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1、第第9 9讲讲 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程第五节第五节 平面及其方程平面及其方程第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算一、向量概念一、向量概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角五、向量的模、方向角返回返回复习要求（1）理解向量的概念，掌握向量的
2、坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。（2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。（3）掌握二向量平行、垂直的条件。 一、向量概念一、向量概念向量向量：有向线段：有向线段. .符号表示：符号表示： ， ， ， ，等，等. .向量的大小：长度的值向量的大小：长度的值. .向量的方向：箭头方向向量的方向：箭头方向. .自由向量：只研究大小与方向，与起始点无关自由向量：只研究大小与方向，与起始点无关. .自由向量的相等：大小相等且指向相同自由向量的相等：大小相等且指向相同. .向量的模：向量的长度向量的模：向量的长度.|.|， |单位向量：模为单位向量：模为1 1的
3、向量的向量. .零向量：模等于零的向量，其方向任意零向量：模等于零的向量，其方向任意. .向量平行：两个非零向量的方向相同或者相反向量平行：两个非零向量的方向相同或者相反. .A AB Bk k个向量共面：个向量共面： k(3)k(3)个有公共起点的向量的个有公共起点的向量的k k个终点和起点在个终点和起点在一个平面上一个平面上. .返回返回二、向量的线性运算二、向量的线性运算1.1.向量的加减法向量的加减法加法：加法：(2)(2)平行四边形法则平行四边形法则(1)(1)三角形法则三角形法则向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）
4、结合律：多个向量相加，可以按照三角形法则多个向量相加，可以按照三角形法则. .负向量负向量： 大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .减法减法 ：特例：特例：2. 2. 向量与数的乘法向量与数的乘法向量向量 与实数与实数 的乘积记作的乘积记作数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：A AB BD DC CMM,. ., ,例例1 1 在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，中， 试用试用 和和 表示向量表示向量 、 、 和和这里这里MM是平行四边形对角线的交点是平行四边形对角线的交点. .设设解解
5、 由于平行四边形的对角线由于平行四边形的对角线互相平分互相平分, ,所以所以即即于是于是因为因为所以所以又因又因所以所以由于由于所以所以设设 表示与非零向量表示与非零向量 同方向的单位向量，按照向量与数同方向的单位向量，按照向量与数的乘积的规定，的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量量同方向的单位向量. .两个向量的平行关系两个向量的平行关系定定理理 设设向向量量 ，那那么么，向向量量 平平行行于于 的的充充分分必必要条件是：存在唯一的实数要条件是：存在唯一的实数 ，使，使 . .三、空间直角坐标系三
6、、空间直角坐标系坐标轴坐标轴：取空间一个定点：取空间一个定点O O, ,作三条互相作三条互相垂直的数轴，它们都以垂直的数轴，它们都以O O为原点且一般为原点且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫具有相同的长度单位，这三条轴分别叫作作x x轴（横轴）、轴（横轴）、y y轴（纵轴）、轴（纵轴）、z z轴轴（竖轴（竖轴););点点O O叫作坐标原点（或原点）叫作坐标原点（或原点）. .通常取通常取x x轴、轴、y y轴水平放置；轴水平放置； z z轴竖直放轴竖直放置，它们的正向符合右手法则置，它们的正向符合右手法则. .O OZ ZY YX XOxyzOxyz坐标系可记作坐标系可记作 O O； ，
