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1、第19讲特殊三角形浙江专用等腰(边)三角形、直角三角形的性质及判定性质判定等腰三角形(1)两腰相等，两底角相等；(2)顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合；(3)是轴对称图形，有一条对称轴(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形等边三角形(1)三边相等；(2)各角相等，且都等于60；(3)是轴对称图形，有三条对称轴(1)三条边相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于60的_是等边三角形等腰三角形直角三角形(1)两锐角之和等于90；(2)斜边上的中线等于斜边的_；(3)30角所对的直角边等于斜边的一半；(
2、4)若有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于_；(5)两直角边的平方和等于斜边的平方 (1)有一个角为90的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形一半301计算有关线段长度问题，如果所求线段是在直角三角形中，一般应用勾股定理求解，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和2有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件；同时，在底角没有被指定的等腰三角形中，应就某角是顶角还是底角进行讨论注意运
3、用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然3面积法：用面积法证题是常用的技巧方法之一，使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到要证明的结论4在涉及折叠的相关问题中，若原图形中含有直角或折叠后产生直角，常常把所求的量与已知条件利用折叠的性质，借助等量代换转化到一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解1(2016怀化)等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为( )A16 cm B17 cmC20 cm D16 cm或20 cm2(2016荆门)如图，ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线已知AB5，AD3，则BC的长为( )A5 B
4、6 C8 D10CCD C 5(2016湖州)如图，在RtABC中，ACB90，BC6，AC8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是_5等腰三角形有关边角的讨论 【例1】(1)(2016湘西州)一个等腰三角形一边长为4 cm，另一边长为5 cm，那么这个等腰三角形的周长是( )A13 cm B14 cmC13 cm或14 cm D以上都不对(2)(2016随州)已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x28x150的根，则该等腰三角形的周长为_点拨：由方程x28x150得：(x3)(x5)0，x30
5、或x50，解得x13或x25，当等腰三角形的三边长为9，9，3时，其周长为21；当等腰三角形的三边长为9，9，5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9，3，3时，339，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9，5，5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23.C19或21或23【点评】在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底，也可以是腰同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨论对应训练1(1)(2016赤峰)等腰三角形有一个角是90，则另两个角分别是( )A30，60 B45，45C45，90 D20，70(2)(2016淮安)已知
6、一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_B10等腰三角形的判定和性质 【例2】(2015北京)如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，BEAC于点E.求证：CBEBAD.证明：ABAC，AD是BC边上的中线，ADBC，AD平分BAC，BEAC，CBECCADC90，又CADBAD，CBEBAD.【点评】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合对应训练2在ABC中，AD平分BAC，BDAD，垂足为点D，过点D作DEAC，交AB于点E，若AB5，求线段DE的长解：AD平分BAC，BADCAD，DEAC，CADADE，BADADE，AEDE，ADDB，A
7、DB90，EADABD90，ADEBDEADB90，ABDBDE，DEBE，AB5，DEBEAE2.5等边三角形 【例3】如图，在等边ABC中，ABC与ACB的平分线相交于点O，且ODAB，OEAC.(1)试判定ODE的形状，并说明你的理由；(2)线段BD，DE，EC三者有什么关系？写出你的判断过程解：(1)ODE是等边三角形，其理由是：ABC是等边三角形，ABCACB60，ODAB，OEAC，ODEABC60，OEDACB60.ODE是等边三角形(2)BDDEEC，其理由是：OB平分ABC，且ABC60，ABOOBD30，ODAB，BODABO30，DBODOB，DBDO，同理，ECEO，D
8、EODOE，BDDEEC.【点评】此题主要考查等边三角形的判定及性质的理解及运用对应训练3(1)(2016泰州)如图，已知直线l1l2，将等边三角形如图放置，若40，则等于_ 20(2)(2015铜仁)已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连结DF并延长交BC的延长线于点E，EFFD.求证：ADCE.直角三角形、勾股定理 【例4】(1)(2015北京)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为( )A0.5 km B0.6 km C0.9 km D1.2 km(2)(2016南京)下列长度的三条线段能
9、组成钝角三角形的是( )A3，4，4 B3，4，5 C3，4，6 D3，4，7 DC【点评】(1)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键(2)在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形B 6.从不同的视角来证明几何命题 试题(2015营口)【问题探究】(1)如图，锐角ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰ABE和等腰A
10、CD，使AEAB，ADAC，BAECAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由【深入探究】(2)如图，四边形ABCD中，AB7 cm，BC3 cm，ABCACDADC45，求BD的长审题视角(1)首先根据等式的性质证明EACBAD，则根据SAS即可证明EACBAD，根据全等三角形的性质即可证明；(2)在ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角BAE，使BAE90，AEAB，连结EA，EB，EC，证明EACBAD，证明BDCE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解答题思路第一步：通读问题，根据问题选择合理的几何分析方法；第二步：(1)综合法(由因导果)：从命题的题设出发，
11、通过一系列的有关定理、公理、定义的运用，逐步向前推进，直到问题的解决；(2)分析法(执果索因)，从命题的结论考虑，推敲使其成立需必备的条件，然后再把条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步向上逆推，直到已知的条件为止；(3)两类结合法，将分析法与综合法合并使用比较起来，分析法利于思考，综合法宜于表达因此，在实际思考问题时，可综合使用，灵活处理，以缩短题设与结论之间的距离，直到完全沟通；第三步：视问题需要，添加合理的辅助线，把已知与未知集中在一起；第四步：从已知出发，一步一步作推理，使得问题得以证明；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤19.三角形的高可能在三角形外三角形的高可能在三角
12、形外 试题1在ABC中，高AD和高BE相交于点H，且BHAC，求ABC的度数错解解：如图，在RtBHD和RtACD中，CCAD90，CHBD90，HBDCAD.又BHAC，BHDACD，BDAD.ADB90，ABC45.剖析当ABC是锐角三角形时，高AD和高BE的交点H在三角形内；当ABC是钝角三角形时，高AD和高BE的交点H在三角形外在解与高有关的问题时，应考虑全面正解这里的ABC有两种情况，ABC是锐角(同错解)或ABC是钝角(图)如图，在RtBHD和RtACD中，易得CH.又ACBH，DHBDCA， AD BD， DBA 45， ABC 135.综 上 ，ABC45或135. 试题2已知ABC是等腰三角形，由A所引BC边上的高恰好等于BC边长的一半，试求BAC的度数剖析(1)对于等腰三角形问题，当给出的条件(如边、角情况)不明时，一般要分情况逐一考察，否则容易出现错解或漏解的错误(2)当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角为直角时，腰上的高与另一腰重合；当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外这是在解与等腰三角形腰上的高有关的问题时，应考虑的几个方面
