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1、第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及最大值、最小值一、多元函数的极值及最大值、最小值二、条件极值二、条件极值 拉哥朗日乘数法拉哥朗日乘数法1.1.二元函数极值的定义二元函数极值的定义一一 、多元函数的极值和最大值、最小值、多元函数的极值和最大值、最小值因为在点因为在点 (0,0) (0,0) 处的函数值为零，而在点处的函数值为零，而在点 (0,0) (0,0)的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点函数值为负的点 . .2. 2. 多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件证明证明仿照一元函数
2、，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的均称为函数的驻点驻点. .驻点驻点极值点极值点问题问题：如何判定一个驻点是否为极值点？如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：解解 解方程组解方程组求得驻点为求得驻点为再求二阶偏导数再求二阶偏导数第一步第一步第二步第二步第三步第三步 与一元函数相类似，我们可以利用函与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值数的极值来求函数的最大值和最小值. .3. 3. 多元函数的最大值与最小值多元函数的最大值与最小值 将函数在将函数在 D D 内的所有驻点处的函数值及内的所有驻点处的函数值及在在
3、D D 的边界上的最大值和最小值相互比较，的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. .求最值的一般方法：求最值的一般方法：解解 如图所示如图所示, ,解方程组解方程组比较后可知比较后可知例例6 6 某厂要用铁板作成一个体积为某厂要用铁板作成一个体积为2 2立方米的有盖长立方米的有盖长方体水箱方体水箱. .问当长、宽、高各取怎样的问当长、宽、高各取怎样的 尺寸时尺寸时 , , 才才能使用料最省能使用料最省. .解解 水箱所用材料的面积为水箱所用材料的面积为即即解方程组解方程组解得解得条件极值：条件极值：对自变量有附加条件的极值对自变量有附加条件的极值二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法解解则则解解化简为化简为所求四面体的为所求四面体的为可得可得即即练习题练习题