7、 ， 坐标系坐标系坐标面坐标面：空间直角坐标系中任两轴确定的平面。：空间直角坐标系中任两轴确定的平面。xOyxOy面、面、 yOzyOz面、面、xOzxOz面面. .卦限卦限：坐标面将空间分为八个卦限，用字母：坐标面将空间分为八个卦限，用字母、表示表示. .面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限向量向量 的坐标分解式的坐标分解式：向径：向径： 以原点为起点，以原点为起点，MM为终点的向量，例如为终点的向量，例如 . .空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示: :坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点返回返回四、利用坐标作向量的线性运算四、利
8、用坐标作向量的线性运算设设（ 为实数）为实数）推论：推论：则则五、向量的模、方向角五、向量的模、方向角1.1.向量的模与两点的距离公式向量的模与两点的距离公式向量的模：向量的模：设有点设有点 ， 则其距离为则其距离为例例 求证以求证以 三点为顶点的三点为顶点的三角形是一个等腰三角形三角形是一个等腰三角形. .解解 因为因为同理可得同理可得所以所以, , ,即即 为等腰三角为等腰三角形形. .2.2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦两向量的夹角的概念：两向量的夹角的概念：特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在角可在0 0与与 之间任
9、意取值之间任意取值. .设设AB类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角. .向量向量a ar与向量与向量b br的夹角的夹角 设设非零向量非零向量 r=(r=(x x, ,y y, ,z z) )MMP PQ QR RO Oz zy yx x非零向量与三条坐标轴的正向的夹角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角方向角方向角：r r 的方向角的方向角：方向余弦方向余弦: :方向余弦的特征方向余弦的特征: :单位向量单位向量 的方向余弦为的方向余弦为: :例例 已知两点已知两点 和和 ，计算向量，计算向量 的模、方向余弦和方向角的模、方向余弦和方向角. .解解
10、第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积 一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积返回返回一、两向量的数量积一、两向量的数量积实例实例启示启示两向量作这样的运算两向量作这样的运算, , 结果是一个数量结果是一个数量. .定义定义数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”. .关于数量积的说明：关于数量积的说明：证证证证数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）分配律：）分配律：（3 3）若）若 为数：为数：若若 、 为数：为数：数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式设设两向量夹角余弦的坐标表示式：两向量夹角余弦的
11、坐标表示式：由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为例例 已知三点已知三点MM(1,1,1)(1,1,1)、A A(2,2,1)(2,2,1)和和B B(2,1,2)(2,1,2)，求，求 . .解解 作向量作向量MAMA及及MBMB， 就是向量就是向量MAMA与与MBMB的夹角的夹角. .这这里，里， MAMA=(1,1,0)=(1,1,0)， MBMB=(1,0,1),=(1,0,1),从而从而代入两向量夹角余弦的表达式，得代入两向量夹角余弦的表达式，得由此得由此得二、两向量的向量积二、两向量的向量积实例实例定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：/ /证证/ /
12、/向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1 1）（2 2）分配律）分配律：（3 3）若若 为数为数：设设向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示/ /由上式可推出由上式可推出补充：补充：例如，例如，解解例例 设设 ， ，计算，计算 . .例例 已知三角形已知三角形ABCABC的顶点分别是的顶点分别是A A( (1,2,3)1,2,3)、B B(3,4,5)(3,4,5)和和C C(2,4,7)(2,4,7)，求三角形，求三角形ABCABC的面积的面积. .解解 根据向量积的定义根据向量积的定义，三角形三角形ABCABC的面积为的面积为
