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1、成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 选修选修2-1 空间向量与立体几何第二章第二章章 末 归 纳 总 结第二章第二章专专 题题 研研 究究2即即 时时 训训 练练3知知 识识 结结 构构1知知 识识 结结 构构专专 题题 研研 究究1向量共线与向量共面的概念,共线向量定理与共面向量定理,是解决向量问题和用向量解决立体几何问题的基本依据,讨论三点共线、直线平行、四点共面、向量共面、线面平行等等都需要运用这两个基本原理2利用空间向量判定线面、面面位置关系(1)线线平行证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量(2)线线垂
2、直证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直,则abab0.(3)线面平行用向量证明线面平行的方法主要有:证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量;利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量线性表示直线的方向向量(4)线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有:证明直线的方向向量与平面的法向量平行;利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题(5)面面平行证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);转化为线面平行、线线平行问题(6)面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直;转化为线面垂直、线线垂直问题如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,
3、M、N分别是C1C、B1C1的中点求证:(1)MN平面A1BD;(2)平面A1BD平面B1D1C(2)由(1)求得平面A1BD的一个法向量为n(1,1,1),同理可求得平面B1D1C的一个法向量m(1,1,1),所以mn,所以平面A1BD平面B1D1C方法四:(1)M、N分别为CC1、B1C1的中点,MNB1C,又B1CA1D,MNA1D,又MN平面A1BD,A1D平面A1BD,MN平面A1BD(2)B1CA1D,B1C平面A1DB,A1D平面A1BDB1C平面A1BD,同理BD1平面A1BD,平面A1BD平面B1D1C3求空间中的角(1)求异面直线所成的角设两异面直线的方向向量分别为n1、n
4、2,那么这两条异面直线所成的角为n1,n2或n1,n2,cos |cosn1,n2|.(2)求二面角的大小如图,设平面、的法向量分别为n1、n2.因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面、所成的锐二面角,所以cos |cosn1n2|.(3)求斜线与平面所成的角如图,设平面的法向量为n1,斜线OA的方向向量为n2,斜线OA与平面所成的角为,则sin |cosn1,n2|.分析建立恰当空间直角坐标系,求出相应的向量,利用法向量求解总结反思用向量法求两平面夹角的一般步骤是:(1)建立坐标系,标出点坐标;(2)求出两平面的法向量;(3)求法向量所成的角,再转化为平面夹角(1)求证:A1C平面
5、BCDE;(2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由解 析 (1)证 明 : ACBC, DEBC, DEACDEA1D,DECD,DE平面A1DCDEA1C又A1CCD,CDDED,A1C平面BCDE,A1C平面BCDE.即即 时时 训训 练练5(2015四川理,14)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E、F分别为AB、BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为,则cos 的最大值为_解析 解法一:连接AC,设ACBDO,AP与平面BDD1B1交于点G,
6、连接OG.如图所示,PC平面BDD1B1,平面BDD1B1平面APCOG,(2)存在点Q.证明:依题意,要在A1C1上找一点Q,使得D1QAP,可推测A1C1的中点O1即为所求的Q点D1O1A1C1,D1O1AA1,D1O1平面ACC1A1.又AP平面ACC1A1,故D1O1AP.从而D1Q在平面AD1P上的射影与AP垂直存在定点Q满足题意解析(1)证明:如图,取BC的中点O,连接AO.因为ABC为正三角形,所以AOBC因为在正三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,所以AO平面BCC1B1.(1)证明:PC平面BED;(2)设二面角APBC为90,求PD与平面PBC所成角的大小解析(1)以A为坐标原点,射线AC为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.