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1、定积分的应用定积分的应用95535Ox y y=f (x) a b回忆回忆 曲边梯形面积的求法曲边梯形面积的求法微元法微元法 (1)分割分割(2)近似近似(3)求和求和(4)取极限取极限解解 解方程组解方程组得两曲线的交点得两曲线的交点 例例3-53 求抛物线求抛物线 和直线和直线 所围成所围成的图形的面积的图形的面积. 选选 为积分变量为积分变量解法一解法一选选 为积分变量为积分变量解法二解法二 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、旋转体的体积二、旋
2、转体的体积 旋转体的体积为旋转体的体积为 下面用微元法来求由连续曲线下面用微元法来求由连续曲线 、 直线直线 、 及及 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕 轴轴旋转一周而形成的旋转体体积旋转一周而形成的旋转体体积. 任取任取 ,给给 一一个增量个增量 ,得一微小小区间得一微小小区间 ,它所对应的小旋它所对应的小旋转体体积转体体积 可近似看作是可近似看作是以以 为底半径、以为底半径、以 为为高的圆柱体体积高的圆柱体体积.即即xyo 同理同理,由连续曲线由连续曲线 与直线与直线 、 及及 轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形，绕绕 轴轴旋旋转转一一周周而而形形成成的旋转体体积的旋转体体积.
3、例例3-54 求由椭圆求由椭圆 绕绕 轴旋转而成的椭轴旋转而成的椭球体的体积球体的体积.解解 将椭圆方程化为将椭圆方程化为由公式由公式得出所求的体积为得出所求的体积为b-ba-aOx y 例例3-55 求由曲线求由曲线 与直线与直线 、 围成的围成的图形绕图形绕 轴旋转而成的旋转体体积轴旋转而成的旋转体体积.解解 由公式由公式得出所求的体积为得出所求的体积为 例例3-56 求由抛物线求由抛物线 、直线、直线 及轴所围及轴所围成的平面图形绕成的平面图形绕Y轴旋转一周所得的体积轴旋转一周所得的体积. 解解 所求体积为圆柱所求体积为圆柱体的体积减去中间杯状物体的体积减去中间杯状物的体积的体积 三、变
4、力沿直线所作的功三、变力沿直线所作的功 物体在常力物体在常力F作用下沿直线移动的距离为作用下沿直线移动的距离为s ,那么常力那么常力所作的功所作的功W为为 设物体在变力设物体在变力 作用下作用下,沿沿 轴从轴从 移动到移动到 . 在在 内任取一点内任取一点 ,把把 处的变力处的变力 近似地看作小区间近似地看作小区间 x,x+dx上的常力上的常力,得到功的微元得到功的微元于是所求的功为于是所求的功为 例例3-57 已知某一弹簧每拉长已知某一弹簧每拉长0.02米要用米要用9.8牛顿的牛顿的力力,求把弹簧拉长求把弹簧拉长0.1米所作的功米所作的功. 解解 由实验知由实验知,弹簧拉伸所需要的力弹簧拉伸
5、所需要的力F与伸长量与伸长量 成正成正比比,即即( 为比例常数为比例常数)(焦耳)例例3-58 求函数求函数 在区间在区间 上的平均值上的平均值. 解解四、连续函数在已知区间上的平均值四、连续函数在已知区间上的平均值 “平均平均”这个概念概念经常出现于生产实践和科学实验这个概念概念经常出现于生产实践和科学实验中中,例如平均速度、平均功率等例如平均速度、平均功率等.积分中值定理给出了计算积分中值定理给出了计算函数平均值的公式函数平均值的公式.例例3- 59 胰岛素平均浓度的测定胰岛素平均浓度的测定 由实验测定患者的胰岛素浓度由实验测定患者的胰岛素浓度,先让病人禁食先让病人禁食,以降低以降低体内血
6、糖水平体内血糖水平,然后通过注射给病人大量的糖然后通过注射给病人大量的糖.假定由实验假定由实验测得患者的血液中的胰岛素的浓度测得患者的血液中的胰岛素的浓度C(t)(单位单位/ml)为为 其中其中 ,时间时间 t 的单的单位是分钟位是分钟.求血液中的胰岛素在一求血液中的胰岛素在一小时内的平均浓度小时内的平均浓度 .解解 由积分中值定理可知由积分中值定理可知:例例3-60 3-60 染料稀释法确定心输出量染料稀释法确定心输出量 心输出量是指每分钟心脏泵出的血量心输出量是指每分钟心脏泵出的血量,在生理学实验在生理学实验中常用染料稀释法来测定中常用染料稀释法来测定.把一定量的染料注入静脉把一定量的染料
7、注入静脉,染料染料将随血液循环通过心脏到达肺部将随血液循环通过心脏到达肺部,再返回心脏而进入动脉再返回心脏而进入动脉系统系统. 假定在时刻假定在时刻 t=0 时注入时注入 5mg 的染料，自染料注入后的染料，自染料注入后便开始在外周动脉中连续便开始在外周动脉中连续 30 秒监测血液中染料的浓度秒监测血液中染料的浓度,它它是时间是时间 的函数的函数 C(t): 五、定积分在医学上的应用五、定积分在医学上的应用 注入染料的量注入染料的量M与在与在30秒之内测到的平均浓度秒之内测到的平均浓度 的的比值是半分钟里心脏泵出的血量比值是半分钟里心脏泵出的血量,因此因此,每分钟的心输出量每分钟的心输出量Q是
8、这一比值的是这一比值的2倍倍,即即试求这一实验中的心输出量试求这一实验中的心输出量Q51813832146330C(t)t(s)C(mg/l)O解解因此因此例例3- 61 单位时间内血单位时间内血管稳定管稳定流动时血流量流动时血流量取血管的一个横截面来讨论单位时间内的血流量取血管的一个横截面来讨论单位时间内的血流量Q. 设有一段长为设有一段长为L L, ,截面半径为截面半径为R R的血管的血管, ,其左端动脉端的其左端动脉端的血压为血压为 , ,右端相对静脉的血压为右端相对静脉的血压为 , ,血液黏滞系血液黏滞系数为数为 . .假设血管中的血液流动是稳定的假设血管中的血液流动是稳定的, ,由实
9、验可知由实验可知, ,在在血管的横截面上离血管中心血管的横截面上离血管中心 处的血液流速为处的血液流速为Lrr+dr 解解 血液量等于血流流速血液量等于血流流速 截面积的截面积的,由于血液流由于血液流速随流层而变化速随流层而变化,故在横截面上任取一个内半径为故在横截面上任取一个内半径为 ,外外半径为半径为 的小圆环的小圆环. 在该小圆环上血液流速可近在该小圆环上血液流速可近似认为是相等的似认为是相等的,所以单位时间内所以单位时间内通过该小圆环的血流量通过该小圆环的血流量即即小圆环面积小圆环面积于是于是因此因此,单位时间内血管稳定流动的血流量为单位时间内血管稳定流动的血流量为主要内容主要内容1.微元法微元法2.求平面图形的面积求平面图形的面积 求旋转体的体积求旋转体的体积5.定积分在医学中的应用定积分在医学中的应用3.变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功 4.连续函数在已知区间上的平均值连续函数在已知区间上的平均值