13、由于由于因此因此于是于是第五节第五节 平面及其方程平面及其方程一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角复习要求（1）会求平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行。（2）会求点到平面的距离。（3）了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直。（4）会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线法线向量向量. . 容易知道，平面上的任一向
14、量均与该平面的法线向量容易知道，平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直垂直. .因为过空间任一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直因为过空间任一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直线，所以当平面线，所以当平面II II上一点上一点和它的一个法线向量和它的一个法线向量 为已知时，平面为已知时，平面 的位置就完全确定了的位置就完全确定了. .则则 设设 是平面是平面II II任一点任一点( (如图如图). ).由于由于 ,所以所以 不垂直不垂直, ,反过来，如果反过来，如果 不在平面不在平面II II上上, ,那么向量那么向量 与法线向量与法线向量 这就是平面这就是平面II II上任一点上任
15、一点 MM的坐标的坐标 所满足的方程所满足的方程 . .从而从而 , ,即不在平面即不在平面II II上上的点的点MM的坐标的坐标x x，y y，z z不满足方程不满足方程.由此可知，平面由此可知，平面II II上的任一点的坐标上的任一点的坐标x x，y y，z z都满足方程都满足方程 所以方程叫做平面的所以方程叫做平面的点法式方程点法式方程. . 例例 求过点求过点(2,-3,0)(2,-3,0)且以且以n n=(1,-2,3)=(1,-2,3)位法线向量的平面的方程位法线向量的平面的方程. .解解 根据平面的点法式方程，得所求平面的方程根据平面的点法式方程，得所求平面的方程 ( (x x-
16、2)2(-2)2(y y+3)+3+3)+3z z=0,=0,即即 x x22y y+3+3z z8=08=0向量向量 由于方程是由平面由于方程是由平面II II上的一点上的一点 及它的一个法线及它的一个法线确定的，确定的，例例 求过三点求过三点MM1 1(2,-1,4),M(2,-1,4),M2 2(-1,3,-2)(-1,3,-2)和和MM3 3(0,2,3)(0,2,3)的平面的平面的方程的方程. .解解 先找出这平面的法线向量先找出这平面的法线向量 n n.由于向量由于向量n n与向量与向量 都垂直，而都垂直，而 (-3,4,-6),(-3,4,-6),=(-2,3,-1)=(-2,3
17、,-1)， 所以可取它们的向量积为所以可取它们的向量积为n n： n n= = =14=14i i+9+9j jk k, ,根据平面的点法式方程，得所求的平面的方程为根据平面的点法式方程，得所求的平面的方程为14(x-2)+9(y+1)(z4)=0,14(x-2)+9(y+1)(z4)=0,14x+9yz15=0.14x+9yz15=0.二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程设有三元一次方程 AxAx+ByBy+CzCz+ +DD=0.=0.任取满足方程的一组数任取满足方程的一组数 x x0 0, ,y y0 0, ,z z0 0，即，即 AxAx0 0+BB y y0 0+C
18、C z z0 0+D D=0.=0.上两式相减，得上两式相减，得 A A( (x x- -x x0 0)+)+B B( (y y- -y y0 0)+)+C C( (z z- -z z0 0)=0.)=0.由此可知，任一三元一次的图形总是一个平面由此可知，任一三元一次的图形总是一个平面. .称方程称方程 AxAx+ByBy+CzCz+ +DD=0.=0. 平面的一般方程，其中平面的一般方程，其中x x, ,y y, ,z z的系数就是该平面的一个法线向量的系数就是该平面的一个法线向量n n的坐标，即的坐标，即n n=(=(A A, ,BB, ,C C). ).对于一些特殊的三元一次方程，应该熟
19、悉它们的图形的特点对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点. .当当D D=0=0时，时，AxAx+ByBy+CzCz=0=0表示一个通过原点的平面表示一个通过原点的平面. .当当A A=0=0时，时，ByBy+CzCz+D D=0=0，法线向量，法线向量n n(0,(0,B B, ,C C) )垂直于垂直于x x轴，轴，其表示一个平行于其表示一个平行于x x轴的平面轴的平面. .同样，方程同样，方程AxAx+CzCz+D D=0=0和和AxAx+ByBy+D D=0=0，分别表示一，分别表示一个平行于个平行于y y轴和轴和z z轴的平面轴的平面. .当当A A= =B B=0=0
