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1、 4.1 根轨迹的基本概念4.2 绘制根轨迹的基本规则4.3 控制系统根轨迹绘制示例4.4 基于根轨迹法的系统性能分析第4章 线性系统的根轨迹分析法4.1.1 根轨迹概念 4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件 4.1.3 利用试探法确定根轨迹上的点4.1 根轨迹的基本概念 由时域分析法可知，系统的输出响应很大程度上取决于闭环特征方程式的根（特征根），即闭环传递函数的极点。当系统的某个参数变化时，特征方程的根随之发生变化，系统的性能也跟着发生变化。根轨迹的意义 对于高阶系统来说，手工求解闭环特征方程的根较为困难。尤其是当系统的参数（比如开环增益，开环零点和开环极点等）发生变化时，闭环特征根需要重复
2、计算，而且不能看出系统参数变化对闭环特征根分布的影响趋势。 控制系统的设计者通常希望借助某种较为简单的分析方法，当已知的开环系统某个参数发生变化时，可以很明确地看出闭环特征根的变化趋势。 4.1.1 根轨迹的基本概念 W.R.伊文思提出了一种在复平面上由开环零、极点确定闭环极点的图解方法根轨迹法。 其基本思路：当开环系统的一个或多个参数发生变化时，根据系统的开环零点和极点，借助若干条绘图准则，绘制出闭环特征根变化的轨迹，简称根轨迹。 利用根轨迹法可以：n分析闭环系统的稳定性n计算（或估算）闭环系统的瞬态和稳态性能指标n确定闭环系统的某些参数对系统性能的影响n对闭环系统进行校正例4.1.1 考虑
3、如下图所示的位置控制系统。电动机产生与误差信号E(s)成正比的扭矩T(s)，即T(s)=AE(s)，系统负载包括电动机的负载惯量J和粘性阻尼B。试讨论当放大系数A从零变化到无穷大时，该位置控制系统闭环极点的变化情况，并分析系统的时间响应。 举例说明根轨迹的概念。解： 画出位置系统的方块图，这是一个单位负反馈控制系统。系统的开环传递函数为:假设a=2，有：系统的闭环传递函数为:系统的闭环极点为: 显然，该位置控制系统的闭环特征根即闭环极点取决于Kg（或A）的取值。 分析： n 当kg=0时，两个闭环极点是s1=0和s22，为系统的开环极点。n 当kg=1时，两个闭环极点是s1,2=-1，为重极点
4、。n 当0kg1时，闭环极点为一对共轭复数。其实部为-1，说明s1,2位于过(-1，j0)点，且平行于虚轴的直线上。kg00.51.02.03.050.0s1-0+j0-0.293+j0-1.0+j0-1.0+j1.0-1.0+j1.414-1.0+j7.0s2-2.0-j0-1.707-j0-1.0-j0-1.0-j1.0-1.0-j1.414-1.0-j7.0表.1 部分闭环极点的位置将上述数据标在s平面上，并将它们连成曲线，如下图粗线所示。图中，曲线有两个分支，分别表示了当kg从零到无穷大变化时，系统两个闭环极点（特征根）变化的轨迹，即根轨迹。 图中画出了当kg=2时的阻尼角b=45o，
5、这时系统的阻尼系数z为0.707，对应的闭环极点为s1,2=-1j1。 根据根轨迹分析系统的单位阶跃响应： n 当0kg1时，系统闭环特征根是共轭复数，假设为sjwd。表明该系统是欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应是衰减振荡曲线。 n 阻尼角增加，阻尼比减小。表明闭环系统瞬态响应的超调量增加。n 阻尼振荡频率wd增加。 wd值是复数特征根的虚部，描述了瞬态响应的振荡频率。 当wd增加时，系统的振荡加剧。 根据根轨迹分析，当kg增加时，欠阻尼系统(kg1)的性能指标变化： n 共轭复数特征根的实部s不变，等于常数。说明系统的调整时间基本不变。n 特征根的轨迹是一条垂直线，在该垂线上，特征根的实部s=
6、-zwn是常数，且位于s左半平面。这就意味着对于该二阶位置控制系统，不管增益kg如何增加，系统总是稳定的。 若kg=0)的幅值条件和相角条件。当根轨迹增益kg=0时： 根轨迹方程可写为：即： 4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件上述两式称为满足根轨迹方程(kg0)的幅值条件和相角条件。当根轨迹增益kg=0)的点连成的曲线，称为180o等相角根轨迹，简称根轨迹。n 0o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg=0，则开环传递函数的相角为: 4.1.3 利用试探法确定根轨迹上的点显然，对于A点，有： ，A点是根轨迹上的点。对于B点，由于：不满足相角条件，所以点B不是根轨迹上的点。利用幅值条件在根轨迹上确定特定点的根轨迹增益kg 上例中，若A点的坐标是-1+j1，则根据幅值条件：q根轨迹概念与定义q根轨迹方程q根轨迹的幅值条件和相角条件q180度和0度等相角根轨迹，等幅值根轨迹q相角条件和幅值条件的使用q用解析法画根轨迹的方法 4.1.4 本节小结
