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1、第一节第一节 力力在直角坐标轴上在直角坐标轴上的的投影投影第二节第二节 力力对轴的矩和力对点的矩对轴的矩和力对点的矩第三节第三节 空间任意空间任意力系的力系的简化简化第四节第四节 空间力系的平衡条件和平衡方程空间力系的平衡条件和平衡方程第五节第五节 重心重心主要内容 第四章第四章 空间空间力系力系和重心和重心第一节 力在直角坐标轴上的投影1、概念、概念空间力系空间力系就是指各力的作用线不在同一平面内的力系。就是指各力的作用线不在同一平面内的力系。在空间力系中，若各力的作用线汇交于一点，称为在空间力系中，若各力的作用线汇交于一点，称为空间汇交力系空间汇交力系若各力的作用线相互平行，称为若各力的作
2、用线相互平行，称为空间平行力系空间平行力系若各力的作用线既不完全汇交于一点也不完全平行，若各力的作用线既不完全汇交于一点也不完全平行， 称为称为空间一般力系空间一般力系。空间任意力系空间任意力系空间平行力系空间平行力系空间汇交力系空间汇交力系空间力系实例空间力系实例2.1力在空间的表示力在空间的表示2、力在直角坐标轴上的投影、力在直角坐标轴上的投影力的三要素：力的三要素：大小、方向、作用点大小、方向、作用点大小：大小：方向：由方向：由 、 、 三个方三个方向角确定或由仰角向角确定或由仰角 与方位与方位角角 来确定。来确定。bgqFxyO作用点：物体和力矢的起点作用点：物体和力矢的起点或终点的接
3、触之点。或终点的接触之点。第一节 力在直角坐标轴上的投影bgqFxyO2.2一次投影法（直接投影法）一次投影法（直接投影法）第一节 力在直角坐标轴上的投影若已知力若已知力F与三个坐标轴与三个坐标轴x、y、z的夹角的夹角分别为分别为 、 时，则时，则F 在三个坐标轴在三个坐标轴上的投影分别为上的投影分别为:反之，当已知力反之，当已知力F在三个坐在三个坐标轴上的投影时，可求出力标轴上的投影时，可求出力F 的大小和方向。的大小和方向。2.3 二次投影法（间接投影法）二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将确定时，可先将 F 投影到投影到xy面上，然后再投影
4、到面上，然后再投影到x、y轴上，轴上，即即:第一节 力在直角坐标轴上的投影2.4力沿坐标轴分解：力沿坐标轴分解： 若以若以Fx、Fy、Fz 表示力沿直角表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：坐标轴的正交分量，则： 因为：因为：F=Fx+Fy+Fz而：而：Fx=Fxi, Fy=Fyj, Fz=Fzk因此：因此：F=Fxi+Fyj+Fzki, j, ki, j, k分别表示沿分别表示沿x, y, zx, y, z三个坐标轴正向的单位向量三个坐标轴正向的单位向量。力力F F沿空间直角坐标沿空间直角坐标系的解析表达式系的解析表达式 例题例题 4-1 力力F 作用在正六面的对角线作用在正六面的对角线上，如图
5、所示，若正六面体上，如图所示，若正六面体的边长为的边长为 a.计算力计算力 F 在在 x, y, z轴上的投影轴上的投影.第一节 力在直角坐标轴上的投影 解解-方法方法 1 解解-方法方法 21.力对轴的矩力对轴的矩 第二节 力对轴的矩和力对点的矩 1.1 定义：定义：力使物体绕某一轴转动效应的量度力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴之矩称为力对该轴之矩.它等于力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与平面的交点之矩。符号它等于力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与平面的交点之矩。符号规定：从规定：从z轴正向向里看，若力使刚体逆时针转取正，反之取负。也轴正向向里看，若力使刚体逆时针转取正，反之取负
