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1、1)“大化大化(dhu)小小”.2) “常代变常代变”把L分成(fn chn) n 个小弧段,有向小弧段近似(jn s)代替, 则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共27页第一页，共28页。3)“近似近似(jns)和和”4) “取极限(jxin)”(其中(qzhng) 为 n 个小弧段的 最大长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共27页第二页，共28页。2.定义定义(dngy).设 L 为xoy 平面(pngmin)内从 A 到B 的一条有向光滑弧弧,若对 L 的任意(rny)分割和在局部弧段上任意(rny)取点, 都存在,在
2、有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分.其中,L 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线 .称为被积函数被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数极限记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共27页第三页，共28页。若 为空间(kngjin)曲线弧 , 记称为对 x 的曲线(qxin)积分;称为(chn wi)对 y 的曲线积分.若记, 对坐标的曲线积分也可写作类似地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共27页第四页，共28页。3.性质性质(xngzh)(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑(gung hu)曲线弧
3、(2) 用L 表示(biosh) L 的反向弧 , 则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共27页第五页，共28页。二、对坐标的曲线二、对坐标的曲线(qxin)积分积分的计算法的计算法定理定理(dngl):在有向光滑(gung hu)弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,证明证明: 下面先证存在, 且有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共27页第六页，共28页。对应(duyng)参数设分点根据(gnj)定义由于(yuy)对应参数因为L 为光滑弧 ,同理可证机动 目录 上
4、页 下页 返回 结束 第7页/共27页第七页，共28页。特别(tbi)是, 如果 L 的方程为则对空间(kngjin)光滑曲线弧 :类似(li s)有定理 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共27页第八页，共28页。例例1.计算计算(jsun)其中(qzhng)L 为沿抛物线解法解法(ji f)1 取取 x 为为参数参数, 则则解法解法2 取 y 为参数, 则从点的一段. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共27页第九页，共28页。例例2.计算计算(jsun)其中(qzhng) L 为(1) 半径(bnjng)为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A
5、( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的参数方程为(2) 取 L 的方程为则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共27页第十页，共28页。例例3.计算计算(jsun)其中(qzhng)L为(1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线(zhxin) 解解: (1) 原式(2) 原式(3) 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共27页第十一页，共28页。例例4.设在力场设在力场作用(zuyng)下, 质点由沿移动(ydng)到解解: (1)(2) 的参数(cnsh)方程为试求力场对质点所作的功.其中为机动 目录 上页 下页 返
6、回 结束 第12页/共27页第十二页，共28页。例例5.求求其中(qzhng)从 z 轴正向(zhn xin)看为顺时针方向.解解: 取取 的参数的参数(cnsh)方程方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共27页第十三页，共28页。三、两类曲线积分三、两类曲线积分(jfn)之间之间的联系的联系设有向光滑(gung hu)弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知L切向量的方向(fngxing)余弦为则两类曲线积分有如下联系机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共27页第十四页，共28页。类似地类似地,在空间曲线在空间曲线 上的两类曲线积分上的两类曲线积分(jfn)的的联系是联
7、系是令记 A 在 t 上的投影为机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第15页/共27页第十五页，共28页。二者夹角(ji jio)为 例例6.设设曲线(qxin)段 L 的长度为s, 证明续,证证:设说明: 上述(shngsh)证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共27页第十六页，共28页。例例7. .将积分(jfn)化为对弧长的积分,解：解：其中(qzhng)L 沿上半圆周机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第17页/共27页第十七页，共28页。1. 定义(dngy)2. 性质(xngzh)(1) L可分成(fn
8、chn) k 条有向光滑曲线弧(2) L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共27页第十八页，共28页。3.计算计算(jsun) 对有向光滑(gung hu)弧 对有向光滑(gung hu)弧机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共27页第十九页，共28页。4. 两类曲线积分(jfn)的联系对空间对空间(kngjin)有向光滑弧有向光滑弧 :机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共27页第二十页，共28页。原点 O 的距离(jl)成正比,思考思考(sko)与练与练习习
9、1. 设一个设一个(y )质质点在点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示提示:(解见 P139 例5)F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. 思考思考: 若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共27页第二十一页，共28页。2.已知已知为折线(zhxin) ABCOA(如图), 计算提示提示(tsh):机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共27页第二十二页，共28页。作业作业(zuy)P141 3 (2), (4), (6), (7) ; 4 ; 5 ; 7 ; 8第三
10、节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第23页/共27页第二十三页，共28页。备用备用(biyng)题题1.解解:线移动(ydng)到向坐标(zubio)原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.沿直求 F 所作的功 W. 已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共27页第二十四页，共28页。2.设曲线设曲线(qxin)C为曲为曲面面与曲面(qmin)从 ox 轴正向(zhn xin)看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;(2) 计算曲线积分解解: (1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共27页第二十五页
11、，共28页。(2) 原式 =令利用(lyng)“偶倍奇零”机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第26页/共27页第二十六页，共28页。感谢您的欣赏(xnshng)！第27页/共27页第二十七页，共28页。内容(nirng)总结1) “大化小”.。2. 定义.。L 称为积分弧段 或 积分曲线 .。定积分是第二类曲线积分的特例.。对坐标的曲线积分必须(bx)注意积分弧段的方向。二、对坐标的曲线积分的计算法。上半圆周, 方向为逆时针方向。(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ).。设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为。类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是。改为与OM 垂直且与。第26页/共27页第二十八页，共28页。