20、时，时，CzCz+D D=0=0或或z z= =垂直垂直x x轴和轴和y y轴，方程表示一个平行于轴，方程表示一个平行于xOyxOy面的平面面的平面. .，法线向量法线向量n n(0,0,(0,0,C C) )同时同时例例 求通过求通过x x轴和点轴和点(4,-3,-1)(4,-3,-1)的平面的方程的平面的方程. .解解 由于平面通过由于平面通过x x轴，从而它的法线向量垂直于轴，从而它的法线向量垂直于x x轴，于是轴，于是法线向量在法线向量在x x轴上的投影为零，轴上的投影为零， 即即A A=0=0；又由平面通过；又由平面通过x x轴，轴，它必通过原点，于是它必通过原点，于是D D=0.=
21、0.因此可设这平面的方程为因此可设这平面的方程为 ByBy+CzCz=0.=0.又因这平面通过点又因这平面通过点(4,-3,-1)(4,-3,-1)，所以有，所以有-3-3B BC C=0,=0,或或 C C=-3=-3B B. .以此代入所设方程并除以以此代入所设方程并除以 B B( (B B 0) 0)，便得所求的平面方程为，便得所求的平面方程为 y y33z z=0.=0.例例 设一平面与设一平面与x x、y y、z z轴的交点依次为轴的交点依次为P P( (a a,0,0),0,0)、Q Q(0,(0,b b,0),0)、R R(0,0,(0,0,c c) )三点三点( (见下图见下图
22、) )，求这平面的方程，求这平面的方程( (其中其中 a a0,0,b b0, 0,c c 0).0).解解 设所求平面的方程为设所求平面的方程为 AxAx+ByBy+Cz+DCz+D=0=0因因P P( (a a,0,0),0,0)、Q Q(0,(0,b b,0),0)、R R(0,0,(0,0,c c) )三点都在三点都在这平面上，所以点这平面上，所以点P P、Q Q、R R的坐标都满足的坐标都满足方程；即有方程；即有得得A A=-=-，B B=-=-，C C=-=-本方程叫做平面的截距式方程，而本方程叫做平面的截距式方程，而a a、b b、c c依次叫做依次叫做平面在平面在x x、y y
23、、z z轴上的截距轴上的截距. .故所求的平面方程为故所求的平面方程为 三、两平面的夹角三、两平面的夹角两平面的法线向量的夹角两平面的法线向量的夹角( (通常指锐角通常指锐角) )称为称为两平面的夹角两平面的夹角. .设平面设平面II II1 1和和II II2 2的法线向量依次为的法线向量依次为n n1 1=(=(A A1 1, ,B B1 1, ,C C1 1) )和和n n2 2=(=(A A2 2, ,B B2 2, ,C C2 2), ),那么那么 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论： II II1 1、II II2 2
24、互相垂直相当与互相垂直相当与 II II1 1、II II2 2互相平行或重合的相当于互相平行或重合的相当于 例例 求两平面求两平面x x y y+2+2z z6=06=0和和2 2x x+y y+z z5=05=0的夹角的夹角. .解解 由前公式有由前公式有因此，所求夹角因此，所求夹角 例如，求点例如，求点(2,1,1)(2,1,1)到平面到平面x x+ +y y- -z z+1=0+1=0的距离的距离. .d d= =可利用公式，便得可利用公式，便得 点点P P0 0( (x x0 0, ,y y0 0, ,z z0 0) )到平面到平面 的距离公式：的距离公式： 第六节第六节 空间直线及
25、其方程空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程三、两直线的夹角三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 复习要求（1）了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直。（2）会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程 设两个相交的平面设两个相交的平面II II1 1 和和II II2 2 的方程分别为的方程分别为A A1 1x x+ +B B1 1y y+ +C C1 1z z+ +D D1 1=0=0和