6、。也可可按右手螺旋法则，即用右手的四指来表示力绕轴的转向，如果拇指按右手螺旋法则，即用右手的四指来表示力绕轴的转向，如果拇指的指向与的指向与z轴正向相同，力矩为正，反之为负。轴正向相同，力矩为正，反之为负。 分力 Fxy 使门绕 z 轴旋转 使用 表示力 F 对 z 轴的矩 代数量1.2 1.2 特殊力对轴的矩特殊力对轴的矩力与轴相交（力与轴相交（d=0d=0）或与轴平行（力与轴在同一平面内）或与轴平行（力与轴在同一平面内F Fxyxy=0=0），），力对该轴的矩为零力对该轴的矩为零. .1.3 1.3 力对轴的矩的解析式力对轴的矩的解析式由合力矩定理：由合力矩定理：即同理可得其余两式，即有：
7、同理可得其余两式，即有：力对轴的矩的解析式力对轴的矩的解析式2.力对点的矩力对点的矩力矩的大小力矩的大小 ； 力的作用线与力的作用线与矩心所组成的平面的矩心所组成的平面的方位方位 。力矩的转向力矩的转向 ；决定力对刚体的作用效应决定力对刚体的作用效应,除力矩的大小、力矩的转向外除力矩的大小、力矩的转向外,还须考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不同，则力对物还须考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不同，则力对物体的作用效应也不同。所以空间力对体的作用效应也不同。所以空间力对刚体的作用效应取决于下列三要素：刚体的作用效应取决于下列三要素：例例 力力P1， P2 ，P3 对汽车反镜对汽车反镜绕球铰
8、链绕球铰链O点的点的转动效应不同转动效应不同 第二节 力对轴的矩和力对点的矩2.1力对点的矩的矢量表示力对点的矩的矢量表示 在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中，在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中，由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。 力矩矢的表示方法力矩矢的表示方法 力矩矢大小力矩矢大小 ： 力矩矢方位：力矩矢方位： 与该力和矩心组成的平面与该力和矩心组成的平面的法线方位相同的法线方位相同注意：力矩矢为定位矢量注意：力矩矢为定位矢量注意：力矩矢为定位矢量注意：力矩矢为定位矢量 力矩矢的指向：与转向力矩矢的指向：
9、与转向的关系服从右手螺旋定则。或从的关系服从右手螺旋定则。或从力矩矢的末端看去，物体由该力力矩矢的末端看去，物体由该力所引起的转向为逆时针转向。所引起的转向为逆时针转向。力对点的矩的矢积表达式力对点的矩的矢积表达式 如果如果r 表示表示A点的矢径，则：点的矢径，则： 导出导出力对点的矩等于矩心到该力作用点力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。的矢径与该力的矢量积。又 结论结论力对点的矩的解析表达式力对点的矩的解析表达式 力对点的矩的矢积表达式力对点的矩的矢积表达式 3、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系 (1) 定理定理: 力对点的矩矢
10、在通过该点的任意轴上的投影等于这力力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。 4.1 空间力偶三要素空间力偶三要素力偶矩的大小力偶矩的大小 力偶作用面的方位力偶作用面的方位力偶的转向力偶的转向 y 第二节 力对轴的矩和力对点的矩4、空间力偶矩矢、空间力偶矩矢 空间力偶三要素可以用一个矢量表示，该矢量称为力偶矩力偶矩矢。矢。4.2 力偶矩用矢量表示力偶矩用矢量表示 力偶矩力偶矩矢矢 力偶矩力偶矩矢表示方法矢表示方法 大小：大小：矢量的长度表示力偶矩的大小； 矢量的方位：矢量的方位：
11、与力偶作用面的法线方位相同 矢量的指向：矢量的指向：与转向的关系服从右手螺旋定则。或从力偶矢的末端看去，力偶的转向为逆时针转向。 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。4.3 空间力偶的性质空间力偶的性质(1)等效等效定理定理 (2)在同一刚体内，力偶可以从一个平面移至另在同一刚体内，力偶可以从一个平面移至另一平行平面而不改变它对刚体的作用。一平行平面而不改变它对刚体的作用。 (4)空间力偶矩矢是一个自由矢量由于力偶空间力偶矩矢是一个自由矢量由于力偶可以
