散, 则称原则称原级级收敛收敛 ,数数为条件收敛为
29、条件收敛 .均为绝对收敛均为绝对收敛.例如例如 ：绝对收敛绝对收敛 ；则称原级则称原级数数条件收敛条件收敛 .4949第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数证证: 设设根据比较审敛法根据比较审敛法显然显然收敛收敛,收敛收敛也收敛也收敛且且收敛收敛 , 令令定理定理7. 绝对收敛的级数一定收敛绝对收敛的级数一定收敛 .5050第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数例例17 判别下列级数敛散性，如果收敛指出是条件判别下列级数敛散性，如果收敛指出是条件收敛，还是绝对收敛。收敛，还是绝对收敛。解解(1)收敛收敛,所以所以收敛且绝对收敛。收敛且绝对收敛。5151第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数(2)所以所以发散，发散，而而且且条件收敛条件收敛5252第一节第一节第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数第第第第十十十十一一一一章章章章 无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数(3)发散发散.(4)所以所以发散，发散，令令而而所以所以收敛且条件收敛。收敛且条件收敛。5353