26、和A A2 2x x+ +B B2 2y y+ +C C2 2z z+ +D D2 2=0=0，则其交线（直线），则其交线（直线）L L上的任一点的坐标上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程，即应满足方程组应同时满足这两个平面的方程，即应满足方程组(1)(1)方程组方程组(1)(1)叫做叫做空间直线的一般方程空间直线的一般方程. .通过空间一直线通过空间一直线L L的平面有无限多个，只要在这无限多个平面的平面有无限多个，只要在这无限多个平面中任意选取两个，把它们的方程联立起来，所得的方程组就表中任意选取两个，把它们的方程联立起来，所得的方程组就表示空间直线示空间直线L L. .二、空间直线
27、的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的直线的方向向量方向向量. .设直线设直线L L上一点上一点MM0 0( (x x0 0, ,y y0 0, ,z z0 0) )，已知它的一方向向量为，已知它的一方向向量为s s=(=(mm, ,n n, ,p p) )，下面建立这直线方程下面建立这直线方程. . 设点设点MM( (x x, ,y y, ,z z) )时直线时直线L L上的任一点，那么向量上的任一点，那么向量 与与L L的方向向量的方向向量s s平行平行( (
28、见图见图). ).由于由于 =(=(x x- -x x0 0, ,y y- -y y0 0, ,z z- -z z0 0), ),s s=(=(mm, ,n n, ,p p) )，从而有从而有 上方程组称为直线的上方程组称为直线的对称式方程对称式方程或或点向式方程点向式方程. .直线的任一方向向量直线的任一方向向量s s的坐标的坐标mm、n n、p p叫做这直线的一组方向叫做这直线的一组方向数，而向量数，而向量s s的方向余弦叫做该直线的的方向余弦叫做该直线的方向余弦方向余弦. .由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程. .如设如设那么那么 上方程组就
29、是直线的上方程组就是直线的参数方程参数方程. .例例 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线解解 先找出这直线上的一点先找出这直线上的一点( (x x0 0, ,y y0 0, ,z z0 0). ).例如，可以取例如，可以取x x0 0=1=1，代入方程组，得代入方程组，得解这个二元一次方程组，得解这个二元一次方程组，得y y0 0=0,=0,z z0 0=-2.=-2.即即(1,0,-2)(1,0,-2)是这直线上的一点是这直线上的一点. .下面再找出这直线的方向向量下面再找出这直线的方向向量s s. .由于两平面的交线与这两平面的法线向量由于两平面的交线与这两平面的
30、法线向量n n1 1=(1,1,1)=(1,1,1)， n n2 2(2,-1,3)(2,-1,3)都垂直，所以可取都垂直，所以可取因此，所给直线的对称式方程为因此，所给直线的对称式方程为 令令 得所给直线的参数方程为得所给直线的参数方程为三、两直线的夹角三、两直线的夹角两条直线的方向向量的夹角两条直线的方向向量的夹角( (通常指锐角通常指锐角) )叫做两直线的叫做两直线的夹角夹角. .设直线设直线L L1 1和和L L2 2的方向向量依次为的方向向量依次为s s1 1=(=(mm1 1, ,n n1 1, ,p p1 1) )和和s s2 2=(=(mm2 2, ,n n2 2, ,p p2
31、 2) )，那么那么L L1 1和和L L2 2的夹角的夹角 则则 coscos= =从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论： 两直线两直线L L1 1、L L2 2互相垂直相当与互相垂直相当与mm1 1mm2 2+ +n n1 1n n2 2+ +p p1 1p p2 2=0=0； 两直线两直线L L1 1、L L2 2互相平行或重合相当于互相平行或重合相当于 例例 求直线求直线L L1 1： 和和L L2 2： 的夹角的夹角. .解解 直线直线L L1 1的方向向量为的方向向量为s s1 1=(1,-4,1)=(1,-4,1)；直
32、线；直线L L2 2的方向向量为的方向向量为s s2 2=(2,-2,-1).=(2,-2,-1). 设直线设直线L L1 1和和L L2 2的夹角为的夹角为 ，那么那么cooscoos = = =所以所以 sinsin =|cos(=|cos(s s, ,n n)| )|，| |-( -(s s, ,n n)| )|，因此，因此，那么，那么 设直线的方向向量为设直线的方向向量为s s=(=(mm, ,n n, ,p p) )，平面的法，平面的法线向量为线向量为n n=(=(A A, ,B B, ,C C) )，直线与平面的夹角为，直线与平面的夹角为 按两向量夹角余弦的坐标表示式，有按两向量夹