12、在同一平面内和平行平面内任意移转，因此可以在同一平面内和平行平面内任意移转，因此表示力偶矩的矩矢的矢端亦可在空间任意移动，表示力偶矩的矩矢的矢端亦可在空间任意移动，可见空间力偶矩矢是一个自由矢量。可见空间力偶矩矢是一个自由矢量。 (3)只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用 面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的 大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变. 1.1空间力的平移空间力的平移附加力偶矩矢d 第三节 空间任意力系的简化1.空间任意力系向任意一点简化空间任意力系向任意一点简化 1
13、.2 空间力系的简化空间力系的简化点点O O：空间中任意选择的简化中心：空间中任意选择的简化中心将将 F1 F1 平移到点平移到点O, O, 将空间中的其它力平移到点将空间中的其它力平移到点O: O: 主矢主矢 FR主矩主矩 MO主矢与简化中心的选择无关主矢与简化中心的选择无关, , 主矩与简化中心有关。简化中心选择不同，各力主矩与简化中心有关。简化中心选择不同，各力对简化中心的力矩也不相同。对简化中心的力矩也不相同。 1.2 空间力系的简化空间力系的简化 1.2 空间力系的简化空间力系的简化 1.2 空间力系的简化空间力系的简化结论结论空间空间一般力系向任一点一般力系向任一点O 简化简化 ，
14、一般可以得到一力和，一般可以得到一力和一力偶一力偶 ；该力作用于简化中心；该力作用于简化中心 ，其大小及方向等于该力系的，其大小及方向等于该力系的主矢主矢 ，该力偶之矩矢等于该力系对于简化中心的主矩，该力偶之矩矢等于该力系对于简化中心的主矩 。 第三节 空间任意力系的简化 1.3 简化结果分析简化结果分析其矩等于原力系对于简化中心的主矩其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。此时主矩与简化中心的位置无关。合力作用线通过简化中心，其大小和方向合力作用线通过简化中心，其大小和方向与原力系的主矢相同与原力系的主矢相同 1.3 简化结果分析简化结果分析由于做力螺旋：力螺旋：
15、由力及垂直与该力由力及垂直与该力平面内的力偶所组成的特殊平面内的力偶所组成的特殊力系。力系。不能再进一步简化。不能再进一步简化。 1.3 简化结果分析简化结果分析M 和主矢FR合成为合力FR 而：所以M/和R 在O点处形成一个力螺旋点处形成一个力螺旋。M/不变，是在平面内的一力偶 6 若 ，R不平行也不垂直M0，成最一般的任意角 时， 可将M/搬到O处因为M/ / 是自由矢量，首先把MO 分解为M/和M , 力系简化中，不随简化中心改变的量有：R， M/ 简化中心为O时：有M 和M/，当简化中心为另一点O1 时，为M 和M/ ， 即M/总是不变的（它是原力系中的力偶与简它是原力系中的力偶与简化
16、中心无关）化中心无关） R， M/是是力系简化中的不变量力系简化中的不变量 1.4 注意注意 例题例题 4-2如图所示，正六面体的边长等于如图所示，正六面体的边长等于100mm, 100mm, F F1 1= =F F2 2= =F F3 3= =F F4 4= =F F5 5= =F F=100N,=100N,将该力系向将该力系向A A点简化，并分析简化点简化，并分析简化结果。结果。 解解解解 F1=F2=F3=F4=F5=F=100N 解解解解 F1=F2=F3=F4=F5=F=100N 解解解解 F1=F2=F3=F4=F5=F=100N以点 A 为简化中心 解解解解 F1=F2=F3=
17、F4=F5=F=100N简化结果是一个力螺旋 1 1 空间任意力系平衡的充要条件和平衡方程：空间任意力系平衡的充要条件和平衡方程： 空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零. . 第四节 空间力系的平衡条件和平衡方程该力系的主矢、主矩分别为零：该力系的主矢、主矩分别为零：空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程矩心矩心O O可任选；力的投影轴、取矩轴也可斜交；力的投影轴、取矩轴
