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1、 4.1 根轨迹的基本概念4.2 绘制根轨迹的基本规则4.3 控制系统根轨迹绘制示例4.4 基于根轨迹法的系统性能分析第4章 线性系统的根轨迹分析法4.1.1 根轨迹概念 4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件 4.1.3 利用试探法确定根轨迹上的点4.1 根轨迹的基本概念 由时域分析法可知,系统的输出响应很大程度上取决于闭环特征方程式的根(特征根),即闭环传递函数的极点。当系统的某个参数变化时,特征方程的根随之发生变化,系统的性能也跟着发生变化。根轨迹的意义 对于高阶系统来说,手工求解闭环特征方程的根较为困难。尤其是当系统的参数(比如开环增益,开环零点和开环极点等)发生变化时,闭环特征根需要重复
2、计算,而且不能看出系统参数变化对闭环特征根分布的影响趋势。 控制系统的设计者通常希望借助某种较为简单的分析方法,当已知的开环系统某个参数发生变化时,可以很明确地看出闭环特征根的变化趋势。 4.1.1 根轨迹的基本概念 W.R.伊文思提出了一种在复平面上由开环零、极点确定闭环极点的图解方法根轨迹法。 其基本思路:当开环系统的一个或多个参数发生变化时,根据系统的开环零点和极点,借助若干条绘图准则,绘制出闭环特征根变化的轨迹,简称根轨迹。 利用根轨迹法可以:n分析闭环系统的稳定性n计算(或估算)闭环系统的瞬态和稳态性能指标n确定闭环系统的某些参数对系统性能的影响n对闭环系统进行校正例4.1.1 考虑
3、如下图所示的位置控制系统。电动机产生与误差信号E(s)成正比的扭矩T(s),即T(s)=AE(s),系统负载包括电动机的负载惯量J和粘性阻尼B。试讨论当放大系数A从零变化到无穷大时,该位置控制系统闭环极点的变化情况,并分析系统的时间响应。 举例说明根轨迹的概念。解: 画出位置系统的方块图,这是一个单位负反馈控制系统。系统的开环传递函数为:假设a=2,有:系统的闭环传递函数为:系统的闭环极点为: 显然,该位置控制系统的闭环特征根即闭环极点取决于Kg(或A)的取值。 分析: n 当kg=0时,两个闭环极点是s1=0和s22,为系统的开环极点。n 当kg=1时,两个闭环极点是s1,2=-1,为重极点
4、。n 当0kg1时,闭环极点为一对共轭复数。其实部为-1,说明s1,2位于过(-1,j0)点,且平行于虚轴的直线上。kg00.51.02.03.050.0s1-0+j0-0.293+j0-1.0+j0-1.0+j1.0-1.0+j1.414-1.0+j7.0s2-2.0-j0-1.707-j0-1.0-j0-1.0-j1.0-1.0-j1.414-1.0-j7.0表.1 部分闭环极点的位置将上述数据标在s平面上,并将它们连成曲线,如下图粗线所示。图中,曲线有两个分支,分别表示了当kg从零到无穷大变化时,系统两个闭环极点(特征根)变化的轨迹,即根轨迹。 图中画出了当kg=2时的阻尼角b=45o,
5、这时系统的阻尼系数z为0.707,对应的闭环极点为s1,2=-1j1。 根据根轨迹分析系统的单位阶跃响应: n 当0kg1时,系统闭环特征根是共轭复数,假设为sjwd。表明该系统是欠阻尼二阶系统,其单位阶跃响应是衰减振荡曲线。 n 阻尼角增加,阻尼比减小。表明闭环系统瞬态响应的超调量增加。n 阻尼振荡频率wd增加。 wd值是复数特征根的虚部,描述了瞬态响应的振荡频率。 当wd增加时,系统的振荡加剧。 根据根轨迹分析,当kg增加时,欠阻尼系统(kg1)的性能指标变化: n 共轭复数特征根的实部s不变,等于常数。说明系统的调整时间基本不变。n 特征根的轨迹是一条垂直线,在该垂线上,特征根的实部s=
6、-zwn是常数,且位于s左半平面。这就意味着对于该二阶位置控制系统,不管增益kg如何增加,系统总是稳定的。 若kg=0)的幅值条件和相角条件。当根轨迹增益kg=0时: 根轨迹方程可写为:即: 4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件上述两式称为满足根轨迹方程(kg0)的幅值条件和相角条件。当根轨迹增益kg=0)的点连成的曲线,称为180o等相角根轨迹,简称根轨迹。n 0o等相角根轨迹:复平面上所有满足相角条件式(kg=0,则开环传递函数的相角为: 4.1.3 利用试探法确定根轨迹上的点显然,对于A点,有: ,A点是根轨迹上的点。对于B点,由于:不满足相角条件,所以点B不是根轨迹上的点。利用幅值条件在根轨迹上确定特定点的根轨迹增益kg 上例中,若A点的坐标是-1+j1,则根据幅值条件:q根轨迹概念与定义q根轨迹方程q根轨迹的幅值条件和相角条件q180度和0度等相角根轨迹,等幅值根轨迹q相角条件和幅值条件的使用q用解析法画根轨迹的方法 4.1.4 本节小结