33、角余弦的坐标表示式，有 四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角 垂直时，规定直线与平面的夹角为垂直时，规定直线与平面的夹角为 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角( (见图见图) )，当直线与平面，当直线与平面sinsin (1)(1)直线与平面垂直相当于直线与平面垂直相当于(2)(2)直线与平面平行或直线在平面上相当于直线与平面平行或直线在平面上相当于 AmAm+ +BnBn+ +CpCp=0.(3)=0.(3)例例 求过点求过点(1,-2,4)(1,-2,4)且与平面且与平面
34、2 2x x-3-3y y+ +z z-4=0-4=0垂直的直线的方程垂直的直线的方程. .解解 因为所求直线垂直于已知平面，所以可以取已知平面的因为所求直线垂直于已知平面，所以可以取已知平面的法线向量法线向量(2,-3,1)(2,-3,1)作为所求直线的方向向量作为所求直线的方向向量. .由此可得所求直由此可得所求直线的方程为线的方程为五、杂例五、杂例例例1 1求与两平面求与两平面x x-4-4y y=3=3和和2 2x x- -y y-5-5z z=1=1的交线平行且过点的交线平行且过点(-3,2,5)(-3,2,5)的直线的方程的直线的方程. .解解 因为所求在直线与两平面的交线平行，也
35、就是直线的方向因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量向量s s一定同时与两平面的法线向量一定同时与两平面的法线向量n n1 1、n n2 2垂直，所以可以取垂直，所以可以取 因此所求直线的方程为因此所求直线的方程为 例例 2 2求直线求直线 与平面与平面2 2x x+ +y y+ +z z-6=0-6=0的交点的交点. . 解解 所给直线的参数方程为所给直线的参数方程为x x=2=2t t, ,y y=3=3t t, ,z z=4+2=4+2t t, ,代入平面方程中，得代入平面方程中，得 2(2+2(2+t t)+(3+)+(3+t t)+(4+2)+(4+2t t)-6=0
36、.)-6=0.解上列方程，得解上列方程，得t t=-1.=-1.把求得的把求得的t t值代入直线的参数方程中，值代入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为即得所求交点的坐标为 x x=1,=1,y y=2,=2,z z=2.=2. 例例 3 3求过点求过点(2,1,3)(2,1,3)且与直线且与直线 的方程的方程. . 垂直相交的直线垂直相交的直线解解 先作一平面过点先作一平面过点(2,1,3)(2,1,3)且垂直与已知直线，那么这平面的且垂直与已知直线，那么这平面的方程应为方程应为 3( 3(x x-2)+2(-2)+2(y y-1)-(-1)-(z z-3)=0.(1)-3)=0.(1)再
37、求已知直线与这平面的交点再求已知直线与这平面的交点. .已知直线的参数方程为已知直线的参数方程为 x x=-1+3=-1+3t t, ,y y=1+2=1+2t t, ,z z=-=-t t.(2).(2) 把把(2)(2)代入代入(1)(1)中，求得中，求得t t= = ，从而求得交点为，从而求得交点为 以点以点(2,1,3)(2,1,3)为起点，点为起点，点 为终点的向量为终点的向量 是所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为是所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为有时用有时用平面束平面束的方程解题比较方便，现在我们来介绍它的方程的方程解题比较方便，现在我们来介绍它的方程. .设直线
38、设直线L L由方程组由方程组所确定，其中系数所确定，其中系数A A1 1、B B1 1、C C1 1与与A A2 2、B B2 2、C C2 2不成比例不成比例. .我们建立三元一次方程：我们建立三元一次方程： (3)(3)其中其中 为任意常数为任意常数. .因为因为A A1 1、B B1 1、C C1 1与与A A2 2、B B2 2、C C2 2不成不成 比例，所以对于任何一个比例，所以对于任何一个 值，方程值，方程(3)(3)的系数：的系数： 不全为零，从而方程不全为零，从而方程(3)(3)表示表示 反之，通过直线反之，通过直线L L的任何平面的任何平面( (除平面除平面(2)(2)外外
39、) )都包含在方程都包含在方程(3)(3)所表示的一族平面内所表示的一族平面内. .通过定直线的所有平面的全体通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程称为平面束，而方程(3)(3)就作为通过直线就作为通过直线L L的平面束的方程的平面束的方程( (事实上，事实上，方程方程(3)(3)表示缺少平面表示缺少平面(2)(2)的平面束的平面束). ).一个平面，若一点在直线一个平面，若一点在直线L L上，则点的坐标必同时满足方程上，则点的坐标必同时满足方程(1)(1)和和(2)(2)，因而也满足方程，因而也满足方程(3)(3)，故方程，故方程(3)(3)表示通过直线表示通过直线L L的平面，且对于