18、也可不一致，可任选；力的投影轴、取矩轴也可斜交；力的投影轴、取矩轴也可不一致，但要保证但要保证6 6个方程是独立的。个方程是独立的。巧妙选择投影轴、取矩轴，可使每个方程只含一个未知量，避免解联立方程组巧妙选择投影轴、取矩轴，可使每个方程只含一个未知量，避免解联立方程组。 第四节 空间力系的平衡条件和平衡方程1 1 空间特殊力系平衡方程空间特殊力系平衡方程（1 1）空间汇交力系）空间汇交力系3 3个独立方程个独立方程各力交于各力交于O O点点平衡方程仅有平衡方程仅有即即O 第四节 空间力系的平衡条件和平衡方程1 1 空间特殊力系平衡方程空间特殊力系平衡方程（2 2）空间平行力系）空间平行力系3
19、3个独立方程个独立方程设各力平行于设各力平行于z z 轴，则有轴，则有平衡方程仅有平衡方程仅有 xyzO 第四节 空间力系的平衡条件和平衡方程1 1 空间特殊力系平衡方程空间特殊力系平衡方程（3 3）空间力偶系）空间力偶系平衡方程仅有平衡方程仅有即即O例例4-34-3：均质长方形薄板，重量均质长方形薄板，重量P=200NP=200N，角，角A A由光滑球铰链固定，角由光滑球铰链固定，角B B处处嵌入固定的光滑水平滑槽内，滑槽约束了角嵌入固定的光滑水平滑槽内，滑槽约束了角B B在在x,zx,z方向的运动，方向的运动，ECEC为钢为钢索，将板支持在水平位置上，试求板在索，将板支持在水平位置上，试求
20、板在A A，B B处的约束力及钢索的拉力。处的约束力及钢索的拉力。解：（解：（1 1）以板为对象画出受力图）以板为对象画出受力图. .ACDxyzE30 zyACDxEBP30 解：（解：（2 2）列平衡方程）列平衡方程yACDxEBP30 解：（解：（2 2）列平衡方程）列平衡方程yACDxEBP30 例例4-44-4：已知已知T1=2T2，链条与，链条与x1夹角为夹角为30，鼓轮半径，鼓轮半径r=10cm，轮盘半径，轮盘半径R=20cm，Q=10kN。求匀速吊起重物时，求链条拉。求匀速吊起重物时，求链条拉力和轴承力和轴承A、B的约束力的约束力ABQ30cm40cm30cmRx1zr解：取鼓
21、轮和重物为研究对象：解：取鼓轮和重物为研究对象：例例4-44-4：已知已知T1=2T2，链条与，链条与x1夹角为夹角为30，鼓轮半径，鼓轮半径r=10cm，轮盘半径，轮盘半径R=20cm，Q=10kN。求匀速吊起重物时，求链条拉。求匀速吊起重物时，求链条拉力和轴承力和轴承A、B的约束力的约束力解：取鼓轮和重物为研究对象：解：取鼓轮和重物为研究对象：ABQ30cm40cm30cmRx1zrx第五节 重心1 1、重心的概念、重心的概念 重力是地球对物体的吸引力，如果将物体由无数的质重力是地球对物体的吸引力，如果将物体由无数的质点组成，则重力便构成空间汇交力系。由于物体的尺寸比点组成，则重力便构成空
22、间汇交力系。由于物体的尺寸比地球小得多，因此可近似地认为重力是个地球小得多，因此可近似地认为重力是个平行力系平行力系，这力，这力系的合力就是物体的重量。不论物体如何放置，其重力的系的合力就是物体的重量。不论物体如何放置，其重力的合力的作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个点合力的作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个点称为称为物体的重心物体的重心。1.11.1空间平行力系的中心空间平行力系的中心(2)(2)平行力系的中心坐标公式平行力系的中心坐标公式( (投影式投影式) ) (1)(1)定义：定义：空间平行力系，当它有合力时，合力的作用空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点点C C
23、就是此平行就是此平行力系的中心。力系的中心。第五节 重心FR 物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。即物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。即组成物体各组成物体各质点的重力的合力作用线所通过的一个确定的点，这个点称为质点的重力的合力作用线所通过的一个确定的点，这个点称为物体的重心物体的重心1.2 1.2 物体的重心物体的重心1.3 1.3 确定物体重心的意义确定物体重心的意义 保证平衡的稳定性；保证平衡的稳定性； 保证运动的稳定性；保证运动的稳定性； 消除振动。消除振动。PnP1P 设有一重为P的物体，将它分成许多微小部分，若各微小部分所受的重力分别用P1, P2,Pn