40、于不同的的平面，且对于于不同的 同的平面同的平面. .值，方程值，方程(3)(3)表示通过直线表示通过直线L L的不的不第第三三节节 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面返回返回复习要求复习要求: :了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。曲面方程的定义：曲面方程的定义：水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何
41、轨迹曲面的实例：曲面的实例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面. .解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为 例例建立球心在点建立球心在点) ), , ,( (0 00 00 00 0z zy yx xMM、半径为、半径为R R的的球面方程球面方程. . 原方程表示球心在点原方程表示球心在点、半径为、半径为的球面的球面. .例例 方程方程 表示怎样的曲面？表示怎样的曲面？0 04 42 22 22 22 2= =+ +- -+ + +y yx xz zy yx x解解 通过配方，原方程可以改写
42、成通过配方，原方程可以改写成5 5) )2 2( () ) 1 1( (2 22 22 2= =+ + + +- -z zy yx x以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程柱面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面平面平面CLCLx xy yz zO OC CF F( (x,yx,y) )= =0 0x xy yz zO Ox-zx-z
43、= =0 0L从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面椭圆柱面 /轴轴双曲柱面双曲柱面 /轴轴抛物柱面抛物柱面 /轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为转一周所成的曲面称为旋转曲面旋转曲面. .这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：将将 代入代入设设将将 代入代入得方程得方程解解 圆锥面方程圆锥面方程例例5 5将将xOzxOz坐标面上的坐标面上的旋转一周，求生成的旋转曲面的方程旋转一周，求生成的旋转曲面的方程解
44、解 绕绕z z轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面: :绕绕x x轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面: :x xy yo oz zz z单叶双曲面图形单叶双曲面图形双叶双曲面图形双叶双曲面图形x xy yo oz z二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然
45、后加以综合，从而了解曲交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面四、二次曲面四、二次曲面O Ox xy yz z(1)(1)椭圆锥面椭圆锥面: :(2)(2)椭球面：椭球面： 旋转椭球面旋转椭球面椭球面的几种特殊情况椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆. .球面球面截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为(3)(3)单叶双曲面单叶双曲面: :绕绕z z轴轴沿沿y y轴伸缩轴伸缩(4)(4)双叶双曲面：双叶双曲面：绕绕x x轴轴沿沿y y轴伸缩轴伸缩（5 5）椭圆抛物面）椭圆抛物面: :x xy yz zo o绕绕z z轴轴沿沿y y轴伸缩轴伸缩旋转抛物面旋转抛物面(6)(6)双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）: :用截痕法讨论图形如下用截痕法讨论图形如下：x xy yz zo o还有三种二次曲面是以二次曲面为准线的柱面：还有三种二次曲面是以二次曲面为准线的柱面：椭圆柱面椭圆柱面双曲柱面双曲柱面抛物柱面抛物柱面