24、表示，则有 P= P1+ P2+Pn =Pi取空间直角坐标系Oxyz，设各微小部分重力作用点的坐标分别为(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2)、(xn,yn,zn)，物体重心C点的坐标为（xC,yC,zC)。1.4 1.4 重心坐标公式重心坐标公式 对y轴应用合力矩定理有：对x轴应用合力矩定理有：根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将物体连同坐标轴转动90, 使重力合力与各分力与y轴平行，由重心的概念可知，此时物体的重心位置C不变。再对z轴应用合力矩定理，可得：1.4 1.4 重心坐标公式重心坐标公式 因此，一般物体重心的坐标公式为PnP1P1.4 1.4 均质物体重心坐标公
25、式均质物体重心坐标公式 (1)均质物体密度为常数，设为均质物体密度为常数，设为，并设物体所分成的每个微小部分体积为，并设物体所分成的每个微小部分体积为V1,V2,Vn, 物体总体积为物体总体积为V，则，则P1= V1, P2= V2, , Pn= Vn, P= V 重心坐标公式变为：重心坐标公式变为： (2)当为均质平面薄板，若每个微小部分面积为当为均质平面薄板，若每个微小部分面积为A1,A2,An,总面积为总面积为A， 则重心坐标公式变为：则重心坐标公式变为： (3)当为均质细长杆，若每个微小部分长度当为均质细长杆，若每个微小部分长度L1,L2,Ln,总长为总长为L， 则重心坐标公式变为：则
26、重心坐标公式变为： (1)对称法对称法(简单几何形状物体重心）简单几何形状物体重心） 具有对称点具有对称点对称轴对称轴对称面的均质物体，其重心就在其对称点对称面的均质物体，其重心就在其对称点对对称轴称轴对称面上。对称面上。1.5 1.5 确定重心方法确定重心方法 简单几何形状物体重心简单几何形状物体重心(2) (2) 组合法组合法分割法分割法例例4-54-5 已知：已知：Z Z 形截面，尺寸如图。形截面，尺寸如图。求：该截面的重心位置。求：该截面的重心位置。解：将该截面分割为三部分，取解：将该截面分割为三部分，取OxyOxy直直角坐标系，如图：角坐标系，如图：1.5 1.5 确定重心方法确定重
27、心方法 组合法组合法负面积法负面积法 解解： Z 形截面可视为由面积为S1的大矩形和面积分别为S2及S3的小矩形三部分组成， S2及S3是应去掉的部分，面积为负值。1.5 1.5 确定重心方法确定重心方法 悬挂法：悬挂法：(3) (3) 实验室方法确定重心实验室方法确定重心1.5 1.5 确定重心方法确定重心方法 则则将车提高将车提高H H高度后，同理有高度后，同理有称重法：称重法：(3) (3) 实验室方法确定重心实验室方法确定重心1.5 1.5 确定重心方法确定重心方法 一、概念及内容一、概念及内容 空间力偶及空间力对点之矩是矢量， 空 间力对轴之矩和平面力偶、平面力对点之矩是代数量。 空
28、间力系合力投影定理合力投影定理： 空间力系的合力矩定理合力矩定理： 空间力对点之矩与对轴之矩的关系( Z 轴过轴过O点）点）第四章 小结二、基本方程二、基本方程 空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程空空间间一一般般力力系系空空间间汇汇交交力力系系空空间间力力偶偶系系空空间间x轴轴力力系系 四矩式、 五矩式和六矩式的附加条件均 为使方程式独立。四四矩矩式式空空 间间xoy面面的的力力系系 空间力系的几个问题空间力系的几个问题 x , y, z (三个矩轴和三个投影轴可以不重合)可以是任选的六个轴。 力矩方程一般不少于三个（MO是矢量） 空间一般力系有六个独立平衡方程（空间物体六个自由度） 可解六个未知量。 三、解题步骤、技巧与注意问题三、解题步骤、技巧与注意问题： 解题步骤解题步骤(与平面问题相同)选研究对象；画受力图；选取坐标轴；列平衡方程、求解。 解题技巧解题技巧 用矩轴代替投影轴，常常方便解题； 投影轴尽量选取得与未知力，力矩轴一般要与未知力平行或相交； 一般采取从整体局部的研究方法； 需注意的问题需注意的问题 力偶在投影方程中不出现； 空间力偶是矢量，平面力偶是代数量； 求物体重心问题常用组合法。对于均质物体，重心、形心、质心为同一点。
